მაგალითი კითხვები, რომლებიც განიხილავენ წერტილის პოზიციას წრესთან მიმართებაში
წერტილის წრესთან მიმართებაში მდებარეობის დადგენა მნიშვნელოვანი თემაა საბაზისო გეომეტრიაში, განსაკუთრებით წრეების შესწავლაში. ამ სტატიაში განვიხილავთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც დაკავშირებულია წერტილის წრესთან მიმართებაში მდებარეობასთან, მათ ახსნა-განმარტებებთან ერთად. ეს ხელს შეუწყობს კონცეფციის გარკვევას პრაქტიკული გამოყენების გზით.
პენდაჰულუანი
სანამ სამაგალითო კითხვებზე გადავიდოდეთ, გავიხსენოთ წრეზე წერტილის სამი შესაძლო პოზიცია:
1. წრის შიგნით: თუ წერტილის მანძილი წრის ცენტრამდე წრის რადიუსზე ნაკლებია.
2. წრის გარეთ: თუ წერტილის მანძილი წრის ცენტრამდე წრის რადიუსზე მეტია.
3. წრეზე: თუ წერტილიდან წრის ცენტრამდე მანძილი წრის რადიუსის ტოლია.
მათემატიკურად, \(T(x_1, y_1)\) წერტილის მდებარეობის \(a, b)\)-ზე ცენტრირებული წრის მიმართ რადიუსით \(r\) შეიძლება განისაზღვროს \(T(x_1, y_1)\) წრის განტოლებასთან შედარებით, კერძოდ:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
თუ განტოლებაში \(x_1\)-სა და \(y_1\)-ს ჩანაცვლების შედეგი იძლევა მნიშვნელობას:
– \(r^2\)-ზე პატარა წერტილი წრის შიგნითაა.
– \(r^2\)-ზე მეტი წერტილი წრის გარეთაა.
– ისევე როგორც \(r^2\), წერტილი წრეზეა.
ნიმუშის კითხვები და დისკუსია
კითხვა 1
განსაზღვრეთ \(T(3, 4)\) წერტილის მდებარეობა წრეწირის მიმართ განტოლების \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25\) გამოყენებით.
დისკუსია:
პირველი ნაბიჯი არის წრის განტოლების შეფასება და \(T(3, 4)\) წერტილიდან \(1, 2)\) წრის ცენტრამდე მანძილის პოვნა.
1. განსაზღვრეთ წრის ცენტრი და რადიუსი:
წრის განტოლება: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– წრის ცენტრი (\(a, b\)): (1, 2)
– წრის რადიუსი (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. გამოთვალეთ მანძილი \(T(3, 4)\) წერტილსა და \((1, 2)\) წრის ცენტრს შორის):
\[
D = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
მნიშვნელობა \(2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) (ნაკლებია \(5\)-ზე).
3. დასკვნა:
რადგან \( 2\sqrt{2} < 5 \), მაშინ წერტილი \(T(3, 4) \) წრის შიგნითაა. კითხვა 2. წრის ცენტრი არის \((0, 0) \) წერტილი და მისი რადიუსი 7. განსაზღვრეთ \(P(5, 6)\) წერტილის მდებარეობა წრის მიმართ.
კითხვა 3
განსაზღვრეთ \(M(2, -1)\) წერტილის მდებარეობა წრის მიმართ განტოლების \(x^2 + y^2 = 5\) გამოყენებით.
დისკუსია:
1. გამოთვალეთ მანძილი \(M(2, -1)\) წერტილიდან \((0, 0) წრის ცენტრამდე:
\[
D = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. შეადარეთ მანძილი \(D\) წრის რადიუსს:
წრის რადიუსი (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. დასკვნა:
რადგან \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), მაშინ წერტილი \(M(2, -1) \) წრეზეა.
კითხვა 4
წრეწირს, რომლის ცენტრიც \((4, 3) \)-ზეა, აქვს \(\sqrt{10}\) რადიუსი. აჩვენეთ \(N(7, 7) \) წერტილის პოზიცია ამ წრეწირის მიმართ.
დისკუსია:
1. წრიული განტოლება:
ცენტრით (4, 3) და რადიუსით (10) წრის განტოლებაა:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. გამოთვალეთ მანძილი N(7, 7) წერტილიდან წრის ცენტრამდე (4, 3):
\[
D = \sqrt{(7 - 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. დასკვნა:
რადგან \(5 > \sqrt{10} \), მაშინ წერტილი \(N(7, 7) \) წრის გარეთაა.
დახურვა
წრის ცენტრიდან წერტილის მანძილის გამოთვლისა და მისი რადიუსთან შედარებით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად განვსაზღვროთ წერტილის პოზიცია წრესთან მიმართებაში. ამ სტატიაში განხილვა, სავარაუდოდ, უზრუნველყოფს კონცეფციისა და წრესთან მიმართებაში წერტილის პოზიციის ამოცანების ამოხსნის ნათელ გაგებას.
პრაქტიკაში, ამ წერტილების პოზიციის ცოდნა უაღრესად სასარგებლოა სხვადასხვა მათემატიკურ გამოყენებაში, მათ შორის გეომეტრიულ ანალიზში, გრაფიკულ დიზაინსა და ინჟინერიაში. ამიტომ, ამ კონცეფციის დაუფლება მნიშვნელოვანი საფუძველია, რომელიც იმსახურებს ყურადღებას და სიღრმისეულ გაგებას.
