ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು

ದತ್ತಾಂಶವು ಅದರ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು "ಹರಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನದ ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಮಾರಾಟದ ಏರಿಳಿತಗಳು, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸಿನ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಪಾಯಗಳು ಸಹ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ದತ್ತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ದತ್ತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ದೂರವಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅರ್ಥ, ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

1. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡೇಟಾ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗವನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಬೇಕು? ಏಕೆಂದರೆ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಡೇಟಾ ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಳತೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾಗಿ:

– ವ್ಯತ್ಯಾಸ = “ವರ್ಗ” ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಅಳತೆ.
– ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ = ಡೇಟಾದ ಮೂಲ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಅಳತೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ದತ್ತಾಂಶವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳ (ಪಾಯಿಂಟ್ ಯೂನಿಟ್‌ಗಳು) ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಮತ್ತೆ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅರ್ಥೈಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಜನಸಂಖ್ಯೆ vs ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ:

1. ಜನಸಂಖ್ಯೆ: ದತ್ತಾಂಶವು ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರವು ಭಾಜಕ N (ಡೇಟಾ ಸಂಖ್ಯೆ) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

2. ಮಾದರಿ: ದತ್ತಾಂಶವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಮಾತ್ರ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರವು ಅಂದಾಜು ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಭಾಜಕ (n − 1) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಬೆಸೆಲ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದಿನನಿತ್ಯದ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ (ಉದಾ. ಸಂಶೋಧನೆ, ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು, ವರ್ಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ), ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಜಕವು (n − 1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರ

A. ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರ
ದತ್ತಾಂಶ ಹೀಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: \( x_1, x_2, \ಡಾಟ್ಸ್, x_N \)
ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸರಾಸರಿ:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
ಜನಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]

ಬಿ. ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರ
ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ:
\[
\ಬಾರ್{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]

4. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಹಂತಗಳು

ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ನಾವು 5 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಗಳ ದತ್ತಾಂಶದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಡೇಟಾ: 60, 70, 70, 80, 90

ಈ ದತ್ತಾಂಶವು ಒಂದು ಮಾದರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ (ಕಲಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ).

ಹಂತ 1: ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
\[
\ಬಾರ್{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]

ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಕೋರ್ 74 ಆಗಿದೆ.

ಹಂತ 2: ಪ್ರತಿ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ \( (x_i – \bar{x}) \):

– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16

ಹಂತ 3: ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ
\( (x_i – \bar{x})^2 \) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256

ಹಂತ 4: ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]

ಹಂತ 5: ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ (ಒಂದು ಮಾದರಿಗೆ, n − 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)
n = 5 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]

ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 130 ಆಗಿದೆ.

ಹಂತ 6: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ.
\[
s = \sqrt{130} \ಸುಮಾರು 11{,}40
\]

ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತಾಂಶದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಸರಿಸುಮಾರು 11,40 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳು 74 ರ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಸರಿಸುಮಾರು 11 ಅಂಕಗಳಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

5. ತ್ವರಿತ ಮಾರ್ಗ: ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರ (ಗಣನೆ)

ಮೇಲಿನ ಹಸ್ತಚಾಲಿತ ವಿಧಾನದ ಹೊರತಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಡೇಟಾ ಇದ್ದರೆ:

ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
\[
s^2 = \frac{\ಮೊತ್ತ x_i^2 – \frac{(\ಮೊತ್ತ x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]

ಈ ಸೂತ್ರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದತ್ತಾಂಶದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇನ್ನೂ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಹಂತ-ಹಂತದ ವಿಧಾನವು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ → ವರ್ಗ → ಮೊತ್ತ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೋಷಗಳಿಂದ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

- ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: ದತ್ತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿ ಬಳಿ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
- ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: ದತ್ತಾಂಶವು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ದೂರದಲ್ಲಿ ಹರಡಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವರ್ಗಗಳು ಒಂದೇ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, 74. ವರ್ಗ A ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ 5 ಮತ್ತು ವರ್ಗ B ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ 15 ಇದ್ದರೆ, ವರ್ಗ A ಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಮ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವರ್ಗ B ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಕೆಲವು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚು.

7. ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು:

1. ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಜಕವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ (N vs n − 1).
2. ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳು ತಪ್ಪಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುವ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು.
3. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಮರೆತುಬಿಡುವುದು, ಅಥವಾ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದು.
4. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅಂಕಗಣಿತದ ದೋಷಗಳು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಬಹುದು.

ಪೆನುಟಪ್

ನೀವು ಹಂತಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ: ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಪ್ರತಿ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, (n ಅಥವಾ n − 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ), ಮತ್ತು ನಂತರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾ ಎಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ಡೇಟಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಆವರ್ತನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು) ಅಥವಾ ಎಕ್ಸೆಲ್/ಗೂಗಲ್ ಶೀಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನಾನು ರಚಿಸಬಹುದು.