ცალკეული მონაცემების ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის განხილვის კითხვების მაგალითები

კითხვებისა და დისკუსიის მაგალითები: ცალკეული მონაცემების ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა

სტატისტიკა მათემატიკის დარგია, რომელიც ეხება მონაცემების შეგროვებას, ანალიზს, ინტერპრეტაციას, წარმოდგენასა და ორგანიზებას. სტატისტიკაში ორი მნიშვნელოვანი ცნებაა ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა. ეს სტატია დეტალურად განიხილავს, თუ როგორ გამოვთვალოთ ერთი მონაცემთა ნაკრების ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა რამდენიმე მაგალითის ამოცანის მეშვეობით.

ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის გაგება

ვარიაცია არის საზომი, რომელიც განსაზღვრავს, თუ რამდენად შორს არის მონაცემთა ნაკრებში რიცხვები საშუალო მნიშვნელობისგან. ვარიაცია გამოიხატება საწყისი მონაცემების კვადრატულ ერთეულებში, რაც ხშირად ართულებს მათ ინტერპრეტაციას.

სტანდარტული გადახრა არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი. ის უფრო ინტუიციურ საზომს იძლევა იმისა, თუ რამდენად გადახრილია მონაცემები საშუალო მნიშვნელობისგან, რადგან მისი ერთეულები იგივეა, რაც მონაცემების თავდაპირველი ერთეულები.

ზოგადი ფორმულა

ერთჯერადი მონაცემებისთვის, პოპულაციის ვარიაციის (sigma^2) და სტანდარტული გადახრის (sigma) ფორმულა შემდეგია:

1. ვარიაცია (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. სტანდარტული გადახრა (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)

სად:
– \(N \) არის პოპულაციაში მონაცემების რაოდენობა.
– \(x_i \) არის i-ური მონაცემთა მნიშვნელობა.
– \( \mu \) არის მონაცემების საშუალო ან საშუალო მნიშვნელობა.

თუ ნიმუშის ვარიანსსა და სტანდარტულ გადახრას გამოვთვლით, მაშინ ზემოთ მოცემული ფორმულა ოდნავ შეცვლილია:

1. ნიმუშის ვარიაცია (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

2. ნიმუშის სტანდარტული გადახრა(ები):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)

სად:
– \(n \) არის ნიმუშში მონაცემების რაოდენობა.
– \( \bar{x} \) არის ნიმუშის საშუალო ან საშუალო მნიშვნელობა.

ნიმუშის კითხვები და დისკუსია

მაგალითი კითხვა 1:

შემდეგი მონაცემების გათვალისწინებით:
8, 10, 10, 10, 12, 14

გამოთვალეთ მონაცემების დისპერსია და სტანდარტული გადახრა!

გადაწყვეტის ნაბიჯები:

1. საშუალო (საშუალო) \( \mu \)-ის გამოთვლა:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. გამოთვალეთ მონაცემებსა და საშუალოს შორის სხვაობა, შემდეგ კვადრატში აიღეთ:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. ყველა კვადრატული შედეგის შეკრება:
\[
\ ჯამი (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. პოპულაციის მონაცემების ვარიაციის (σ²) გამოთვლა:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]

შენიშვნა: რადგან ეს მონაცემები მოსახლეობის მონაცემებად არის მითითებული, ჩვენ ვყოფთ 6-ზე.

5. სტანდარტული გადახრის (σ) გამოთვლა:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \დაახლოებით 1.886
\]

ამგვარად, მონაცემების დისპერსია 3.559-ია, ხოლო სტანდარტული გადახრა 1.886.

მაგალითი კითხვა 2:

შემდეგი ნიმუშის მონაცემების გათვალისწინებით:
5, 6, 8, 9, 10, 11

გამოთვალეთ ნიმუშის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა!

გადაწყვეტის ნაბიჯები:

1. საშუალო მნიშვნელობის (საშუალო) გამოთვლა \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]

2. გამოთვალეთ მონაცემებსა და საშუალოს შორის სხვაობა, შემდეგ კვადრატში აიღეთ:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. ყველა კვადრატული შედეგის შეკრება:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. ნიმუშის ვარიაციის (s²) გამოთვლა:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

შენიშვნა: რადგან ეს ნიმუშის მონაცემებია, ვყოფთ 5-ზე (n-1).

5. სტანდარტული გადახრის (ების) გამოთვლა:
\[
s = \sqrt{5.351} \დაახლოებით 2.313
\]

ამგვარად, ნიმუშის მონაცემების დისპერსია 5.351-ია, ხოლო სტანდარტული გადახრა 2.313.

დასკვნა

ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის გამოთვლა სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია იმის გასაგებად, თუ როგორ არის მონაცემები განაწილებული მოცემულ ნაკრებში. მიუხედავად იმისა, რომ ვარიაცია იძლევა დისპერსიის თეორიულ საზომს ორიგინალური ერთეულების კვადრატებში, სტანდარტული გადახრა განმარტავს დისპერსიის საზომს მონაცემთა ორიგინალური ერთეულების თვალსაზრისით, რაც აადვილებს მის გაგებას. მონაცემთა ანალიზში ეს ორი საზომი ხშირად გამოიყენება მონაცემთა ცვალებადობის შესაფასებლად და სტატისტიკური გადაწყვეტილებების მისაღებად.

საჭირო ნაბიჯებისა და ფორმულების გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა სხვადასხვა სიტუაციისთვის, რომლებსაც ყოველდღიურად ვაწყდებით მონაცემთა შეგროვებისა და ანალიზის დროს. იმედია, ეს სტატია უზრუნველყოფს ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის ცნებების უფრო ღრმა გაგებას ცალკეულ მონაცემთა ნაკრებებში.