ការដោះស្រាយសមីការដំណាលគ្នា

ការដោះស្រាយសមីការដំណាលគ្នា

សមីការ​ដំណាលគ្នា ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជាប្រព័ន្ធសមីការ គឺជាសំណុំនៃសមីការដែលមានអថេរច្រើន។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ពីព្រោះវាត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយគ្នា មានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវតែបំពេញសមីការទាំងអស់ក្នុងពេលតែមួយ។ ការដោះស្រាយសមីការក្នុងពេលដំណាលគ្នា គឺជាជំនាញជាមូលដ្ឋានមួយក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលរកឃើញការអនុវត្តនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា រូបវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច វិស្វកម្ម និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ។ អត្ថបទនេះមានគោលបំណងផ្តល់នូវទិដ្ឋភាពទូទៅដ៏ទូលំទូលាយនៃវិធីសាស្រ្តដែលត្រូវបានប្រើជាទូទៅដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

គោលគំនិតមូលដ្ឋាន

មុននឹងចូលទៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការដំណាលគ្នា វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីពាក្យបច្ចេកទេស និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយចំនួន។

– អថេរ៖ និមិត្តសញ្ញាដែលតំណាងឱ្យតម្លៃដែលមិនស្គាល់ ជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចជា x, y និង z។
– សមីការលីនេអ៊ែរ៖ សមីការដែលអថេរត្រូវបានលើកឡើងដល់ស្វ័យគុណមួយ ហើយលេចឡើងក្នុងទម្រង់លីនេអ៊ែរ (ឧទាហរណ៍ \(2x + 3y = 6\))។
– សមីការមិនលីនេអ៊ែរ៖ សមីការដែលពាក់ព័ន្ធនឹងអថេរដែលលើកឡើងជាស្វ័យគុណក្រៅពីមួយ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលគុណនៃអថេរ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ជាដើម។ (ឧទាហរណ៍ \(x^2 + y^2 = 9\))។
- ប្រព័ន្ធសមីការ៖ សំណុំនៃសមីការពីរ ឬច្រើនដែលចែករំលែកសំណុំអថេរដូចគ្នា។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ស្តង់ដារនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 5
\end{cases}
\]

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺគូ \((x, y)\) ណាមួយដែលបំពេញសមីការទាំងពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដំណាលគ្នា

១. វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក

វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកពាក់ព័ន្ធនឹងការគូសវាសមីការនីមួយៗនៅលើក្រឡាចត្រង្គកូអរដោនេ និងកំណត់ចំណុចដែលក្រាហ្វប្រសព្វគ្នា។ ចំណុចប្រសព្វតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។

ជំហាន:
១. បម្លែងសមីការនីមួយៗទៅជាទម្រង់ \( y = mx + c\) ដែល \( m\) ជាជម្រាល និង \( c\) ជាចំណុចប្រសព្វ y។
២. គូសបន្ទាត់ដែលតំណាងដោយសមីការទាំងនេះនៅលើក្រាហ្វ។
៣. រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។

ឧទាហរណ៍ ៖
ពិចារណាប្រព័ន្ធសមីការ៖
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 5
\end{cases}
\]

បំលែងពួកវាទៅជាទម្រង់ចំនុចប្រសព្វនៃជម្រាល៖
\[
\begin{cases}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x − 5
\end{cases}
\]

គូសបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វដែលតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ដំណោះស្រាយគឺ \((x, y) = (1.5, 1)\)។

២. វិធីសាស្ត្រជំនួស

វិធីសាស្ត្រជំនួសពាក់ព័ន្ធនឹងការដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ ហើយជំនួសកន្សោមនោះទៅក្នុងសមីការមួយទៀត។

ជំហាន:
១. ដោះស្រាយសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការសម្រាប់អថេរមួយ។
២. ជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត ដែលនឹងបង្កើតបានជាសមីការតែមួយដែលមានអថេរមួយ។
៣. ដោះស្រាយសមីការអថេរតែមួយនេះ។
៤. ជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានត្រឡប់ទៅក្នុងកន្សោមដែលមានក្នុងជំហានទី 1 ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ៖
ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 5
\end{cases}
\]

ដោះស្រាយសមីការទីមួយសម្រាប់ y៖
\[
y = 2 – x
\]

ជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ៖
\[
៤x – (២ – \frac{2}{3}x) = ៥
\]

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងដោះស្រាយសម្រាប់ \(x\):
\[
៤x – ២ + \frac{2}{3}x = ៥ \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]

ជំនួស \( x = \frac{3}{2} \) ត្រឡប់ទៅ \( y = 2 – \frac{2}{3}x \) វិញ៖
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \ដង \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]

ដូច្នេះដំណោះស្រាយគឺ \((x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right)\)។

៣. វិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់

វិធីសាស្ត្រ​លុបបំបាត់​ពាក់ព័ន្ធនឹង​ការបូក ឬដក​សមីការ ដើម្បី​លុបបំបាត់​អថេរ​មួយ ដែលធ្វើឱ្យ​អាចដោះស្រាយ​រក​អថេរ​ដែលនៅសេសសល់​បាន។

ជំហាន:
១. គុណសមីការមួយ ឬទាំងពីរដោយចំនួនថេរ ដើម្បីឱ្យមេគុណនៃអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរទាំងនោះផ្ទុយគ្នា។
2. បូក ឬដកសមីការដើម្បីលុបអថេរមួយ។
៣. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់អថេរដែលនៅសល់។
៤. ជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការដើមមួយ ដើម្បីរកតម្លៃនៃអថេរដែលត្រូវបានលុបចេញ។

ឧទាហរណ៍ ៖
ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 5
\end{cases}
\]

គុណសមីការទីពីរដោយ 3៖
\[
៤x – y = ៥ \\
12x − 3y = 15
\]

បន្ថែមសមីការទីពីរដែលបានកែប្រែទៅសមីការទីមួយ៖
\[
២x + ៣ឆ្នាំ + ១២x – ៣ឆ្នាំ = ៦ + ១៥ \\
១៤គុណ = ២១ \\
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]

ជំនួស \( x = \frac{3}{2} \) ទៅក្នុងសមីការដើមមួយ៖
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
៣ + ៣ឆ្នាំ = ៦ \\
៣ឆ្នាំ = ៣ \\
y = ១៤
\]

ដូច្នេះដំណោះស្រាយគឺ \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right)\)។

៤. វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ការលុបបំបាត់ហ្គោសៀន និងច្រាស)

ចំពោះប្រព័ន្ធធំៗ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសដូចជាការលុបបំបាត់ Gaussian ឬការប្រើប្រាស់ការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសអាចមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ការលុបបំបាត់ Gaussian៖
១. សរសេរប្រព័ន្ធនេះជាម៉ាទ្រីសបន្ថែម។
2. ប្រើ​ប្រមាណវិធី​ជួរដេក​ដើម្បី​បម្លែង​ម៉ាទ្រីស​ទៅជា​ទម្រង់​ថ្នាក់​ជួរដេក។
៣. ជំនួស​ថយក្រោយ​ដើម្បី​ស្វែងរក​ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៖
ប្រព័ន្ធ:
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 5
\end{cases}
\]

ម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖
\[
\begin{pmatrix}
២ និង ៣ និង | និង ៦ \\
៤ និង -១ និង | និង ៥
\end{pmatrix}
\]

ប្រតិបត្តិការជួរដេកទៅជាទម្រង់កម្រិតជួរដេក៖
១. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\begin{pmatrix}
២ និង ៣ និង | និង ៦ \\
២ និង -៣ និង | និង -១
\end{pmatrix}
\]

ជំនួស​ខាងក្រោយ៖
\[
-7y = -7 \u003d y = 1 \\
2x + 3(1) = 6 \ មានន័យថា 2x =