წრეებისა და ტანგენტების განხილვის კითხვების მაგალითები

წრეებისა და ტანგენტების განხილვის კითხვების მაგალითები

წრეები მატრიცული გეომეტრიის მნიშვნელოვანი თემაა, სადაც დემონსტრირებულია მანძილის, კუთხეებისა და ფორმის შესახებ ღრმა ცნებები. ამ თემაში ხშირად განხილული ერთ-ერთი კონცეფციაა წრეზე მხები წრფე. ამ სტატიაში განვიხილავთ წრეებსა და მხებს შორის რამდენიმე მაგალითურ ამოცანას.

წრეებისა და ტანგენტების ძირითადი გაგება

წრე

წრე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლით, რომლებიც მოცემული წერტილიდან, რომელსაც წრის ცენტრი ეწოდება, ფიქსირებულ მანძილზე არიან. ამ ფიქსირებულ მანძილს წრის რადიუსი ეწოდება.

ტანგენსი

წრის ტანგენსი არის ხაზი, რომელიც წრეს ზუსტად ერთ წერტილში ეხება. ამ წერტილს ტანგენსის წერტილი ეწოდება. ტანგენსებს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება აქვთ, მათ შორის:
– ტანგენსი ყოველთვის პერპენდიკულარულია წრის რადიუსისა ტანგენსის წერტილში.
– წრის გარეთ მდებარე წერტილიდან წრემდე ტანგენსის სიგრძე იგივეა, თუ ამ წერტილიდან ორი ტანგენსი გავავლებთ.

კითხვებისა და დისკუსიების ნიმუში

ქვემოთ წარმოგიდგენთ რამდენიმე სამაგალითო კითხვას, რომლებიც დეტალურად განიხილავენ წრეებისა და ტანგენსების კონცეფციას.

მაგალითი კითხვა 1: ტანგენსის ხაზის სიგრძის პოვნა

კითხვა:
მოცემულია წრე ცენტრით (O) და რადიუსით (r = 6, სმ). წრის გარეთ მდებარე (P) წერტილიდან, რომელიც წრის ცენტრიდან 10 სმ-ით არის დაშორებული, წრეს ორი ტანგენსი (PA) და (PB) აქვს დახატული. გამოთვალეთ ტანგენსის (PA) სიგრძე.

დისკუსია:
ამ ამოცანაში შეგვიძლია გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. დახაზეთ სამკუთხედი \(\სამკუთხედი OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{სმ}\) (მანძილი გარე წერტილიდან წრის ცენტრამდე)
– \(OA = 6 \, \text{სმ}\) (წრის რადიუსი)
– \(PA\) არის ტანგენსი, რომელიც უნდა მოიძებნოს

\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]

\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]

\[
100 = 36 + PA^2
\]

\[
PA^2 = 64
\]

\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

ამგვარად, ტანგენსის ხაზის \(PA\) სიგრძე 8 სმ-ია.

მაგალითი კითხვა 2: შეხების წერტილის პოვნა

კითხვა:
მოცემულია წრე განტოლებით \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) და წრფე \(y = 2x + 1\). განსაზღვრეთ წრესა და წრფეს შორის შეხების წერტილი.

დისკუსია:
პირველ რიგში, ჩვენ ვადგენთ წრის ცენტრს და რადიუსს:
– ცენტრი \(O(3, 4)\)
– რადიუსი (r = 25 = 5)

შეხების წერტილის საპოვნელად, დავუშვათ, რომ შეხების წერტილი არის \(T(x_1, y_1)\), რომელიც ასევე მდებარეობს \(y = 2x + 1\ წრფეზე). შემდეგ:

\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]

\(T(x_1, y_1)\) ასევე უნდა აკმაყოფილებდეს წრის განტოლებას:

\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]

წრის განტოლებაში ჩასვით \(y_1 = 2x_1 + 1\):

\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]

\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ორი კვადრატი.

\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]

\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]

გააერთიანეთ ორივე შედეგი:

\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]

\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]

ორივე მხარეს გამოაკელით 25:

\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]

ამოხსენით კვადრატული განტოლება:

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]

\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]

გამოთვალეთ \(y_1\)-ის მნიშვნელობა:

რომელიც აკმაყოფილებს y = 2x + 1-ის ფორმულას:
– თუ \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), მაშინ \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– თუ \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), მაშინ \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)

შეფასება:

ამგვარად, ჩვენ ვიღებთ წრის განტოლების ამ წრფესთან გადაკვეთის ორ წერტილს.

მაგალითი კითხვა 3: ტანგენსის ხაზის განტოლების განსაზღვრა

კითხვა:
მოცემულია წრე განტოლებით \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). განსაზღვრეთ იმ წრეწირის მხები ხაზის განტოლება, რომელიც გადის \((6, 7)\) წერტილში.

დისკუსია:
ცნობილი გარე წერტილიდან ცენტრით (h, k) და რადიუსით (r) წრის ტანგენსის პოვნა შესაძლებელია განტოლების გამოყენებით:

ტანგენსი გადის გარე წერტილში \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]

გარე წერტილის (6, 7)) ჩასმა:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]

\[
4x + 2y -20 = 20
\]

\[
4x + 4y -20 = 20
\]

\[
x + y = 5
\]

ტანგენსის ხაზის განტოლებაა:
\[
x + y = 9
\]

ამგვარად, წრის წერტილის გავლით ხაზის განტოლების ვარიაცია ძალიან დიდია და შეიძლება შეიცვალოს შედეგის ან ვიზუალური წარმოდგენის მიხედვით.

დასკვნა

წრეებისა და ტანგენსების განხილვა მოიცავს მათემატიკის რამდენიმე ფუნდამენტურ ასპექტს, პითაგორას თეორემის მსგავსი ძირითადი ფორმულების გამოყენებით დაწყებული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით დამთავრებული. ამ მაგალითების საშუალებით შეგვიძლია უკეთ გავიგოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ცნებები გარკვეულწილად რთულ სიტუაციებში. იმედია, ეს სტატია დაგვეხმარა წრეებსა და ტანგენსებთან დაკავშირებული ამოცანების მიდგომისა და ამოხსნის მკაფიო სურათის შექმნაში.