პუაზეის განტოლება

მას პუაზეის განტოლება ეწოდება, რადგან ის აღმოაჩინა გარდაცვლილმა ჟან ლუი მარი პუაზეიმ (1799-1869). როგორც ავხსენით, ყველა სითხე შეიძლება ჩაითვალოს იდეალურ სითხედ. იდეალურ სითხეებს არ აქვთ სიბლანტე. თუ წარმოვიდგენთ იდეალურ სითხეს, რომელიც მილში მიედინება, სითხის ყველა ნაწილი ერთი და იგივე სიჩქარით (v) მოძრაობს. იდეალური სითხეებისგან განსხვავებით, რეალურ სითხეებს, ანუ ყოველდღიურ ცხოვრებაში არსებულ სითხეებს, აქვთ სიბლანტე. იმის გამო, რომ მათ აქვთ სიბლანტე, მაგალითად, მილში მოძრაობისას, სითხის თითოეული ნაწილის სიჩქარე იცვლება. შუაში სითხის ფენა უფრო სწრაფად მოძრაობს (v დიდია), ხოლო მილზე მიმაგრებული სითხის ფენა არ მოძრაობს, ანუ უძრავად (v = 0). ამრიგად, მილის ცენტრიდან კიდემდე, სითხის ყველა ნაწილი სხვადასხვა სიჩქარით მოძრაობს. გასაგებად, დააკვირდით ქვემოთ მოცემულ სურათს…

ინფორმაცია:

R = მილის რადიუსი

v₁ = სითხის ნაკადის სიჩქარე მილის ცენტრში/ღერძში

v₂ = სითხის ნაკადის სიჩქარე მანძილზე r₂ მილის კიდიდან

v₃ = სითხის ნაკადის სიჩქარე მანძილზე r₃ მილის კიდიდან

v₄ = სითხის ნაკადის სიჩქარე მანძილზე r₄ მილის კიდიდან

r = მანძილი

თითოეული სითხის ნაკადის სიჩქარის ერთნაირი უზრუნველსაყოფად, ნებისმიერი მილის ან მილის ორივე ბოლოში, რომელშიც სითხე მიედინება, უნდა არსებობდეს წნევის სხვაობა. აქ სითხეში ვგულისხმობთ რეალურ სითხეებს, როგორიცაა წყალი ან ზეთი, რომელიც მიედინება მილში, სისხლი, რომელიც მიედინება სისხლძარღვებში და ა.შ. რეალური სითხის შეუფერხებელ დინებაში ხელშეწყობის გარდა, წნევის სხვაობა ასევე საშუალებას აძლევს სითხეებს მილებში სხვადასხვა სიმაღლეზე იმოძრაონ.

ადამიანის სისხლის მიმოქცევის ფიზიკური ასპექტებით დაინტერესებულმა ყოფილმა ფრანგმა მეცნიერმა, ჟან-ლუი-მარი პუაზეილმა, ჩაატარა კვლევა იმის გამოსაკვლევად, თუ როგორ მოქმედებს ისეთი ფაქტორები, როგორიცაა წნევის სხვაობა, მილის განივი კვეთის ფართობი და მილის ზომა რეალური სითხის სიჩქარეზე. ჟან-ლუი-მარი პუაზეილის მიერ მიღებული შედეგები ცნობილია როგორც პუაზეის განტოლება.

პუაზეის განტოლების გამოყვანა შესაძლებელია ადრე მიღებული სიბლანტის კოეფიციენტის განტოლების გამოყენებით. ჩვენ ვიყენებთ სიბლანტის განტოლებას, რადგან შემთხვევა მსგავსია, თუმცა არა იდენტური. სიბლანტის კოეფიციენტის განტოლების გამოყვანისას, ჩვენ განვიხილავთ რეალური სითხის ფენის ნაკადს ორ პარალელურ ფირფიტას შორის და სითხეს შეუძლია მოძრაობა დაჭიმვის ძალის (F) გამო. განსხვავება ისაა, რომ პუაზეის განტოლება, რომელსაც ჩვენ გამოვიყვანთ, სინამდვილეში ასახავს ფაქტორებს, რომლებიც გავლენას ახდენენ რეალური სითხის ნაკადზე მილში/მილაკში და სითხე მიედინება წნევის სხვაობის გამო. ამიტომ, სიბლანტის კოეფიციენტის განტოლება ხელახლა უნდა დაკორექტირდეს.

სითხეები შეიძლება მიედინებოდეს წნევის სხვაობის გამო (სითხეები მიედინება მაღალი წნევის ადგილებიდან დაბალი წნევის ადგილებში), ამიტომ F-ს ვცვლით p-თი.₁ - გვ₂ (p₁ > გვ₂).

სიბლანტის კოეფიციენტის განტოლების გამოტანისას, ჩვენ განვიხილავთ რეალური სითხის ფენის ნაკადს ორ პარალელურ ფირფიტას შორის. სითხის თითოეული ნაწილი განიცდის სიჩქარის რეგულარულ ცვლილებას l მანძილით. ამ შემთხვევაში, სითხის ნაკადის სიჩქარე რეგულარულად იცვლება მილის ღერძიდან მილის კიდემდე. მილის ღერძთან არსებული სითხე მიედინება უფრო დიდი სიჩქარით (v). რაც უფრო შორს მიდის კიდისკენ, მით უფრო მცირდება სითხის სიჩქარე. მილის რადიუსი = მილის ღერძსა და მილის კიდეს შორის მანძილი = R. სითხის თითოეულ ნაწილსა და მილის კიდეს შორის მანძილი = r. რადგან სითხის თითოეული ნაწილის რაოდენობა ძალიან დიდია და მათი მანძილი მილის კიდიდანაც იცვლება, ჩვენ უბრალოდ ასე ვწერთ:

v₁ = სითხის სიჩქარე მილის კიდიდან r1 მანძილზე (r1 = R)

v₂ = სითხის სიჩქარე მილის კიდიდან r2 მანძილზე (r2 < r1)

v₃ = სითხის სიჩქარე მილის კიდიდან r3 მანძილზე (r3 < r2 < r1)

v₄ = სითხის სიჩქარე მილის კიდიდან r4 მანძილზე (r4 < r3 < r2 < r1)

..

vn = სითხის სიჩქარე მილის კიდიდან rn მანძილზე (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)

სითხის თითოეული ნაწილის რაოდენობა ძალიან დიდია და ჩვენ ასევე არ ვიცით ზუსტად რამდენია სინამდვილეში, ამიტომ საკმარისია მისი ჩაწერა სიმბოლოთი n. სითხის თითოეული ნაწილი რეგულარულად განიცდის სიჩქარის (v) ცვლილებას, მილის ღერძიდან (r1 = R) მილის კიდისკენ (rn). მილის ღერძიდან (r1 = R) მილის კიდისკენ (rn), სითხის თითოეული ნაწილის სიჩქარე მცირდება (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

ზემოთ მოცემული ახსნიდან შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ R-დან rn-მდე სითხის სიჩქარე მცირდება. მილის სიგრძე = L. მიღებული განტოლებაა:

რადგან ჩვენ განვიხილავთ სითხის ნაკადის სიჩქარეს (v), განტოლება 2 ასე გამოიყურება:

ეს არის სითხის ნაკადის სიჩქარის განტოლება R რადიუსის მქონე მილიდან r მანძილზე. თუ ზემოთ მოცემული სურათის ნახვისას დაიბნევით... გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სითხე მიედინება მილში ან მილში, ამიტომ უნდა განვიხილოთ სითხის მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე.

მილის შიგნით სითხეა. მაგალითად, სითხეს ძალიან პატარა ნაჭრებად ვყოფთ, სადაც თითოეულ ნაწილს აქვს ერთეული ფართობი dA, დაშორებულია მილის ღერძიდან და აქვს ნაკადის სიჩქარე v. მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

dA1 = სითხის სექცია 1, რომელიც მილის ღერძიდან 1-ის დაშორებითაა

dA2 = სითხის სექცია 2, რომელიც მილის ღერძიდან 2-ის დაშორებითაა

dA3 = სითხის სექცია 3, რომელიც მილის ღერძიდან 3-ის დაშორებითაა

..................................

dA n = სითხის მონაკვეთი n, რომელიც არის მანძილი dA n მილის ღერძიდან

სითხის იმდენი ნაწილია, რომ მოსახერხებელია მათი უბრალოდ n სიმბოლოთი ჩაწერა. სითხის თითოეული ნაწილის მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე მათემატიკურად შემდეგნაირად შეიძლება ჩაიწეროს:

სითხის თითოეული ნაწილი r = 0-ის მანძილზეა r = R-დან (R = მილის რადიუსი). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სითხის თითოეული ნაწილის მანძილი იცვლება მილის ღერძიდან გაზომვისას. თუ გამოვთვლით (ინტეგრაციით) გამოვიყენებთ, მივიღებთ მილში სითხის მოცულობითი ნაკადის სიჩქარის განტოლებას:

ინფორმაცია:

Q = დებეტი

R = მილის ან მილის შიდა რადიუსი

η = სიბლანტის კოეფიციენტი

P₁ - გვ₂ = მილის ორ ბოლოს შორის წნევის სხვაობა

L = მილის სიგრძე

p₁-p₂/L = წნევის გრადიენტი (სითხის ნაკადი ყოველთვის წნევის შემცირების მიმართულებით მიდის)

ზემოთ მოცემული პუაზეის განტოლების საფუძველზე, როგორც ჩანს, სითხის მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე, იგივე გამონადენი (Q), მილის რადიუსის მეოთხე ხარისხთან (R) პროპორციულია.₄), წნევის გრადიენტი (p₂ - გვ₁ /ლ) და უკუპროპორციულია სიბლანტის. თუ მილის რადიუსი იზრდება (სიბლანტის კოეფიციენტი და წნევის გრადიენტი მუდმივი რჩება), მაშინ სითხის ნაკადის სიჩქარე 16-ჯერ იზრდება.

მილების, შპრიცების და ა.შ. დიზაინის ძირითადი კონცეფცია იყენებს ამ განტოლებას. სითხის გამონადენი პროპორციულია R-ის.₄ (R = მილის რადიუსი). შპრიცის ან მილის რადიუსი ფრთხილად უნდა გამოითვალოს. მაგალითად, თუ ნემსის რადიუსს გავაორმაგებთ (r x 2), მაშინ შესხურებული სითხის გამოყოფა = ცერა თითის წნევის ძალას 16-ჯერ ზრდის.

პუაზეის განტოლება ასევე აჩვენებს, რომ რადიუსის მეოთხე ხარისხი (r⁴), უკუპროპორციულია მილის ორ ბოლოს შორის წნევის სხვაობისა. მაგალითად, თავდაპირველად სისხლი მიედინება სისხლძარღვში, რომლის შიდა რადიუსია r. თუ სისხლძარღვი შევიწროებულია (მაგალითად, r/2 = სისხლძარღვის შიდა რადიუსი მცირდება 2-ჯერ), მაშინ სისხლის წინა რეჟიმის შესანარჩუნებლად (ისე, რომ გამონადენი ან სისხლის მოცულობის ნაკადის სიჩქარე მუდმივი დარჩეს) საჭიროა წნევის სხვაობა 16-ჯერ.