პროდუქტის მომენტალური კორელაციის შესახებ კითხვებისა და განხილვის მაგალითები
პროდუქტი-მომენტის კორელაცია, ასევე ცნობილი როგორც პირსონის კორელაცია, არის სტატისტიკური მეთოდი, რომელიც გამოიყენება ორ ცვლადს შორის წრფივი დამოკიდებულების სიძლიერისა და მიმართულების გასაზომად. ეს მეთოდი სასარგებლოა სხვადასხვა სფეროში, აკადემიური კვლევიდან და ბიზნეს ანალიზიდან დაწყებული, საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში ექსპერიმენტების შეფასებით დამთავრებული. ეს სტატია განიხილავს პროდუქტის-მომენტის კორელაციის გამოსათვლელად რამდენიმე მაგალით პრობლემას და მათ გადაწყვეტილებებს.
პენდაჰულუანი
სანამ სამაგალითო კითხვებზე გადავიდოდეთ, კარგი იქნება, თუ გავიგებთ ნამრავლის მომენტის კორელაციის ძირითად კონცეფციას. პირსონის კორელაციის კოეფიციენტის (\(r\)) გამოსათვლელად გამოყენებული ზოგადი ფორმულაა:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
სად:
– \(n \) არის მონაცემთა წყვილების რაოდენობა.
– \( \sum{XY} \) არის \(X \) და \(Y \) ნამრავლების ჯამი.
– \( \sum{X} \) არის \(X \) ცვლადების ჯამი.
– \( \sum{Y} \) არის \(Y \) ცვლადების ჯამი.
– \( \sum{X^2} \) არის \(X \) ცვლადის კვადრატების ჯამი.
– \( \sum{Y^2} \) არის \(Y \) ცვლადის კვადრატების ჯამი.
პირსონის კორელაციის კოეფიციენტი (\(r\)) ყოველთვის -1-სა და 1-ს შორისაა. დადებითი კორელაცია მიუთითებს, რომ ორივე ცვლადი ერთი და იგივე მიმართულებით მოძრაობს, ხოლო უარყოფითი კორელაცია მიუთითებს, რომ ერთი ცვლადის ზრდასთან ერთად მეორე მცირდება. თუ \(r = 0\), მაშინ ორ ცვლადს შორის წრფივი კორელაცია არ არსებობს.
მაგალითი კითხვა 1
თარიღი
ქვემოთ მოცემულია 5 მოსწავლის მათემატიკისა და ფიზიკის გამოცდის ქულების მონაცემები:
| სტუდენტი | მათემატიკა (X) | ფიზიკა (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
გადაწყვეტის ნაბიჯები
1. მნიშვნელოვანი კომპონენტების გამოთვლა:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( X^2) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. ფორმულაში შეიყვანეთ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. შედეგების გამოთვლა:
– მრიცხველი: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– მნიშვნელი:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– (766 ჯერ 1276} დაახლოებით 976856} დაახლოებით 989.36)
\[ r = \frac{626}{989.36} \დაახლოებით 0.633 \]
ამგვარად, მათემატიკისა და ფიზიკის ტესტების ქულებს შორის პირსონის კორელაციის კოეფიციენტი 0.633-ია, რაც მიუთითებს, რომ ორ ცვლადს შორის ზომიერად დადებითი კორელაციაა.
მაგალითი კითხვა 2
თარიღი
ქვემოთ მოცემულია მონაცემები კომპანიაში 6 თვის განმავლობაში გაყიდვების ღირებულებისა და სარეკლამო ხარჯების შესახებ:
| თვე | რეკლამა (X) | გაყიდვები (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
გადაწყვეტის ნაბიჯები
1. მნიშვნელოვანი კომპონენტების გამოთვლა:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( X^2) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. ფორმულაში შეიყვანეთ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. შედეგების გამოთვლა:
– მრიცხველი: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– მნიშვნელი:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– (2040000 ჯერ 4580000} დაახლოებით 9343200000000} დაახლოებით 3056246.20)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \დაახლოებით 0.981 \]
ამგვარად, სარეკლამო ხარჯებსა და გაყიდვების ღირებულებას შორის პირსონის კორელაციის კოეფიციენტი 0.981-ის ტოლია, რაც მიუთითებს, რომ ამ ორ ცვლადს შორის ძალიან ძლიერი დადებითი კორელაციაა.
დასკვნა
პირსონის კორელაციის კოეფიციენტი (\(r\)) ძალიან სასარგებლო ინსტრუმენტია ორ ცვლადს შორის წრფივი დამოკიდებულების გასაგებად. მოყვანილ მაგალითებში ჩვენ ვხედავთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ \(r\) მნიშვნელობა და როგორ განვმარტოთ იგი. უფრო მაღალი კორელაცია (1-თან ან -1-თან ახლოს) მიუთითებს უფრო ძლიერ კავშირზე, ხოლო უფრო დაბალი კორელაცია (0-თან ახლოს) მიუთითებს უფრო სუსტ კავშირზე. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ კორელაცია არ გულისხმობს მიზეზ-შედეგობრივ კავშირს; ის უბრალოდ მიუთითებს, რომ არსებობს კავშირი ორ ცვლადს შორის.
