기하급수에 관한 예시 문제
기하수열은 고등학교에서 자주 배우는 수학의 기본 개념입니다. 기하수열은 각 항이 바로 앞 항과 일정한 상수(비)의 곱으로 이루어진 수열입니다. 이 글에서는 기하수열의 몇 가지 예제 문제와 설명을 통해 독자들이 이 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 돕고자 합니다.
기하급수 이해하기
기하수열은 첫 번째 수(a)에 일정한 비율(r)을 곱하여 만들어지는 수열입니다. 일반적으로 기하수열의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
여기:
– “a”는 수열의 첫 번째 항입니다.
– "r"은 한 항과 바로 앞 항의 비율입니다.
– "n"은 수열의 n번째 항입니다.
Contoh Soal dan Pembahasan
기하수열에 대해 더 자세히 알아보기 위해 몇 가지 예제 문제를 살펴보겠습니다.
예시 문제 1
질문:
첫째항(a)이 3이고 항의 비율(r)이 2인 등비수열이 주어졌을 때, 다음을 구하시오:
1. 수열의 열 번째 항.
2. 수열의 첫 6항까지의 합.
논의:
1. 다섯 번째 항(U5)은 등비수열의 n번째 항을 구하는 공식을 이용하여 계산할 수 있습니다.
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
공식에 a = 3, r = 2, n = 5을 대입하면 다음과 같습니다.
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
따라서 수열의 5번째 항은 48입니다.
2. 등비수열의 처음 6항까지의 합(S6)은 처음 n항까지의 합을 구하는 공식, 즉 다음과 같은 공식을 이용하여 계산할 수 있습니다.
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
공식에 a = 3, r = 2, n = 6을 대입하면 다음과 같습니다.
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
따라서, 이 수열의 첫 6항의 합은 189입니다.
예시 문제 2
질문:
등비수열의 세 번째 항은 27이고 다섯 번째 항은 243입니다. 첫째항(a)과 공비(r)를 구하세요.
논의:
U3 = 27, U5 = 243일 때, 등비수열의 n번째 항 공식을 사용하면 다음과 같습니다.
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3용:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5용:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
방정식 (1)과 (2)를 비교하여 a를 소거합니다.
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ 또는 } r = -3 \]
r 값을 방정식 (1)에 대입합니다.
만약 \( r = 3 \)이라면:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
만약 \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
따라서 첫 번째 항(a)은 3이고, 비율(r)은 3 또는 -3이 될 수 있습니다.
예시 문제 3
질문:
첫째항(a)이 8이고 등비(r)가 1/2인 다음 등비급수의 무한합을 구하시오.
논의:
기하급수의 무한합은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
공식에 a = 8, r = 1/2을 대입하면 다음과 같습니다.
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
따라서 기하급수의 무한합은 16입니다.
예시 문제 4
질문:
등비수열의 두 번째 항은 12이고 네 번째 항은 108입니다. 이 수열의 등비와 첫 번째 항을 구하세요.
논의:
\( U_2 = 12 \) 및 \( U_4 = 108 \)이 주어졌을 때, 등비수열의 n번째 항 공식을 사용하면 다음과 같습니다.
\( U_2 \)의 경우:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\( U_4 \)의 경우:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
방정식 (1)과 (2)를 비교하여 a를 소거합니다.
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ 또는 } r = -3 \]
r 값을 방정식 (1)에 대입합니다.
만약 \( r = 3 \)이라면:
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
만약 \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
따라서 첫 번째 항(a)은 4 또는 -4가 될 수 있고, 비율(r)은 3 또는 -3이 될 수 있습니다.
결론
기하수열은 다양한 분야에서 자주 사용되는 중요한 수학 개념입니다. 기하수열의 기본 개념을 이해하고 문제 해결 연습을 통해 기하수열을 더 잘 이해하고 적용할 수 있게 되기를 바랍니다. 이 글에서는 독자들이 기하수열을 더 깊이 배우고 이해할 수 있도록 여러 예제 문제와 해설을 제공합니다. 이 글이 도움이 되기를 바랍니다!
