វិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត៖ ការវិភាគដ៏ទូលំទូលាយ
វិធីសាស្ត្រ Least Squares គឺជាបច្ចេកទេសមួយក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋានបំផុតនៅក្នុងការវិភាគតំរែតំរង់ស្ថិតិ ដែលដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការធ្វើឱ្យទិន្នន័យសមស្រប ការធ្វើគំរូ និងការវិភាគព្យាករណ៍។ វាគឺជាវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាដែលកាត់បន្ថយផលបូកនៃការ៉េនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃសង្កេត និងតម្លៃព្យាករណ៍។ ដោយធ្វើដូច្នេះ វាផ្តល់នូវខ្សែបន្ទាត់ ឬខ្សែកោងដែលសមស្របបំផុតទៅនឹងសំណុំចំណុចទិន្នន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ពីមូលដ្ឋានគ្រឹះ ការអនុវត្ត ដេរីវេ និងដែនកំណត់នៃវិធីសាស្ត្រ Least Squares។
ប្រវត្ដិនៃពិធីបុណ្យ
វិធីសាស្ត្រ Least Squares ត្រូវបានណែនាំជាលើកដំបូងដោយលោក Carl Friedrich Gauss ក្នុងឆ្នាំ 1795 ក្នុងអាយុ 18 ឆ្នាំ ទោះបីជាវាមិនត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយរហូតដល់ឆ្នាំ 1809 ក៏ដោយ។ លោក Adrien-Marie Legendre ដែលជាគណិតវិទូលេចធ្លោម្នាក់ទៀត បានបង្កើត និងបោះពុម្ពផ្សាយវិធីសាស្ត្រស្រដៀងគ្នានេះដោយឯករាជ្យនៅឆ្នាំ 1805។ ទោះបីជាយ៉ាងនេះក្តី សញ្ញាណ និងការពង្រីកវិធីសាស្ត្ររបស់ Gauss បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការប្រើប្រាស់សម័យទំនើប។
មូលដ្ឋានគ្រឹះគណិតវិទ្យា
ក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា វិធីសាស្ត្រ Least Squares ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើឱ្យគំរូលីនេអ៊ែរសមនឹងសំណុំចំណុចទិន្នន័យ។ ដោយផ្អែកលើសំណុំចំណុចទិន្នន័យ `n` \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)\) គោលដៅគឺដើម្បីស្វែងរកបន្ទាត់ \(y = mx + c\) ដែលបង្រួមអប្បបរមានូវផលបូកនៃការ៉េនៃចម្ងាយបញ្ឈរ (សំណល់) រវាងតម្លៃដែលបានសង្កេតឃើញ \(y_i\) និងតម្លៃដែលបានព្យាករណ៍ដោយបន្ទាត់ \(\hat{y}_i\)។
តាមគណិតវិទ្យា គោលបំណងនេះអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម៖
\[ S = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + c))^2 \]
សមីការនេះតំណាងឱ្យផលបូកនៃការ៉េនៃសំណល់ \(S\) ហើយគោលដៅរបស់យើងគឺស្វែងរកតម្លៃនៃ \(m\) (ជម្រាល) និង \(c\) (ចំណុចប្រសព្វ) ដែលបង្រួមអប្បបរមា \(S\)។
ដេរីវេ
ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ \(m\) និង \(c\) ដែលបង្រួមអប្បបរមាផលបូកនៃការ៉េ \(S\) យើងយកដេរីវេដោយផ្នែកនៃ \(S\) ទាក់ទងទៅនឹង \(m\) និង \(c\) ហើយកំណត់វាទៅសូន្យ។
១. ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង \(m\):
\[ \frac{\partial S}{\partial m} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i – (mx_i + c))(-x_i) = 0 \]
២. ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង \(c\):
\[ \frac{\partial S}{\partial c} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i – (mx_i + c))(-1) = 0 \]
ការដោះស្រាយសមីការដំណាលគ្នាទាំងនេះនាំឱ្យមានសមីការធម្មតា៖
\[ ម = \frac{n(\ផលបូក x_i y_i) – (\ផលបូក x_i)(\ផលបូក y_i)}{n (\ផលបូក x_i^2) – (\ផលបូក x_i)^2} \]
\[ c = \frac{(\ផលបូក y_i)(\ផលបូក x_i^2) – (\ផលបូក x_i)(\ផលបូក x_i y_i)}{n(\ផលបូក x_i^2) – (\ផលបូក x_i)^2} \]
សមីការទាំងនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃនៃ \(m\) និង \(c\) ដែលកាត់បន្ថយផលបូកនៃសំណល់ការ៉េ។
ការកម្មវិធី
វិធីសាស្ត្រ Least Squares មានកម្មវិធីយ៉ាងទូលំទូលាយនៅទូទាំងវិស័យផ្សេងៗគ្នា៖
១. សេដ្ឋកិច្ច និងហិរញ្ញវត្ថុ៖ ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូ និងព្យាករណ៍សូចនាករសេដ្ឋកិច្ចដូចជា ផលិតផលក្នុងស្រុកសរុប អត្រាអតិផរណា និងតម្លៃភាគហ៊ុន។
២. វិស្វកម្ម៖ អនុវត្តក្នុងដំណើរការសញ្ញា ប្រព័ន្ធត្រួតពិនិត្យ និងការធ្វើតេស្តភាពជឿជាក់ ដើម្បីឱ្យគំរូសមស្របទៅនឹងទិន្នន័យជាក់ស្តែង។
៣. វេជ្ជសាស្ត្រ៖ ជួយក្នុងការធ្វើឱ្យខ្សែកោងលូតលាស់ ខ្សែកោងឆ្លើយតបកម្រិតថ្នាំ និងដំណើរការជីវសាស្រ្តផ្សេងទៀតសមនឹងទិន្នន័យពិសោធន៍។
៤. ការរៀនដោយម៉ាស៊ីន៖ គំរូតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរ ដែលជារឿយៗប្រើវិធីសាស្ត្រ Least Squares សម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃបច្ចេកទេសរៀនដែលមានការត្រួតពិនិត្យ។
៥. តារាសាស្ត្រ៖ ធ្លាប់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ Gauss ដើម្បីគណនាគន្លងនៃវត្ថុសេឡេស្ទាល។
បំរែបំរួលនិងផ្នែកបន្ថែម
១. ការ៉េតូចបំផុតដែលមានទម្ងន់៖ ក្នុងករណីដែលការសង្កេតមានភាពប្រែប្រួលខុសៗគ្នា ការ៉េតូចបំផុតដែលមានទម្ងន់នឹងកំណត់ទម្ងន់ទៅចំណុចទិន្នន័យនីមួយៗ ដោយកាត់បន្ថយផលបូកដែលមានទម្ងន់នៃការ៉េ។
២. ការ៉េតូចបំផុតមិនមែនលីនេអ៊ែរ៖ ពង្រីកវិធីសាស្ត្រឱ្យសមនឹងគំរូមិនមែនលីនេអ៊ែរ ជាញឹកញាប់តាមរយៈបច្ចេកទេសដដែលៗដូចជាក្បួនដោះស្រាយ Gauss-Newton ឬ Levenberg-Marquardt។
៣. ការ៉េតូចបំផុតដែលបានធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតា (តំរែតំរង់ជួរ)៖ បន្ថែមពាក្យពិន័យទៅផលបូកនៃការ៉េដើម្បីការពារការសមពេក ដែលមានប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅពេលដោះស្រាយជាមួយពហុកូលីនេអ៊ែរ។
៤. ការ៉េតូចបំផុតទូទៅ៖ ពន្យល់ពីការសង្កេតដែលមានទំនាក់ទំនងគ្នា ដោយពង្រីកវិធីសាស្ត្រការ៉េតូចបំផុតដើម្បីដោះស្រាយកំហុសអូតូសហសម្ព័ន្ធ និងកំហុសហេតេរ៉ូសេដាស្ទិក។
ឧបករណ៍គណនា
ឧបករណ៍កម្មវិធី និងបរិស្ថានសរសេរកម្មវិធីជាច្រើនផ្តល់នូវមុខងារដែលភ្ជាប់មកស្រាប់សម្រាប់អនុវត្តតំរែតំរង់ការេតិចបំផុត៖
១. Python៖ បណ្ណាល័យដូចជា NumPy និង SciPy ផ្តល់អនុគមន៍ `numpy.linalg.lstsq` និង `scipy.optimize.curve_fit` សម្រាប់ការសមការ៉េតូចបំផុតលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែររៀងៗខ្លួន។
2. R: អនុគមន៍ដូចជា `lm()` សម្រាប់គំរូលីនេអ៊ែរ និង `nls()` សម្រាប់គំរូមិនមែនលីនេអ៊ែរនៅក្នុងបរិយាកាសស្ថិតិដ៏ទូលំទូលាយរបស់ R។
៣. MATLAB៖ អនុគមន៍ `lsqcurvefit` នៅក្នុង MATLAB ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការសមមិនលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងការគាំទ្រដែលភ្ជាប់មកជាមួយសម្រាប់ប្រតិបត្តិការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។
ដែនកំណត់
ទោះបីជាមានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រ Least Squares មានដែនកំណត់៖
១. ភាពរសើបចំពោះអថេរក្រៅប្រព័ន្ធ៖ រូបមន្ត Least Squares មានភាពរសើបខ្លាំងចំពោះអថេរក្រៅប្រព័ន្ធ ព្រោះពាក្យការ៉េបង្កើនផលប៉ះពាល់នៃសំណល់ធំៗ។
២. ការសន្មត់នៃភាពជាលីនេអ៊ែរ៖ សន្មត់ទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអថេរ ដែលអាចនឹងមិនពិតសម្រាប់សំណុំទិន្នន័យស្មុគស្មាញ។
៣. បញ្ហាពហុកូលីនេអ៊ែរ៖ នៅក្នុងការវិភាគតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរច្រើន ពហុកូលីនេអ៊ែររវាងអថេរព្យាករណ៍អាចបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយការប៉ាន់ស្មានមេគុណ។
៤. ភាពដូចគ្នានៃភាពខុសគ្នា (ភាពដូចគ្នានៃភាពខុសគ្នា)៖ សន្មតថាភាពខុសគ្នានៃពាក្យកំហុសគឺថេរនៅទូទាំងការសង្កេត ដែលអាចមិនមែនជាករណីជានិច្ចនោះទេ។
សន្និដ្ឋាន
វិធីសាស្ត្រ Least Squares ទោះបីជាវាមានអាយុកាលយូរក៏ដោយ នៅតែជាមូលដ្ឋានគ្រឹះមួយក្នុងការវិភាគទិន្នន័យស្ថិតិ និងការធ្វើគំរូ។ ភាពសាមញ្ញ ប្រសិទ្ធភាព និងភាពអាចសម្របខ្លួនទៅនឹងទម្រង់ផ្សេងៗ ចាប់ពីតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរជាមូលដ្ឋាន រហូតដល់គំរូមិនលីនេអ៊ែរ និងគំរូទូទៅស្មុគស្មាញ ធ្វើឱ្យវាមានតម្លៃមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ ការយល់ដឹងអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះគណិតវិទ្យា កម្មវិធី និងដែនកំណត់របស់វាគឺមានសារៈសំខាន់សម្រាប់អ្នកដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការវិភាគទិន្នន័យ ដោយធានាថាវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវដើម្បីទទួលបានការយល់ដឹងដែលមានអត្ថន័យ។ មិនថានៅក្នុងវិស័យសិក្សា ឬឧស្សាហកម្មទេ វិធីសាស្ត្រ Least Squares នៅតែជាឧបករណ៍ដ៏រឹងមាំមួយសម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីទំនាក់ទំនងនៅក្នុងទិន្នន័យ និងធ្វើការព្យាករណ៍ដែលមានព័ត៌មាន។
