წრეებისა და აკორდების განხილვის კითხვების მაგალითები

წრეებისა და აკორდების კითხვებისა და განხილვის მაგალითები

წრე ერთ-ერთი ძირითადი გეომეტრიული ფიგურაა, რომელსაც ხშირად სწავლობენ მათემატიკაში. წრეებთან დაკავშირებული ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი კონცეფციაა აკორდი, რომელიც წარმოადგენს წრეზე ორ წერტილს ცენტრის გავლის გარეშე დამაკავშირებელ ხაზს. წრეებისა და აკორდების გაგება გეომეტრიის შესწავლისთვის აუცილებელია. ეს სტატია განიხილავს წრეებსა და აკორდებთან დაკავშირებულ რამდენიმე მაგალითს და დისკუსიას, რათა გავაღრმავოთ ამ ცნებების გაგება.

ძირითადი გაგება

წრე
წრე არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომლებიც თანაბრად არიან დაშორებული მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ცენტრი ეწოდება. თუ წრის ცენტრი არის წერტილი O და წრის რადიუსი არის r, მაშინ წრის გამოსახვა შესაძლებელია განტოლებით (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² კარტეზიული ფორმით.

მშვილდის სიმი
წრეში არსებული ქორდა არის ხაზი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს. ქორდის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ წრის რადიუსზე, არამედ მისკენ მიმართული ცენტრალური კუთხის ზომაზეც.

ნიმუშის კითხვები და დისკუსია

კითხვა 1:
კითხვა: მოცემულია წრე, რომლის რადიუსია 10 სმ და AB ქორდა, რომლის სიგრძეა 16 სმ. განსაზღვრეთ უმოკლესი მანძილი წრის ცენტრიდან ქორდამდე.

დისკუსია:
წრის ცენტრიდან ქორდამდე მანძილის საპოვნელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფორმულა, რომელიც წარმოიქმნება რადიუსს, ცენტრიდან ქორდამდე მანძილსა და ქორდაკის სიგრძის ნახევარს შორის.

დავუშვათ, რომ წერტილი O წრის ცენტრია, ხოლო წერტილი P არის წერტილი AB ქორდის შუაში, რომელიც AB-ის პერპენდიკულარულია. ამრიგად, OP არის მანძილი წრის O ცენტრიდან AB ქორდამდე.

სამკუთხედ OAP-ში (P წერტილში მართკუთხა სამკუთხედი), შეგვიძლია გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:

OP² + AP² = OA²

ჩვენ ვიცით, რომ:
– OA (წრის რადიუსი) = 10 სმ
– AB (მშვილდის სიმის სიგრძე) = 16 სმ, ამიტომ AP = 16/2 = 8 სმ.

ჩაანაცვლეთ ცნობილი მნიშვნელობები განტოლებაში:

OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6

ასე რომ, წრის ცენტრიდან აკორდამდე უმოკლესი მანძილი 6 სმ-ია.

კითხვა 2:
კითხვა: O ცენტრის მქონე წრეწირის რადიუსი 8 სმ-ია. AB ქორდა ქმნის 120°-იან ცენტრალურ კუთხეს ∠AOB. განსაზღვრეთ AB ქორდის სიგრძე.

დისკუსია:
ცენტრალური კუთხის (θ) შემქმნელი აკორდის სიგრძის გამოსათვლელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა:

AB = 2 × r × sin(θ/2)

სად:
– r არის წრის რადიუსი (ამ კითხვაში 8 სმ)
– θ არის კუთხე, რომელიც წრის ცენტრში აკორდის მიერ არის შექმნილი (ამ ამოცანაში 120°)

ჩაანაცვლეთ ცნობილი მნიშვნელობები:

AB = 2 × 8 სმ × sin (120°/2)
AB = 16 სმ × sin(60°)
AB = 16 სმ × (√3 / 2)
AB = 8√3 სმ

ასე რომ, AB აკორდის სიგრძეა 8√3 სმ.

კითხვა 3:
კითხვა: წრე, რომლის რადიუსია 13 სმ და ქორდა AB, წრის ცენტრიდან 5 სმ-ით არის დაშორებული. განსაზღვრეთ ქორდა AB-ის სიგრძე.

დისკუსია:
ამ შემთხვევაში, ქორდის სიგრძის საპოვნელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედი. დავუშვათ, რომ წერტილი O წრის ცენტრია, წერტილი P არის ქორდის ცენტრთან ყველაზე ახლოს მდებარე წერტილი, ხოლო AB არის ქორდა.

ჩვენ ვიცით:
– OA (წრის რადიუსი) = 13 სმ
– OP (ცენტრალური მანძილი მშვილდის სიმამდე) = 5 სმ.

OAP სამკუთხედში:

OP² + AP² = OA²

ჩვენ ვპოულობთ AP-ს (აკორდის სიგრძის ნახევარი):

5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12

ასე რომ, აკორდის სიგრძე AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 სმ.

კითხვა 4:
კითხვა: მოცემულია წრე, რომლის რადიუსია 10 სმ. AB ქორდის სიგრძეა 12 სმ. განსაზღვრეთ ცენტრალური კუთხის ∠AOB ზომა.

დისკუსია:
ამ შემთხვევაში, ცენტრალური კუთხის ∠AOB დასადგენად ტრიგონომეტრიული ფუნქციის შებრუნებული ფორმულა უნდა გამოვიყენოთ. ცენტრალური კუთხის θ-ს შემცველი ქორდის სიგრძის ფორმულის საფუძველზე, θ-ს გამოსათვლელად ფორმულის გადაწერა შეგვიძლია:

AB = 2 × r × sin(θ/2)

სად:
– r არის წრის რადიუსი (10 სმ)
– AB არის მშვილდის სიმის სიგრძე (12 სმ)

sin(θ/2)-ის გამოსაყოფად შეადგინეთ განტოლება:

12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6

იპოვეთ θ/2-ის მნიშვნელობა:

θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°

ასე რომ,:

θ = 2 × 36.87° = 73.74°

ამგვარად, ცენტრალური კუთხე ∠AOB 73.74°-ია.

დასკვნა
წრეებისა და აკორდების შესწავლა მოითხოვს გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის საფუძვლების გაგებას. ზემოთ მოცემულ მაგალითებში ვნახეთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ სხვადასხვა ფორმულები და თეორემები, როგორიცაა პითაგორას თეორემა, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და წრეების ძირითადი თვისებები, ამოცანების გადასაჭრელად.

ამ პრაქტიკული ამოცანების მეშვეობით იმედია, რადიუსს, ქორდის სიგრძესა და შედეგად მიღებულ ცენტრალურ კუთხეს შორის ურთიერთკავშირის უფრო ღრმა გაგება იქნება მიღწეული. ამ კონცეფციის გაგება სასარგებლოა არა მხოლოდ სკოლის მათემატიკაში, არამედ მეცნიერებისა და ინჟინერიის სხვადასხვა დარგში ყოველდღიურ გამოყენებაშიც.