ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚುಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ವಸ್ತು

A ಮತ್ತು B ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ (ತಿಳಿದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು) x, y ಮತ್ತು z ಘಟಕಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು .

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೊಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

i , j , ಮತ್ತು k ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ( AB = AB cos theta ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

i . i = j . j = k . k = (1)(1) ಅಂದರೆ 0 = 1

i . j = i . k = j . k = (1)(1) ಅಂದರೆ 90 ^o = 0

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

A . B = A_xi . B_xi + A_xi . B_yj + A_xi . B_zk +

A_yj . B_xi + A_yj . B_yj + A_yj . B_zk +

A_zk . B_xi + A_zk . B_yj + A_zk . B_zk

A . B = A_xB_x (i . i) + A_xB_y (i . j) + A_x B_z (i . k) +

A_yB_x (j . i) + A_yB_y (j . j) + A_yB_z (j . k) +

A_zB_x (k . i) + A_zB_y (k . j) + A_zB_z (k . k)

ಏಕೆಂದರೆ i . i = j . j = k . k = 1 ಮತ್ತು i . j = i . k = j . k = 0, ನಂತರ:

A . B = A_xB_x (1) + A_xB_y (0) + A_x B_z (0) +

A_yB_x (0) + A_yB_y (1) + A_yB_z (0) +

A_zB_x (0) + A_zB_y (0) + A_zB_z (1)

ಎ . ಬಿ = ಎ _x ಬಿ _x (1) + 0 + 0 +

0 + ಎ _ವೈ ಬಿ _ವೈ (1) + 0 +

0 + 0 + ಎ _ಝಡ್ ಬಿ _ಝಡ್ (1)

_A . B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1:

ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್ A ಡಾನ್ B ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ 5 ಮತ್ತು 4. ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ 90^o. ಎಣಿಸಿ ನೋಡಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು.

ಚರ್ಚೆ

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ A ಮತ್ತು B ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

A _x = (5) cos 0 ^o = (5) (1) = 5

A _y = (5) ಪಾಪ 0 ^o = (5) (0) = 0

ಎ _ಝಡ್ = 0

B _x = (4) cos 90 ^o = (4) (0) = 0

ಬಿ _ವೈ = (4) ಪಾಪ 90 ^ಒ = (4) (1) = 4

ಬಿ _z = 0

ವೆಕ್ಟರ್ A, x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ B , y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. Z ಘಟಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B xy ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B ನಡುವಿನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

_ಎ. ಬಿ = ಎ_x B_x + A_yB_y + A_zB_z

ಎ. ಬಿ = (5) (0) + (0) (4) + 0

ಎ. ಬಿ = 0 + 0 + 0

ಎ. ಬಿ = 0

ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ.

AB = AB ಕಾಸ್ ಥೀಟಾ

ಎಬಿ = (4)(5) ಅಂದರೆ 90

ಎಬಿ = (4) (5) (0)

ಎಬಿ = 0

ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2:

^{ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್} A ಡಾನ್ B ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ 5 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿವೆ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು 30 ಆಗಿದ್ದರೆ^o

ಚರ್ಚೆ

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ A ಮತ್ತು B ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

A ಮತ್ತು B ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು xy ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ z ಘಟಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಈಗ ನಾವು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B ನಡುವಿನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.