등차수열에 관한 예시 문제
등차수열은 수학에서 매우 기본적인 개념으로, 중고등학교는 물론 대학교 교육 과정에서도 다양한 문제에 자주 등장합니다. 등차수열은 각 항이 이전 항에 일정한 수를 더하거나 빼서 만들어지는 수열입니다. 이 글에서는 등차수열의 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 몇 가지 예제 문제와 풀이를 살펴보겠습니다.
등차수열 이해하기
등차수열은 연속하는 두 항 사이의 차이가 일정한 수열입니다. 예를 들어, 등차수열의 첫째항이 \(a\)이고 차이가 \(d\)라면, 항들은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
이 급수의 n번째 항을 구하려면 n번째 항(\(U_n\))에 대한 공식은 다음과 같습니다.
\[ U_n = a + (n-1)d \]
한편, 등차수열의 첫 n항까지의 합(\(S_n\))은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Contoh Soal dan Pembahasan
예시 문제 1
문제: 첫째항이 \(a = 5\)이고 공차가 \(d = 3\)인 등차수열이 주어졌을 때, 열 번째 항을 구하시오.
논의:
10번째 항(\(U_{10}\))을 구하려면 n번째 항 공식을 사용할 수 있습니다.
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
따라서 이 수열의 열 번째 항은 32입니다.
예시 문제 2
문제: 첫째항이 \(a = 4\)이고 공차가 \(d = 7\)인 등차수열의 첫 15항까지의 합을 구하시오.
논의:
처음 15개 항의 합(\(S_{15}\))을 구하려면 처음 n개 항의 합을 구하는 공식을 사용할 수 있습니다.
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
따라서 이 급수의 첫 15항까지의 합은 795입니다.
예시 문제 3
문제: 어떤 등차수열의 5번째 항이 20이고 12번째 항이 48일 때, 첫째항(\(a\))과 공차(\(d\))를 구하시오.
논의:
주어진 조건에서:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
우리는 풀 수 있는 두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식을 가지고 있습니다.
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
방정식 1로부터 \(a\)를 \(d\)로 나타낼 수 있습니다.
\[ a = 20 – 4d \]
이제 \(a\)를 방정식 2에 대입합니다.
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
이제 \(d\) 값을 방정식 \(a = 20 – 4d\)에 대입합니다.
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
따라서 이 급수의 첫째항은 4이고 공차는 4입니다.
예시 문제 4
질문: 첫째항이 2이고 공차가 5인 등차수열의 합이 200이 되려면 몇 항이 필요합니까?
논의:
이 경우, 200과 같은 첫 n항까지의 합(\(S_n\))을 구해야 합니다. 첫 n항까지의 합 공식을 사용하세요.
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
\(a\)와 \(d\)의 값을 대입합니다.
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
이것은 이차방정식입니다. 이를 풀기 위해 형태를 바꿔야 합니다.
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
근의 공식 \(ax^2 + bx + c = 0\)을 사용하세요.
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
이 경우 \(a = 5\), \(b = -1\), \(c = -400\)입니다.
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\)의 값은 89.42에 가깝기 때문에 다음과 같습니다.
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
우리는 긍정적인 값들을 취합니다:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
따라서 필요한 항의 개수는 (반올림하면) 9개입니다.
결론
등차수열은 수학에서 매우 중요한 주제입니다. 첫째항, 공차, n번째 항, 그리고 첫 n항까지의 합을 완벽하게 이해하는 것은 다양한 문제를 해결하는 데 필수적입니다. 위의 예시와 설명을 통해 독자들이 등차수열의 기본 개념을 더 잘 이해할 수 있기를 바랍니다.
