Бұрыштық импульс

Бұрыштық импульс

Сызықтық қозғалыстағы массаға (m) тең болатын айналмалы қозғалыс мөлшері инерция моменті (I) болып табылады. Сызықтық қозғалыстағы жылдамдыққа (v) тең болатын айналмалы қозғалыс мөлшері бұрыштық жылдамдық (ω) болып табылады. Осылайша, айналмалы дененің бұрыштық импульсі келесі теңдеуді пайдаланып есептеледі:

L = I ω

L = бұрыштық импульс (кг м² ^/ с), I = инерция моменті (кг м² ⁾ , ω = бұрыштық жылдамдық (рад/с)

Бұрыштық импульстің үлгі есептері

1-үлгі есеп.

Массасы 0.5 грамм болатын бөлшек 2 рад/с тұрақты бұрыштық жылдамдықпен шеңбер бойымен қозғалады. Егер бөлшектің жолының радиусы 10 см болса, бөлшектің бұрыштық импульсін анықтаңыз.

Шешім:

Бөлшектің инерция моменті:

I = мырза ² = (0.5 x 10 ^-3 кг)(1 x 10 ^-1 м) ² = (0.5 x 10 ^-3 кг)(1 x 10 ^-2 м ² ) = 0.5 x 10 ^-5 кг ​​м ²

Бөлшектің бұрыштық жылдамдығы:

ω = 2 рад/с

Бөлшектің бұрыштық импульсі:

L = (0.5 x 10 ^-5 кг ​​м² ⁾ (2 рад/с) = 1 x 10 ^-5 кг ​​м² ^/ с

Бұрыштық импульстің сақталу заңы

Бұрыштық импульстің сақталу заңы бойынша, егер айналғанда қатты денеге әсер ететін күш моменті нөлге тең болса, онда айналғанда қатты дененің бұрыштық импульсі әрқашан тұрақты болады. Бұрыштық импульстің сақталу заңын Ньютонның бұрыштық импульстің екінші заңының теңдеуін өзгерту арқылы математикалық жолмен алуға болады. Міне, Ньютонның бұрыштық импульстің екінші заңының теңдеуі:

Егер күш моменті нөлге тең болса, онда жоғарыдағы теңдеу келесідей өзгереді:

I _t = соңғы инерция моменті, I _o = бастапқы инерция моменті, ω _t = соңғы бұрыштық жылдамдық, ω _o = бастапқы бұрыштық жылдамдық, L _t = соңғы бұрыштық импульс, L _o = бастапқы бұрыштық импульс.

Бұрыштық импульстің сақталу заңының үлгі есептері

1-үлгі есеп.

Біртекті қатты цилиндрлі диск бастапқыда өз осі бойынша 4 рад/с жылдамдықпен айналады. Дискінің массасы мен радиусы 1 кг және 0.5 м. Егер пластинаның үстіне массасы мен радиусы 0.2 кг және 0.1 м және сақинаның центрі орналасқан сақина орналастырылса,

дискінің ортасынан сәл жоғарырақ болса, диск пен сақина бұрыштық жылдамдықпен бірге айналады...

Шешім:

Қатты цилиндрдің инерция моменті: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 кг)(0.5 м) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 кг м ²

Сақинаның инерция моменті: I = mr ² = (0.2 кг)(0.1 м) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 кг м ²

Бастапқы бұрыштық импульс (L1 ₎ = Соңғы бұрыштық импульс ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 кг м² ⁾ (4 рад/с) = (0.125 кг м² ⁺ 0.002 кг м² ⁾ (ω _² )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 рад/с

Тұжырымдамалық сұрақтар мен жауаптар

1. Бұрыштық импульс дегеніміз не?
   Жауап: Бұрыштық импульс - бұл дененің массасы мен пішінін ескере отырып, айналу мөлшерін өлшейтін құрал. Бұл сызықтық импульстің айналмалы аналогы.
2. Бұрыштық импульс математикалық түрде қалай анықталады?
   Жауап: Бұрыштық импульс (L) келесідей анықталады $L=r\times p$, мұндағы $r$ айналу осінен қолдану нүктесіне дейінгі позиция векторы болып табылады және $p$ сызықтық импульс болып табылады.
3. Бұрыштық импульс скалярлық шама ма, әлде векторлық шама ма?
   Жауап: Бұрыштық импульс - векторлық шама.
4. SI жүйесіндегі бұрыштық импульстің өлшем бірлігі қандай?
   Жауап: SI жүйесіндегі бұрыштық импульс бірлігі килограмм-метр квадрат/секунд (кг·м) болып табылады.²/с).
5. Бұрыштық импульс қалай сақталады?
   Жауап: Сыртқы моменттері жоқ тұйық жүйеде жалпы бұрыштық импульс тұрақты болып қалады.
6. Бұрыштық импульстің сақталу принципі қандай?
   Жауап: Бұл принцип жабық жүйенің жалпы бұрыштық импульсі сыртқы момент әсер етпесе, тұрақты болып қалатынын айтады.
7. Мәнерлеп сырғанаушының айналуы бұрыштық импульспен қалай байланысты?
   Жауап: Мәнерлеп сырғанаушы айналу кезінде қолдары мен аяқтарын денесіне жақындатқанда, олардың инерция моменті азаяды, бұл олардың жылдам айналуына әкеледі. Бұл бұрыштық импульстің сақталуын көрсетеді.
8. Момент моменті мен бұрыштық импульстің арасында қандай байланыс бар?
   Жауап: Айналдыру моменті ($\tau$) бұрыштық импульстің өзгеру жылдамдығы. Математикалық тұрғыдан алғанда, τ=dл/сек​.
9. Бұрыштық жылдамдықсыз нысанның бұрыштық импульсі болуы мүмкін бе?
   Жауап: Жоқ, егер дененің бұрыштық импульсі болса, оның бұрыштық жылдамдығы болады. Бұрыштық импульстің шамасы мен бағыты инерция моментіне де, бұрыштық жылдамдыққа да байланысты.
10. Инерция моменті бұрыштық импульске қалай әсер етеді?
    Жауап: Бұрыштық импульс (L) инерция моменті (I) мен бұрыштық жылдамдықтың (ω) көбейтіндісі болып табылады. АҚШ $L=I\omega$, берілген бұрыштық жылдамдық үшін инерция моментінің артуы бұрыштық импульсті арттырады.
11. Кванттық механикада спин мен орбиталық бұрыштық импульстің айырмашылығы неде?
    Жауап: Спин бұрыштық импульсі электрондар сияқты бөлшектердің ішкі қасиеті болып табылады және кеңістіктегі қозғалыстан туындамайды. Ал орбиталық бұрыштық импульс, керісінше, бөлшектің орталық нүктенің айналасындағы қозғалысынан туындайды.
12. Планетарлық жүйелердің қалыптасуында бұрыштық импульс қандай рөл атқарады?
    Жауап: Молекулалық бұлт жұлдыздар мен планеталарды қалыптастыру үшін ыдыраған кезде, бұрыштық импульстің сақталуы материалдың жаңа туған жұлдыздың айналасындағы дискке жалпақтануына әкеледі, одан планеталар пайда бола алады.
13. Гироскоп кеңістікте бағдарын қалай сақтайды?
    Жауап: Айналмалы гироскоптың бұрыштық импульсі бар. Сыртқы айналу моменті бағытын өзгертуге тырысқанда, гироскоп бұрыштық импульстің сақталуына байланысты қолданылған айналу моментіне перпендикуляр бағытта айналу осін өзгертеді немесе прецессиялайды.
14. Айналдыратын топта прецессияның пайда болуына не себеп болады?
    Жауап: Айналмалы үстіңгі бөліктегі прецессия үстіңгі бөліктің массалық центріне әсер ететін ауырлық күшінің айналу моментінен туындайды, ол оның айналу нүктесінен ауытқиды. Бұл момент үстіңгі бөліктің бұрыштық импульсінің бағытының өзгеруіне әкеледі, бұл оның прецессияға ұшырауына әкеледі.
15. Неліктен жұлдыздар өз полюстерінде жалпақтанады?
    Жауап: Жұлдыздар айналған кезде, олар затты сыртқа итеретін центрифугалық күшті сезінеді. Бұл әсер экваторда полюстерге қарағанда күштірек болады, бұл жалпақ немесе жалпақ пішінге әкеледі.
16. Бұрыштық импульс Кеплердің екінші заңымен қалай байланысты?
    Жауап: Кеплердің екінші заңы бойынша, планета мен Күнді қосатын сызық кесіндісі уақыттың тең аралықтарында тең аудандарды сызып өтеді. Бұл бұрыштық импульстің сақталу заңының салдары.
17. Неліктен мысық құлаған кезде әрқашан аяғына отырады?
    Жауап: Мысықтар бұрыштық импульстің сақталу заңын пайдаланады. Денелерін бұрап, ауада инерция моменттерін өзгерту арқылы олар сақталу заңдарын бұзбай, аяқтарына қонуға қайта бағыттала алады.
18. Электрондардағы магнит моменті бұрыштық импульспен қалай байланысты?
    Жауап: Электронның магниттік моменті оның спині мен орбиталық бұрыштық импульсынан туындайды. Магниттік момент электронның бұрыштық импульсіне пропорционал.
19. Полярлық координаталар тұрғысынан бұрыштық импульс дегеніміз не?
    Жауап: Полярлық координаттарда бұрыштық импульс $L$ нүктелік масса үшін келесідей өрнектеуге болады $L=mrv$, мұндағы $m$ массасы болып табылады, $r$ радиалды қашықтық болып табылады, және $v$ тангенциалды жылдамдық болып табылады.
20. Екі объект соқтығысқан кезде тұйық жүйенің бұрыштық импульсі қалай өзгереді?
    Жауап: Екі нысан соқтығысатын тұйық жүйеде, жүйеге сыртқы моменттер әсер етпесе, соқтығысуға дейінгі жалпы бұрыштық импульс соқтығысудан кейінгі жалпы бұрыштық импульске тең болады.

Мәселелер мен шешімдер

1. Есеп: Массасы m = 2 кг нүкте радиусы r = 4 м шеңбер бойымен v = 3 м/с жылдамдықпен қозғалады. Оның шеңбердің центріне қатысты бұрыштық импульсін есептеңіз.

Шешімі: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 кг.м² ^/ с

2. Есеп: Массасы 3 кг және радиусы 0.5 м болатын қатты сфера диаметрінің айналасында ω = 2 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсі қандай?

Шешімі: Қатты сфера үшін I = 2/5 м r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 кг.м ² /с

3. Есеп: Массасы 3 кг нүкте түзу сызық бойымен 4 м/с жылдамдықпен қозғалады. Қозғалыс сызығынан 5 м қашықтықта орналасқан нүктеге қатысты оның импульсі қандай?

Шешім:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 кг.м² ^/ с

4. Есеп: Массасы 5 кг және радиусы 3 м диск 2 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсін есептеңіз.

Шешімі: Диск үшін I = 1/2 м r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 кг.м ² /с

5. Есеп: Ұзындығы 4 м және массасы 2 кг стержень бір ұшымен 3 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсін табыңыз.

Шешімі: Бір ұшы бар өзек үшін I = 1/3 м л ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 кг.м ² /с

6. Есеп: Айналмалы дененің бұрыштық жылдамдығы екі есе артса, импульстің өзгерісі қандай болады?

Шешімі: Бұрыштық импульс (L) мен бұрыштық жылдамдық (ω) арасындағы байланыс $L=I\times \omega$ . Егер ω екі еселенсе, бұрыштық импульс те екі еселенеді.

7. Есеп: Егер қозғалыстағы бөлшектің дөңгелек жолының радиусы жылдамдық тұрақты болған кезде екі есе артса, бұрыштық импульс қандай есеге өзгереді?

Шешімі: Бұрыштық импульс, $L=m\times r\times v$ . Егер r екі еселенсе, L де екі еселенеді.

8. Есеп: Массасы 30 кг бала тыныштықта тұрған карусельдің шетінде тұр. Карусельдің радиусы 2 м. Егер бала жерге қатысты жиек бойымен 2 м/с жылдамдықпен жүгіре бастаса, баланың центрге қатысты бұрыштық импульсін табыңыз.

Шешімі: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 кг.м² ^/ с

9. Есеп: Массасы 6 кг және радиусы 2 м цилиндр өзінің орталық осі бойымен 5 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсін есептеңіз.

^Шешімі : Цилиндр үшін I = 1/2 м r2

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 кг.м² ^/ с

10. Есеп: Дененің инерция моменті екі есеге, ал бұрыштық жылдамдығы үш есеге азайса, оның жаңа бұрыштық импульсі қандай болады?

Шешімі: $L=I\times \omega$ берілгенде , егер $I$ екіге, ал $\omega$ үшке бөлінсе, жаңа $L$ бастапқы L -дің 1/2×3=1.5 ×-ке тең болады .

11. Есеп: Массасы 2 кг және радиусы 1 м шеңбер 4 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсін есептеңіз.

Шешімі: Шығыршық үшін I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 кг.м² ^/ с

12. Есеп: Желдеткіштің қалақтарының ұзындығы 0.5 м және жалпы массасы 1 кг. Егер ол 10 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналса, оның бұрыштық импульсін анықтаңыз.

Шешімі: Желдеткіш қалақшалары бір ұшында айналатын шыбықтар тәрізді деп есептесек, ^I = 1/3 м л2

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 кг.м² ^/ с

13. Есеп: Жердің айналуына байланысты өз осі бойынша бұрыштық импульсін есептеңіз. Берілгені: Жердің массасы ⁼ 5.972 × 1024 ^кг , радиусы $r=6371\text{км}$ , $\omega =7.27\times 10-5\text{рад/с}$.

Шешімі: ^Жерді қатты сфера деп есептесек , I = 2/5 м²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ кг.м ² / с

14. Есеп: Бала айналмалы платформаның центріне қарай қозғалады. Бұрыштық импульс артады ма, кеми ме, әлде өзгеріссіз қалады ма?

Шешімі: Бұрыштық импульс сақталады. Бала центрге қарай қозғалған сайын инерция моменті азаяды. Бұрыштық импульсті сақтау үшін бұрыштық жылдамдық артады. Осылайша, бұрыштық импульс өзгеріссіз қалады.

15. Есеп: Айналмалы дененің кинетикалық энергиясы екі есе артса, оның бұрыштық импульсі қандай есе өзгереді?

Шешімі: Кинетикалық энергия K = 1/2 ​I ω ² және бұрыштық импульс $L=I\omega$ . Егер кинетикалық энергия екі еселенсе және $I$ тұрақты болып қалса, ω ² екі еселенеді. Бұл $\omega$ √ 2 есе артатынын білдіреді .$Осылайша,\; L$ де √ 2 есе артады .

16. Есеп: Радиусы 0.3 м велосипед дөңгелегінің массасы 1.5 кг болатын жиегі бар. Егер ол 5 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналса, оның бұрыштық импульсін табыңыз.

Шешімі: Жиекті шеңбер деп есептесек, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 кг.м² ^/ с

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 кг.м ² / с

17. Есеп: Конькиші айналып тұрғанда қолдарын ішке қарай тартады. Оның бұрыштық импульсі не болады?

Шешімі: Коньки тебушінің бұрыштық импульсі сақталады. Қолдарын ішке тарту арқылы ол инерция моментін азайтады, осылайша ол бұрыштық импульсін сақтау үшін жылдамырақ айналады (бұрыштық жылдамдықтың артуы).

18. Есеп: Маховиктің инерция моменті 0.2 кг.м ² кг.м ² және ол 10 рад/с бұрыштық жылдамдықпен айналады. Оның бұрыштық импульсін табыңыз.

Шешім:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 кг.м² ^/ с

L = 0.2 × 10 = 2 кг.м² / с^​

19. Есеп: Жүйеге нөлге тең сыртқы момент әсер етеді. Оның бұрыштық импульсі туралы не айта аласыз?

Шешімі: Егер сыртқы моменттің жалпы моменті нөлге тең болса, онда бұрыштық импульстің сақталу заңына сәйкес, жүйенің жалпы бұрыштық импульсі тұрақты болып қалады.

20. Есеп: Массасы m = 5 кг нүкте оны P нүктесімен қосатын түзуге перпендикуляр v = 3 м/с жылдамдықпен қозғалады. Егер P нүктесінен қашықтығы 4 м болса, оның P нүктесіне қатысты бұрыштық импульсін табыңыз.

Шешім:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 кг.м ² /с

L = 5 × 4 × 3 = 60 кг.м ² / с