ბრტყელი სიბრტყის ფართობის გამოთვლაში ინტეგრალების გამოყენების მაგალითის კითხვები და განხილვა
მათემატიკის სწავლებაში ინტეგრალები ხშირად გვხვდება ანალიზურ ანალიზში. ინტეგრალების ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი გამოყენება მრუდის ან სიბრტყის ქვეშ ფართობის გამოთვლაა. ამ სტატიაში განხილული იქნება რამდენიმე მაგალითის ამოცანა და ინტეგრალების გამოყენება სიბრტყის ფართობის გამოთვლაში.
თეორიის შესავალი
მაგალითის ამოცანაზე გადასვლამდე, მოდით განვიხილოთ მრუდის ქვეშ ფართობის ინტეგრალების გამოყენებით გამოთვლის ძირითადი კონცეფცია. თუ გვაქვს ფუნქცია f(x), რომელიც უწყვეტია [a, b] ინტერვალზე, მაშინ მრუდის ქვეშ y = f(x) ფართობი x = a-დან x = b-მდე იქნება:
L = a^b f(x), dx
გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვაჯამებთ ძალიან თხელი მართკუთხედის ფართობს x = a-დან x = b-მდე.
მაგალითი კითხვა 1
სოალი
გამოთვალეთ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი y = x² [1, 3] ინტერვალში.
დისკუსია
ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალს:
L = 1^3 x^2, dx]
ვიწყებთ \(x^2 \)-ის ანტიწარმოებულის პოვნით. \(x^2 \)-ის ანტიწარმოებული არის \(x^3}{3} \). შემდეგ ინტეგრალი გახდება:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
გახსოვდეთ, რომ ინტეგრალის ზღვრებზე ანტიწარმოებული უნდა შევაფასოთ:
L = (3^3) – (1^3)
L = (27}{3) – (1}{3)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
ამგვარად, მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი x = 1-დან x = 3-მდე y = x²-ის ტოლია:
\[ \frac{26}{3} \, \text{ფართობის ერთეული} \]
მაგალითი კითხვა 2
სოალი
განსაზღვრეთ y = x³ მრუდითა და x = 1 და x = 2 ხაზებით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი.
დისკუსია
ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალს:
L = 1^2 x^3, dx]
როგორც წესი, ვიწყებთ \(x^3 \)-ის ანტიწარმოებულის პოვნით. \(x^3 \)-ის ანტიწარმოებული არის \(x^4}{4} \). ინტეგრალი ასე გამოიყურება:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
ინტეგრალის ზღვრების შეფასება:
L = (2^4) – (1^4)
L = (16}{4) – (1}{4)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
ამგვარად, y = x³ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი x = 1-დან x = 2-მდეა:
\[ \frac{15}{4} \, \text{ფართობის ერთეული} \]
მაგალითი კითხვა 3
სოალი
განსაზღვრეთ რეგიონის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y = x² + 1 და y = 2x + 2 მრუდებით x = 0-დან x = 1-მდე ინტერვალში.
დისკუსია
პირველ რიგში, ინტეგრაციის საზღვრების დასადგენად უნდა ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები. \(x^2 + 1 = 2x + 2 \)-ის ამონახსნი:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
კვადრატული ფორმულის გამოყენებით:
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
x = 1 \pm \sqrt{2} \]
თუმცა, 0-დან 1-მდე ზედა და ქვედა ზღვრებისთვის, ჩვენ არ გვჭირდება კვადრატული ამონახსნის გამოყენება, მხოლოდ ჩვეულებრივი ინტეგრალური ზღვარი 0-დან 1-მდე. შემდეგ, გამოთვალეთ ზედა y მრუდის ფართობი მინუს ქვედა y მრუდი ამ ზღვრების მიხედვით:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
ფუნქციის გამარტივება:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ ანტიწარმოებულს:
\((-x^2) \)-ის ანტიწარმოებული არის \(-\frac{x^3}{3} \),
\((2x)\)-ის ანტიწარმოებული არის \(x^2\),
\((1) \)-ის ანტიწარმოებული არის \(x \).
ასე რომ,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
შემდეგი შეფასება:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
ამგვარად, [0, 1] ინტერვალზე y = x² + 1 და y = 2x + 2 მრუდებით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობია:
\[ \frac{5}{3} \, \text{ფართობის ერთეული} \]
-
ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავინახოთ, თუ როგორ შეიძლება ინტეგრალების გამოყენება მრუდის ქვეშ ან ორ მრუდს შორის ფართობის გამოსათვლელად. ინტეგრალების ძირითადი ცნებებისა და ანტიწარმოებული ტექნიკის სათანადო გაგებით, ამ ფართობების გამოთვლა ძალიან სისტემატური და ეფექტური ხდება. იმედია, ამ სტატიამ გაზარდა ჩვენი გაგება ინტეგრალების რეალურ სამყაროში გამოყენების შესახებ, განსაკუთრებით სიბრტყის ზედაპირების ფართობის გაზომვის სფეროში.
