როგორ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა

როგორ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა

სტანდარტული გადახრა ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული სტატისტიკური საზომია იმის დასადგენად, თუ რამდენად „გაფანტულია“ მონაცემები საშუალო მნიშვნელობისგან. რეალურ ცხოვრებაში, სტანდარტული გადახრა გვეხმარება გავიგოთ ფენომენის სტაბილურობა ან ვარიაცია: მაგალითად, ტესტების ქულების ვარიაციები, გაყიდვების რყევები, სიმაღლეში სხვაობა და ფინანსურ მონაცემებში რისკებიც კი. რაც უფრო მცირეა სტანდარტული გადახრა, მით უფრო ახლოსაა მონაცემები საშუალო მნიშვნელობასთან. პირიქით, დიდი სტანდარტული გადახრა მიუთითებს, რომ მონაცემები შორს არის საშუალო მნიშვნელობისგან და აქვს მაღალი ვარიაცია.

ამ სტატიაში განხილული იქნება სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა, გამოყენებული ფორმულა და მისი ხელით გამოთვლის ნაბიჯები ადვილად გასაგები მაგალითების გამოყენებით.

1. სტანდარტული გადახრის განმარტება

სტანდარტული გადახრა არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი. ვარიაცია თავად არის თითოეულ მონაცემთა წერტილსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის სხვაობის კვადრატების საშუალო. რატომ გამოვიყენოთ კვადრატი? იმიტომ, რომ მონაცემებსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის სხვაობა შეიძლება იყოს როგორც უარყოფითი, ასევე დადებითი. თუ პირდაპირ დავამატებთ, უარყოფით და დადებით სხვაობებს შეუძლიათ ერთმანეთის გაბათილება, რაც შეცდომაში შემყვან შედეგებს გამოიწვევს. სხვაობების კვადრატში აყვანით, ყველა მნიშვნელობა დადებითი ხდება, რაც მონაცემთა განაწილების უფრო ზუსტი გაზომვის საშუალებას იძლევა.

უბრალოდ:

– ვარიაცია = გავრცელების საზომი „კვადრატულ“ ერთეულებში.
– სტანდარტული გადახრა = გავრცელების საზომი, რომელიც მონაცემთა საწყის ერთეულებს დაუბრუნდა.

მაგალითი: თუ მონაცემები ტესტის ქულების (ქულების ერთეულების) სახითაა წარმოდგენილი, დისპერსია იქნება ქულებში, ხოლო სტანდარტული გადახრა კვლავ ქულებში, რაც ინტერპრეტაციას აადვილებს.

2. პოპულაცია vs ნიმუშის სტანდარტული გადახრა

გაანგარიშებამდე მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რა ტიპის მონაცემები გაქვთ:

1. პოპულაცია: მონაცემები მოიცავს ყველა იმ წევრს, რომელთა კვლევაც უნდა ჩატარდეს.
პოპულაციის სტანდარტული გადახრის ფორმულა იყენებს გამყოფს N (მონაცემთა რაოდენობა).

2. ნიმუში: მონაცემები პოპულაციის მხოლოდ ნაწილია, რომელიც, როგორც წესი, უფრო დიდი პოპულაციის წარმოსადგენად გამოიყენება.
ნიმუშის სტანდარტული გადახრის ფორმულა შეფასების მიკერძოების კორექციისთვის იყენებს გამყოფს (n − 1). ამ კორექციას ბესელის კორექცია ეწოდება.

ყოველდღიურ პრაქტიკაში (მაგ. კვლევა, გამოკითხვები, კლასის ანალიზი), მონაცემები ხშირად ნიმუშად ითვლება, ამიტომ გამყოფი არის (n − 1).

3. სტანდარტული გადახრის ფორმულა

ა. პოპულაციის სტანდარტული გადახრის ფორმულა
დავუშვათ, მონაცემები: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
მოსახლეობის საშუალო მაჩვენებელი:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
პოპულაციის ვარიაცია:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
პოპულაციის სტანდარტული გადახრა:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]

B. სტანდარტული გადახრის ფორმულის ნიმუში
ნიმუშის საშუალო:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
ნიმუშის ვარიაცია:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
ნიმუშის სტანდარტული გადახრა:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]

4. სტანდარტული გადახრის ხელით გამოთვლის ნაბიჯები

გასაგებად რომ ვთქვათ, მაგალითს ვიყენებთ 5 სტუდენტის გამოცდის ქულების მონაცემების გამოყენებით:

მონაცემები: 60, 70, 70, 80, 90

ვივარაუდოთ, რომ ეს მონაცემები ნიმუშია (რაც ხშირად ხდება სასწავლო მაგალითებში).

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ საშუალო
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]

ასე რომ, საშუალო ქულა 74-ია.

ნაბიჯი 2: გამოთვალეთ განსხვავება თითოეულ მონაცემსა და საშუალოს შორის
შექმენით სხვაობის სვეტი \((x_i – \bar{x}) \):

– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16

ნაბიჯი 3: სხვაობის კვადრატში გაზომვა
გამოთვალეთ \((x_i – \bar{x})^2 \):

– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256

ნაბიჯი 4: შეკრიბეთ სხვაობების კვადრატები
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]

ნაბიჯი 5: გამოთვალეთ დისპერსია (ნიმუშისთვის, გაყავით n − 1-ზე)
რადგან n = 5, მაშინ n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]

ასე რომ, ნიმუშის დისპერსია 130-ია.

ნაბიჯი 6: ვარიაციის კვადრატული ფესვი სტანდარტული გადახრის მისაღებად
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]

ამგვარად, მონაცემების სტანდარტული გადახრა დაახლოებით 11,40-ია. ეს ნიშნავს, რომ საშუალოდ, სტუდენტების ქულები დაახლოებით 11 ქულით გადახრილია საშუალო 74-ისგან.

5. სწრაფი გზა: ალტერნატიული ფორმულა (გამოთვლა)

ზემოთ აღწერილი ხელით აღწერილი მეთოდის გარდა, არსებობს გამოთვლითი ფორმულა, რომელიც ხშირად გამოიყენება გამოთვლების დასაჩქარებლად, განსაკუთრებით თუ ბევრი მონაცემია:

ნიმუშის ვარიაცია:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]

ეს ფორმულა თავს არიდებს სხვაობების ერთმანეთის მიყოლებით გამოთვლას, მაგრამ მაინც მოითხოვს სიზუსტეს მონაცემების კვადრატების ჯამის გამოთვლისას.

თუმცა, კონცეპტუალური გაგებისთვის, ეტაპობრივი მეთოდი (სხვაობა → კვადრატი → ჯამი), როგორც წესი, უფრო მარტივი და შეცდომებისგან უსაფრთხოა.

6. სტანდარტული გადახრის ინტერპრეტაცია

სტანდარტული გადახრა მხოლოდ რიცხვებით არ შემოიფარგლება, არამედ უნდა იქნას განმარტებული:

– მცირე სტანდარტული გადახრა: მონაცემები საშუალოსთან ახლოსაა დაჯგუფებული, ვარიაცია დაბალია, შედეგები უფრო თანმიმდევრულია.
– დიდი სტანდარტული გადახრა: მონაცემები საშუალო მაჩვენებლისგან შორს არის გავრცელებული, ვარიაცია მაღალია, შედეგები ნაკლებად თანმიმდევრულია.

მაგალითად, დავუშვათ, ორ კლასს ერთნაირი საშუალო ქულა, 74, აქვს. თუ A კლასს სტანდარტული გადახრა 5-ია, ხოლო B კლასს - 15, მაშინ A კლასში ქულები უფრო თანაბარი და სტაბილურია. B კლასს უფრო დიდი ვარიაცია აქვს: ზოგი ძალიან დაბალია, ზოგი კი ძალიან მაღალი.

7. გავრცელებული შეცდომები

სტანდარტული გადახრის გაანგარიშებისას დაშვებული რამდენიმე გავრცელებული შეცდომა:

1. დამავიწყდა ნიმუშსა და პოპულაციას შორის განსხვავების გარჩევა, ამიტომ გამყოფი არასწორია (N vs n − 1).
2. საშუალო მაჩვენებლის არასწორი გაანგარიშება, რაც იწვევს ყველა შემდგომი ნაბიჯის არასწორად შესრულებას.
3. სხვაობის კვადრატში აყვანის დავიწყება, ან შეცდომის დაშვება ბოლოს კვადრატული ფესვის ამოღებისას.
4. რიცხვების შეკრების ან კვადრატების გამოთვლისას არითმეტიკული შეცდომები.

შეცდომების თავიდან აცილება შესაძლებელია გამოთვლების ცხრილის შექმნით და შედეგების ორჯერ შემოწმებით.

დახურვა

სტანდარტული გადახრის გამოთვლა სინამდვილეში რთული არ არის, თუ სწორად მიჰყვებით ნაბიჯებს: გამოთვალეთ საშუალო მნიშვნელობა, იპოვეთ თითოეული მონაცემთა ნაკრების სხვაობა, აიყვანეთ სხვაობები კვადრატში, შეკრიბეთ ისინი, გაყავით (n-ზე ან n − 1-ზე) და შემდეგ ამოიღეთ კვადრატული ფესვი. სტანდარტული გადახრის გაგებით, შეგიძლიათ შეაფასოთ, რამდენად თანმიმდევრულია თქვენი მონაცემები და რამდენად დიდია ვარიაცია.

თუ გსურთ, შემიძლია შევქმნა დამატებითი მაგალითები მეტი მონაცემებით, დაჯგუფებული მონაცემების მაგალითები (სიხშირის ცხრილები) ან როგორ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა Excel-ის/Google Sheets-ის გამოყენებით.