ვექტორები ჩვეულებრივი რიცხვები არ არის, ამიტომ ჩვეულებრივი გამრავლება პირდაპირ მათზე არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას. ჩვენ ვექტორული გამრავლება უნდა გამოვიყენოთ. ვექტორული გამრავლების ორი ტიპი არსებობს: წერტილოვანი გამრავლება და ჯვარედინი გამრავლება. წერტილოვან გამრავლებას ასევე სკალარული გამრავლება ეწოდება, რადგან ის სკალურ სიდიდეს წარმოქმნის. ჯვარედინი გამრავლება ასევე ვექტორული გამრავლებაა, რადგან ის ვექტორულ სიდიდეს წარმოქმნის. მაგალითად, არსებობს ორი ვექტორი, კერძოდ A დენ Bვექტორების სკალარული გამრავლება A დენ B მითითებულია AB Kრადგან არენა წერტილოვან ნოტაციას იყენებს, ამ გამრავლებას ეწოდება წერტილოვანი ნამრავლივექტორული გამრავლება A დენ B მითითებულია A x Bრადგან ის იყენებს ნოტაციას x, მაშინ ამ გამრავლებას ჯვარედინი გამრავლება ეწოდება.
მაგალითად, მოცემული ვექტორი A დენ B როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე. ვექტორებს შორის წერტილოვანი ნამრავლი A დენ B დაწერილია როგორც აბ (A წერტილი B).
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის განსაზღვრა A დენ B (ა.ბ.), გამოსახული ვექტორი A და ვექტორები y-ის მიერრომელიც კუთხეს ქმნის θ. შემდეგ ვექტორის პროექციას ვხატავთ B ვექტორის მიმართულებით Aეს პროექცია ვექტორის კომპონენტია B რომელიც ვექტორის პარალელურია A, რომელიც იგივე ზომისაა, რაც B cos θ.
ამგვარად, ჩვენ განვსაზღვრავთ აბ როგორც დიდი ვექტორი A გამრავლებული ვექტორულ კომპონენტებზე B რომელიც პარალელურია Aმათემატიკურად შეგვიძლია ჩავწეროთ შემდეგნაირად:
AB cos θ არის ჩვეულებრივი რიცხვი (სკალარი). ამიტომ, წერტილოვან ნამრავლს ასევე სკალარული ნამრავლი ეწოდება. რა მოხდება, თუ ვექტორებს შორის წერტილოვანი ნამრავლი A დენ B შებრუნებული ბა ? სანამ განვსაზღვრავთ ბა, პირველ რიგში ვხატავთ ვექტორის პროექციას A ვექტორებისკენ B (იხილეთ სურათი ქვემოთ).
ამ სურათის მიხედვით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ბა როგორც დიდი ვექტორი B გამრავლებული ვექტორულ კომპონენტებზე A რომელიც პარალელურია Bმათემატიკურად შეგვიძლია ჩავწეროთ შემდეგნაირად:
Dot პროდუქტის შედეგი აბ = AB cos θ და წერტილოვანი ნამრავლის შედეგი ბა = BA cos θრადგან AB cos θ = BA cos θ, მაშინ ეს გამოიყენება აბ = ბა
წერტილოვანი გამრავლების შესახებ რამდენიმე რამ, რაც უნდა იცოდეთ:
1. წერტილოვანი ნამრავლი აკმაყოფილებს კომუტაციურ კანონს.
აბ = ბა
2. წერტილოვანი ნამრავლი აკმაყოფილებს განაწილებით კანონს.
ა. (ბ + გ) = AB + AC
3. თუ ვექტორი A დენ B ერთმანეთის პერპენდიკულარული, მაშინ წერტილოვანი ნამრავლის შედეგი აბ = 0
როდესაც ვექტორი A დენ B ერთმანეთის პერპენდიკულარული, მაშინ წარმოქმნილი კუთხე 90 გრადუსიაo. კოს 90o = 0. ამრიგად: აბ = AB cos ტეტა = AB cos 90o = 0. მეორეს მხრივ, ბა = BA cos ტეტა = BA cos 90o = 0
4. თუ ვექტორი A და ვექტორები B ერთი მიმართულებით, მაკა აბ = AB cos 0o = AB
როდესაც ვექტორი A დენ B იმავე მიმართულებით, მაშინ ჩამოყალიბებული კუთხე 0-ის ტოლიაoCos 0 = 1. ამრიგად, აბ = AB cos ტეტა = AB cos 0o = ABპირიქით ბა = BA cos ტეტა = BA cos 0o = BA
(არ უნდა აგერიოთ AB დენ BAდიდი AB = დიდი BAმაგალითად, ვექტორის სიდიდე A = 2. ვექტორის სიდიდე B = 3. შემდეგ აბ = 2.3 = 6; ეს იგივეა, რაც ბა = 3.2 = 6.
5. კიდევ ერთი პირობა ორი ვექტორის ერთი მიმართულებით ყოფნისთვის, თუ ა = ბ შემდეგ მიღებული AA = A2 ატაუ BB = ბ2
6. თუ ვექტორი A დენ B საპირისპირო მიმართულება (როდესაც ორი ვექტორი საპირისპირო მიმართულებითაა მიმართული, მაშინ წარმოქმნილი კუთხე 180°-ია), შემდეგ გამრავლების შედეგი აბ = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
პრობლემების მაგალითი:
ვექტორი A აქვს 4 ერთეულის სიდიდე და არის ვექტორი B აქვს 3 ერთეული. განსაზღვრეთ ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი, თუ ორი ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეებია 60º, 90º და 180º.o
დისკუსია
იმიტომ რომ აბ = ბა შემდეგ შეგვიძლია ავირჩიოთ ერთ-ერთის გამოყენება. მაგალითად, ჩვენ ვიყენებთ AB
აბ = AB cos ტეტა
Დიდი A = 4 ერთეული და დიდი B = 3 ერთეული.
