გეომეტრიული სერიების განხილვის სამაგალითო კითხვები
გეომეტრიული მიმდევრობები მათემატიკის ფუნდამენტური კონცეფციაა, რომელსაც ხშირად საშუალო სკოლაში ასწავლიან. ეს მიმდევრობები შედგება რიცხვების ნაკრებისგან, რომელთაგან თითოეული წინა რიცხვის ნამრავლია მუდმივაზე, რომელიც ცნობილია როგორც „შეფარდება“. ეს სტატია მოიცავს გეომეტრიული მიმდევრობების რამდენიმე მაგალითს და განხილვას, იმ იმედით, რომ დაეხმარება მკითხველს ამ კონცეფციის უკეთ გაგებაში.
გეომეტრიული სერიების გაგება
გეომეტრიული მიმდევრობა არის რიცხვების მიმდევრობა, რომელიც წარმოიქმნება პირველი რიცხვის (a) ფიქსირებულ თანაფარდობაზე (r) გამრავლებით. ზოგადად, გეომეტრიული მიმდევრობის ზოგადი ფორმაა:
\[ ა, არ, არ^2, არ^3, \ლდოტს, არ^{n-1} \]
აქ:
– „a“ მიმდევრობის პირველი წევრია.
– „r“ არის ერთი წევრის შეფარდება წინა წევრთან.
– „n“ მიმდევრობაში n-ე წევრია.
ნიმუშის კითხვები და დისკუსია
გეომეტრიული მიმდევრობების შესახებ მეტის გასაგებად, განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითის ამოცანა.
მაგალითი კითხვა 1
კითხვა:
მოცემულია გეომეტრიული მიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი (a) არის 3 და შეფარდება (r) არის 2. განსაზღვრეთ:
1. მიმდევრობის მე-5 წევრი.
2. მიმდევრობის პირველი 6 წევრის ჯამი.
დისკუსია:
1. მე-5 წევრის (U5) გამოთვლა შესაძლებელია გეომეტრიული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, კერძოდ:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
ფორმულაში a = 3, r = 2 და n = 5-ის ჩასმით:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
ასე რომ, მიმდევრობის მე-5 წევრი არის 48.
2. გეომეტრიული მიმდევრობის პირველი 6 წევრის (S6) ჯამის გამოთვლა შესაძლებელია პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით, კერძოდ:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
ფორმულაში a = 3, r = 2 და n = 6-ის ჩასმით:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
S_6 = 3 \left(63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
ასე რომ, მიმდევრობის პირველი 6 წევრის ჯამი 189-ია.
მაგალითი კითხვა 2
კითხვა:
გეომეტრიულ მიმდევრობას აქვს მესამე წევრი 27 და მეხუთე წევრი 243. განსაზღვრეთ პირველი წევრის (a) მნიშვნელობა და შეფარდება (r).
დისკუსია:
მოცემულია U3 = 27 და U5 = 243. გეომეტრიული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3-ისთვის:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5-ისთვის:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
განტოლებების (1) და (2) შედარება a-ს აღმოსაფხვრელად:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ ან } r = -3 \]
ჩაანაცვლეთ r-ის მნიშვნელობა განტოლებაში (1):
თუ r = 3:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
თუ \(r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
ამგვარად, პირველი წევრი (a) არის 3, ხოლო შეფარდება (r) შეიძლება იყოს 3 ან -3.
მაგალითი კითხვა 3
კითხვა:
იპოვეთ შემდეგი გეომეტრიული მწკრივების უსასრულო ჯამი, თუ პირველი წევრი (a) 8-ის ტოლია და შეფარდება (r) 1/2-ის ტოლია.
დისკუსია:
გეომეტრიული სერიის უსასრულო ჯამის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
ფორმულაში a = 8-ის და r = 1/2-ის ჩასმა:
S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
S_{\infty} = 8 \ჯერ 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
ასე რომ, გეომეტრიული სერიების უსასრულო ჯამი 16-ია.
მაგალითი კითხვა 4
კითხვა:
გეომეტრიულ მიმდევრობას აქვს მე-2 წევრი 12 და მე-4 წევრი 108. განსაზღვრეთ მიმდევრობის შეფარდება და პირველი წევრი.
დისკუსია:
მოცემულია \( U_2 = 12 \) და \( U_4 = 108 \). გეომეტრიული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით:
\(U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\(U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
განტოლებების (1) და (2) შედარება a-ს აღმოსაფხვრელად:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ ან } r = -3 \]
ჩაანაცვლეთ r-ის მნიშვნელობა განტოლებაში (1):
თუ r = 3:
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
თუ \(r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
ამგვარად, პირველი წევრი (a) შეიძლება იყოს 4 ან -4, ხოლო შეფარდება (r) შეიძლება იყოს 3 ან -3.
დასკვნა
გეომეტრიული მიმდევრობები მნიშვნელოვანი მათემატიკური კონცეფციაა, რომელიც ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში. საფუძვლების გაგებითა და პრობლემების გადაჭრის უნარების გამომუშავებით, ვიმედოვნებთ, რომ შეგვიძლია უფრო დახელოვნებულები გავხდეთ კონცეფციის გაგებასა და გამოყენებაში. ეს სტატია მოიცავს რამდენიმე მაგალით პრობლემასა და განხილვას, რათა დაეხმაროს მკითხველს გეომეტრიული მიმდევრობების უფრო ღრმად შესწავლასა და გაგებაში. ვიმედოვნებთ, რომ ეს სასარგებლო იქნება!
