ჯვარედინი გამრავლება

ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი, მაგალითად, ვექტორი A დენ B დაწერილია როგორც A x B (A ჯვარი B). ჯვარედინი გამრავლება ვექტორულ გამრავლებას ეწოდება, რადგან ამ გამრავლების შედეგი ვექტორულ სიდიდეს წარმოქმნის.

მაგალითად, ვექტორები A და ვექტორები B ქვემოთ მოცემულ სურათს ჰგვანან.

ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლის განსაზღვრა A დენ B (A x B), ვხატავთ ვექტორს A დენ B როგორც ზემოთ მოცემულ სურათზეა ნაჩვენები და ასევე ილუსტრირებული ვექტორული კომპონენტები B პერპენდიკულარულია A-ს, რაც უდრის B-ს sin theta-ს.

ამგვარად, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიდიდე. A დენ B (A x B) ვექტორის სიდიდის ნამრავლის სახით A ვექტორული კომპონენტებით B ვექტორის პერპენდიკულარული A.

რა მოხდება, თუ A x B ჩვენ ისევ ყოფნას ვუბრუნდებით B x A ?

პირველ რიგში, დავხატოთ ვექტორი B დენ A და ვექტორული კომპონენტები A რომელიც B-ს პერპენდიკულარულია

ამ ფიგურის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლი B დენ A (B x A) ვექტორის სიდიდის ნამრავლის სახით B ვექტორული კომპონენტებით A ვექტორის პერპენდიკულარული Bმათემატიკურად დაწერილი:

ჯვარედინი გამრავლების მიმართულება A x B

ჯვარედინი ნამრავლი ვექტორული ნამრავლია, ამიტომ ნამრავლს აქვს როგორც სიდიდე, ასევე მიმართულება. ვექტორული ნამრავლის სიდიდე ზემოთ იქნა გამოყვანილი; ახლა განსაზღვრეთ მისი მიმართულება. მიმართულების დასადგენად A x B, ჯერ ვექტორებს A და B ვხატავთ, როგორც ქვემოთ არის ნაჩვენები. ამ ორ ვექტორს სიბრტყეში ვათავსებთ.

ჯვარედინი გამრავლება A x B განისაზღვრება, როგორც ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის მიმართ, რომელშიც ვექტორი A დენ B მდებარეობს. ზომა იგივეა, რაც AB გარეშე ტეტა. თუ C = A x B მაკა C = AB გარეშე ტეტა

არაჰ C პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის მიმართ, რომელშიც ვექტორია A დენ B მდებარეობს. მიმართულების დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარჯვენა ხელის წესი Cთუ თითებს საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვის საპირისპირო მიმართულებით დავიჭერთ, მაშინ მიმართულება C იმავე მიმართულებით, როგორც ზემოთ მიმართული ცერა თითი.

ჯვარედინი გამრავლების მიმართულება B x A

მიმართულების დასადგენად B x A, პირველ რიგში ვექტორს ვხატავთ B დენ A როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზეა. ამ ორ ვექტორს ერთ სიბრტყეში ვათავსებთ.

ჯიკა C = B x A მაკა C = ბა სინ ტეტა.

C-ს მიმართულება პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყისა, სადაც ვექტორია B დენ A მდებარეობს. მიმართულების დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარჯვენა ხელის წესი Cთუ თითებს ხელების საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვის მიმართულებით დავიჭერთ, მაშინ მიმართულება C იგივეა, რაც ცერა თითის ქვემოთ მიმართული მიმართულება.

A x B არ უდრის B x Aჯვარედინი ნამრავლი იძლევა ვექტორულ სიდიდეს, რომელსაც სიდიდის გარდა, მიმართულებაც აქვს. ზემოთ მოცემულ წვეთში, მიმართულება A x B საპირისპირო მიმართულებით B x A.

რამდენიმე რამ ჯვარედინი გამრავლების შესახებ, რაც უნდა იცოდეთ:

1. ჯვარედინი გამრავლება ანტიკომუტაციურია.

A x B = - B x A

უარყოფითი ნიშანი მიუთითებს მიმართულებაზე B პადა A x B საპირისპირო მიმართულება B პადა B x A.

2. თუ ორი ვექტორი ურთიერთგამომრიცხავია პერპენდიკულარული მაშინ ჩამოყალიბებული კუთხე 90 გრადუსია^o. ცოდვა 90^o = 1. ამრიგად, ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლის სიდიდე A დენ B შემდეგნაირად გამოიყურება:

A x B = AB გარეშე ტეტა = AB ცოდვა 90^o = AB

B x A = BA გარეშე ტეტა = BA ცოდვა 90^o = BA

3. თუ ორივე ვექტორი ერთი მიმართულებითაა მიმართული, მაშინ წარმოქმნილი კუთხე 0-ის ტოლია.^o.

ცოდვა 0^o = 0. ამრიგად, ვექტორებს შორის ჯვარედინი ნამრავლის მნიშვნელობა A დენ B გამოჩნდება შემდეგნაირად.

A x B = AB გარეშე თეტა = AB sin 0^o = 0

B x A = BA გარეშე თეტა = BA sin 0^o = 0