ჯვარედინი გამრავლება

ორი ვექტორის, მაგალითად, A და B ვექტორების, ჯვარედინი ნამრავლი იწერება როგორც A x B ( A ჯვარედინი B ). ჯვარედინი ნამრავლი ეწოდება ვექტორულ ნამრავლს, რადგან ამ გამრავლების შედეგი იძლევა ვექტორულ სიდიდეს.

მაგალითად, ვექტორები A და ვექტორები B ქვემოთ მოცემულ სურათს ჰგვანან.

ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლის განსაზღვრა A დენ B (A x B), ვხატავთ ვექტორს A დენ B როგორც ზემოთ მოცემულ სურათზეა ნაჩვენები და ასევე ილუსტრირებული ვექტორული კომპონენტები B პერპენდიკულარულია A-ს, რაც უდრის B-ს sin theta-ს.

ამგვარად, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიდიდე. A დენ B (A x B) ვექტორის სიდიდის ნამრავლის სახით A ვექტორული კომპონენტებით B ვექტორის პერპენდიკულარული A.

რა მოხდება, თუ A x B-ს B x A-დ გადავაქცევთ?

პირველ რიგში, ჩვენ ვხატავთ ვექტორებს B და A და ვექტორ A- ს კომპონენტებს , რომლებიც პერპენდიკულარულია B-ს მიმართ.

ამ ფიგურის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლი B დენ A (B x A) ვექტორის სიდიდის ნამრავლის სახით B ვექტორული კომპონენტებით A ვექტორის პერპენდიკულარული Bმათემატიკურად დაწერილი:

ჯვარედინი გამრავლების მიმართულება A x B

ჯვარედინი ნამრავლი ვექტორული ნამრავლია, ამიტომ შედეგს აქვს როგორც სიდიდე, ასევე მიმართულება. ვექტორული ნამრავლის სიდიდე ზემოთ იქნა გამოყვანილი; ახლა უნდა განვსაზღვროთ მისი მიმართულება. A x B მიმართულების დასადგენად , ჯერ ვხაზავთ ვექტორებს A და B, როგორც ქვემოთ არის ნაჩვენები. ამ ორ ვექტორს სიბრტყეზე ვათავსებთ.

ჯვარედინი გამრავლება A x B განისაზღვრება, როგორც ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის მიმართ, რომელშიც ვექტორი A დენ B მდებარეობს. ზომა იგივეა, რაც AB გარეშე ტეტა. თუ C = A x B მაკა C = AB გარეშე ტეტა

C- ს მიმართულება პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყისა, რომელშიც ვექტორები A და B მდებარეობს. C- ს მიმართულების დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარჯვენა ხელის წესი. თუ თითებს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით დავიჭერთ, მაშინ C- ს მიმართულება იმავე მიმართულებით იქნება, როგორც ზემოთ მიმართული ცერა თითი.

ჯვარედინი გამრავლების მიმართულება B x A

B x A მიმართულების დასადგენად , ჯერ ვექტორებს B და A ვხაზავთ , როგორც ეს ქვემოთ არის ნაჩვენები. ამ ორ ვექტორს ერთ სიბრტყეში ვათავსებთ.

ჯიკა C = B x A მაკა C = ბა სინ ტეტა.

C-ს მიმართულება პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყისა, რომელშიც ვექტორები B და A მდებარეობს. C- ს მიმართულების დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარჯვენა ხელის წესი. თუ თითებს საათის ისრის მიმართულებით დავიჭერთ, მაშინ C- ს მიმართულება იგივეა, რაც ცერა თითის ქვემოთ მიმართული მიმართულება.

A x B არ უდრის B x Aჯვარედინი ნამრავლი იძლევა ვექტორულ სიდიდეს, რომელსაც სიდიდის გარდა, მიმართულებაც აქვს. ზემოთ მოცემულ წვეთში, მიმართულება A x B საპირისპირო მიმართულებით B x A.

რამდენიმე რამ ჯვარედინი გამრავლების შესახებ, რაც უნდა იცოდეთ:

1. ჯვარედინი გამრავლება ანტიკომუტაციურია.

A x B = – B x A

უარყოფითი ნიშანი მიუთითებს, რომ B- ს მიმართულება A x B წერტილში B- ს მიმართულების საპირისპიროა B x A წერტილში.

2. თუ ორი ვექტორი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია , წარმოქმნილი კუთხე 90 ^° -ია . Sin 90 ^{° = 1. ამრიგად, ვექტორებს} A და B შორის ჯვარედინი ნამრავლის სიდიდე შემდეგნაირად გამოიყურება:

A x B = AB sin theta = AB sin 90 ^o = AB

B x A = BA sin theta = BA sin 90 ^o = BA

3. თუ ორივე ვექტორი ერთი და იგივე მიმართულებითაა მიმართული, მაშინ წარმოქმნილი კუთხე 0 ^o-ს ტოლია.

Sin 0 ^{o = 0. ამრიგად, ვექტორებს} A და B შორის ჯვარედინი ნამრავლის მნიშვნელობა შემდეგნაირად გამოიყურება.

A x B = AB sin theta = AB sin 0 ^o = 0

B x A = BA sin theta = BA sin 0 ^o = 0