არქიმედეს პრინციპი

სტატია არქიმედეს პრინციპის შესახებ

უზარმაზარი მასის მქონე გემი არ იძირება, ხოლო პატარა ზომის ქვას შეუძლია ჩაიძიროს. რატომ? პასუხი მარტივია, თუ გესმით ამწევი ძალის კონცეფცია და არქიმედეს პრინციპი.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში აღმოვაჩენთ, რომ სითხეში ჩასმული საგნები, მაგალითად, ქვა, უფრო მცირე წონას იწონიან, ვიდრე მაშინ, როდესაც საგნები სითხეში არ არიან. შეიძლება გაგიჭირდეთ ქვის მიწიდან აწევა, მაგრამ იგივე ქვა ზღვის წყლის ფსკერიდან ძალისხმევის გარეშე ამოდის. ეს განპირობებულია ამწევი ძალით. ამწევი ძალა წარმოიქმნება სხვადასხვა სიღრმეზე სითხის წნევის სხვაობის გამო. სითხის წნევა იზრდება სიღრმის მატებასთან ერთად, რაც უფრო სქელია სითხე, მით უფრო დიდია სითხის წნევა. როდესაც საგანი სითხეში ჩადის, წნევის სხვაობა იქნება ობიექტის ზედა ნაწილში არსებულ სითხესა და ობიექტის ძირში არსებულ სითხეს შორის. ობიექტის ძირში მდებარე სითხეს უფრო მაღალი წნევა აქვს, ვიდრე ობიექტის ზედა ნაწილში არსებულ სითხეს.

ნახაზზე ხედავთ წყალში მოტივტივე ობიექტს. ობიექტის ძირში არსებულ სითხეს უფრო მაღალი წნევა აქვს, ვიდრე ობიექტის ზედა ნაწილში მდებარე სითხეს. ეს იმიტომ ხდება, რომ ობიექტის ქვეშ არსებულ სითხეს უფრო მნიშვნელოვანი სიღრმე აქვს, ვიდრე ობიექტის ზემოთ არსებულ სითხეს (p₂ > სთ₁).

_{სითხის წნევის რაოდენობა h 2} სიღრმეზე არის:

_{სითხის წნევის რაოდენობა h 1} სიღრმეზე არის:

F2 = ძალა, რომელსაც სითხე ამუშავებს ობიექტის ძირში, F1 _{= ძალა ,} რომელსაც სითხე ამუშავებს ობიექტის თავზე, A = ობიექტის ზედაპირის ფართობი

_F2-სა და F1- _ს შორის სხვაობა არის სითხის მიერ ობიექტზე მოქმედი სრული ძალა, რომელსაც ჩვენ ამწევ ძალას ვუწოდებთ. ამწევი ძალის რაოდენობაა:

F _{ამომგდები ძალა} = _F2 − _F1

F _buoyancy = (ρ gh ₂ A) − (ρ gh ₁ A)

F _buoyancy = ρ g A (h ₂ − h ₁ )

F _{ამომგდები} = ρ F g A h

F _{ამომგდები ძალა} = ρ F g V

ρ _F = სითხის სიმკვრივე, g = გრავიტაციული აჩქარება, V = სითხეში არსებული ობიექტების მოცულობა

ამგვარად, შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება, რომელიც ზემოთ მოცემული ამწევი ძალის (F ამწევი ძალის) რაოდენობას გამოხატავს:

F _buoyancy = ρ _F g V → m = ρ V

F _{ამომგდები ძალა} = m _F g

F _{ამომგდები ძალა} = w _F

m _F g = w _F = სითხის წონა, რომლის მოცულობაც იგივეა, რაც წყალში ჩაძირული ობიექტის მოცულობა.

ზემოთ მოცემული განტოლების საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამომგდები ძალა უდრის გადაადგილებული სითხის წონას, გადაადგილებული სითხის მოცულობა მსგავსია სითხეში ჩაძირული ობიექტის მოცულობისა.

თუ ობიექტი ჩასმულია სითხეში, მცურავში, სადაც ჩასმული ობიექტის ნაწილი მხოლოდ ნაწილია,

შემდეგ გადაადგილებული სითხის მოცულობა = სითხეში ჩაძირული საგნის იმ ნაწილის მოცულობა. არ აქვს მნიშვნელობა რა არის საგნი და რა ფორმისაა ის, ყველა ერთსა და იმავეს განიცდის. ეს არის არქიმედეს (ძვ.წ. 287-212) ნაშრომის შედეგი, რომელიც ცნობილია როგორც არქიმედეს პრინციპი.

არქიმედეს პრინციპი ამბობს, რომ:

როდესაც საგანი მთლიანად ან ნაწილობრივ იძირება სითხეში, სითხე საგანს ზევით მიმართულ ძალას (ამოძრავების ძალას) აძლევს, სადაც ზევით მიმართული ძალის (ამოძრავების ძალას) რაოდენობა ტოლია გადაადგილებული სითხის წონისა.

არქიმედეს ისტორია

არქიმედე, რომელიც ძვ.წ. 287-212 წლებში ცხოვრობდა, მეფე ჰიერონ II-მ დაავალა გამოეკვლია, დამზადებული იყო თუ არა მეფისთვის დამზადებული გვირგვინი სუფთა ოქროსგან. თავიდან არქიმედე დაიბნა იმის გასარკვევად, დამზადებული იყო თუ არა გვირგვინი სუფთა ოქროსგან, თუ ის სხვა ლითონებსაც შეიცავდა. პრობლემა ის იყო, რომ გვირგვინის ფორმა არარეგულარულია და მისი განადგურება თავიდან შეუძლებელია, რათა დადგინდეს, დამზადებულია თუ არა გვირგვინი სუფთა ოქროსგან.

გვირგვინის სუფთა ოქროსგან დამზადებულის განსაზღვრის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ ჯერ განვსაზღვროთ გვირგვინის წონა და შემდეგ შევადაროთ იგი ოქროს სპეციფიკურ წონას. თუ გვირგვინი სუფთა ოქროსგან არის დამზადებული, მაშინ გვირგვინის სპეციფიკური წონა = ოქროს სპეციფიკურ წონას.

ობიექტის კუთრი წონა არის ჰაერში არსებული ობიექტის წონისა და წყლის წონის თანაფარდობა, რომლის მოცულობაც ტოლია ობიექტების მოცულობისა. მათემატიკურად იწერება:

როგორ განვსაზღვროთ წყლის წონა, რომლის მოცულობა ტოლია ობიექტების მოცულობისა?

არქიმედეს თანახმად, წყლის წონა, რომლის მოცულობაც სხეულის მოცულობის ტოლია, = ამომგდები ძალის რაოდენობას, რომელიც მოქმედებს სხეულის ჩაძირვისას (სხეულის მთელი ნაწილი წყალში იძირება). ეს იგივეა, რაც წყალში აწონვისას დაკარგული სხეულის წონა. ამიტომ:

გვირგვინის ხვედრითი წონის დასადგენად, გვირგვინი ჯერ ჰაერში იწონება (გვირგვინის წონა ჰაერში). შემდეგ გვირგვინი წყალში იდება და ხელახლა იწონება, რათა დადგინდეს გვირგვინის დაკარგული წონა. ამგვარად:

გვირგვინის ხვედრითი წონის გამოთვლის შემდეგ, იგი შედარებულია ოქროს ხვედრითი წონის მქონესთან. ოქროს ხვედრითი წონა = 19.3. თუ გვირგვინის ხვედრითი წონა = ოქროს ხვედრითი წონა, გვირგვინი დამზადებულია სუფთა ოქროსგან. მაგრამ თუ გვირგვინი არ არის დამზადებული სუფთა ოქროსგან, მაშინ გვირგვინის ხვედრითი წონა არ უდრის ოქროს ხვედრით წონას.

რატომ არ იძირება გემი?

თუ ობიექტის სიმკვრივე წყლის სიმკვრივეზე ნაკლებია, მაშინ ობიექტი წყალში იტივტივებს. პირიქით, თუ ობიექტის სიმკვრივე წყლის სიმკვრივეზე მეტია, მაშინ ობიექტი ჩაიძირება. გემების უმეტესობა რკინისა და ფოლადისგან მზადდება. რკინისა და ფოლადის სიმკვრივე = 7.8 x 10 ³ კგ/მ ³ , ხოლო წყლის სიმკვრივე = 1.00 x 10 ³ კგ/მ ^3. როგორც ჩანს, რკინისა და ფოლადის სიმკვრივე წყლის სიმკვრივეზე მეტია. ამ შემთხვევაში, რკინისა და ფოლადის ხვედრითი წონა = 7.8. გემი უნდა იძირება. რატომ არ იძირება გემი? გემის სრული სიმკვრივე წყლის ან ზღვის წყლის სიმკვრივეზე ნაკლებია.

მაგალითი პრობლემა 1:

აუზის ფსკერზე 40 კგ მასის ქვაა. თუ ქვის მოცულობა = 0.2 მ3, რა არის მინიმალური ძალა, რომელიც საჭიროა ქვის ასაწევად?

ცნობილი:

ქვის მასა (მ) = 40 კგ

ქვის მოცულობა (V) = 0.02 მ ³

წყლის სიმკვრივე = 1000 კგ/მ ³

გრავიტაციის აჩქარება (g) = 10 მ/ ^წმ²

სასურველი: მინიმუმ F

გადაჭრა:

F _{ამომგდები ძალა} = w _F

F _{ამომგდები ძალა} = m _F g → m = pV

F _{ამომგდები ძალა} = ρ _F g V

F _{ამწევი ძალა} = (1000 კგ/მ ³ )(10 მ/წმ ² )(0.02 მ ³ )

F _{ამომგდები ძალა} = 200 კგ მ/ ^წმ²

F _{ამომგდები ძალა} = 200 N

ქვის წონა (w) = მგ

ქვის წონა = (40 კგ)(10 მ/ ^წმ² )

ქვის წონა = 400 კგ მ/წმ ²

ქვის წონა = 400 ნ

ქვის ასაწევად საჭირო მინიმალური ძალა :

ქვის წონა – ამწევი ძალა = 400 N – 200 N = 200 N

მაგალითი პრობლემა 2:

სხეულის წონა წყალში = 5000 კგ მ/წმ² ^და სხეულის წონა წყალში = 4000 კგ მ/წმ² ^. თუ სხეულის სიმკვრივე = 2000 კგ/მ² ^, რა არის სხეულის მასა და მოცულობა? g = 10 მ/ ^წმ²

Solution

გრავიტაციის აჩქარება (g) = 10 მ/ ^წმ²

ობიექტის სიმკვრივე = 2000 კგ/მ ³

წყლის სიმკვრივე = 1000 კგ/მ ³

ობიექტის წონა ჰაერში = 5000 კგ მ/ ^წმ²

ობიექტის წონა წყალში = 4000 კგ მ/ ^წმ²

ამწევი ძალა (F ამწევი ძალა) = საგნის წონა ჰაერში – საგნის წონა წყალში

F ამომგდები ძალა = 5000 კგ მ/წმ² ^– 4000 კგ მ/ ^წმ²

F ამომგდები ძალა = 1000 კგ მ/ ^წმ²

F ამომგდები = გადაადგილებული წყლის წონა

F ამომგდები = (წყლის მასა)(გ)

F ამომგდები = (გადაადგილებული წყლის მოცულობა)(წყლის სიმკვრივე)(გ)

გადაადგილებული წყლის მოცულობა = წყალში არსებული ობიექტის მოცულობა

ობიექტის მოცულობა = 0.1 მ ³

ობიექტის მასა = ?

ρ = მ / ვ

m = ρ V

მ = (2000 კგ / მ ³ ) (0.1 მ ³ )

მ = 200 კგ

ობიექტის მასა = 200 კგ

მაგალითი პრობლემა 3:

რა მოცულობის ჰელიუმის აწევაა საჭირო, თუ ბუშტს 500 კგ ტვირთის აწევა სჭირდება?

გადაჭრა:

ჰელიუმის სიმკვრივე = 0.1786 კგ/მ ³

ჰაერის სიმკვრივე = 1.293 კგ/მ ³

ამწევი ძალა = გადაადგილებული ჰაერის წონა = ობიექტის წონა + ჰელიუმის წონა

ამწევი ძალა = ობიექტის წონა + ჰელიუმის წონა

ამწევი ძალა = (დატვირთვის მასა)(გ) + (ჰელიუმის მასა)(გ)

ამწევი ძალა = (დატვირთვის მასა + ჰელიუმის მასა)g —- განტოლება 1

ამწევი ძალა = გადაადგილებული ჰაერის წონა

ამწევი ძალა = (გადაადგილებული ჰაერის მასა)(g) —- განტოლება 2

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას 1 და განტოლებას 2:

(დატვირთვის მასა + ჰელიუმის მასა)(g) = (გადაადგილებული ჰაერის მასა)(g)

დატვირთვის მასა + ჰელიუმის მასა = გადაადგილებული ჰაერის მასა

500 კგ + (ρ ჰელიუმი)(V ჰელიუმი) = (ρ წყალი)(V წყალი)

500 კგ = (ρ წყალი)(V წყალი) – (ρ ჰელიუმი)(V ჰელიუმი)

გადაადგილებული ჰაერის მოცულობა (V ჰაერი) = ბუშტში არსებული ჰელიუმის მოცულობა (V ჰელიუმი)

500 კგ = (ρ წყალი – ρ ჰელიუმი) (V)

ეს არის ჰელიუმის მინიმალური მოცულობა, რომელიც საჭიროა დედამიწის ზედაპირზე სიმძიმეების ასაწევად. იმისათვის, რომ ბუშტმა უფრო მაღლა აფრინდეს, საჭიროა ჰელიუმის მოცულობის დამატება. ჰელიუმის მოცულობა უნდა გაიზარდოს, რადგან ჰაერის სიმკვრივე სიმაღლესთან ერთად მცირდება.