ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის, A და B, შეკრების წესზე სადისკუსიო კითხვის მაგალითი.

ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის A და B შეკრების წესის განხილვის კითხვების მაგალითები

პენდაჰულუანი

ალბათობაში, ძირითადი ცნებებისა და მათი გამოყენების გაგება უმნიშვნელოვანესია. ერთ-ერთი ხშირად წამოჭრილი კონცეფცია ალბათობის შეკრების წესია. ამ სტატიაში ჩვენ უფრო ღრმად ჩავუღრმავდებით ორი არაგამომრიცხავი მოვლენის შეკრების წესს. არაგამომრიცხავი მოვლენები მაშინ ხდება, როდესაც ორ მოვლენას საერთო შესაძლო ელემენტი აქვს, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორივე მოვლენა შეიძლება ერთდროულად მოხდეს. გაგების გასაადვილებლად, მოდით განვიხილოთ მაგალითის ამოცანა და მისი ახსნა.

ძირითადი თეორია

თუ გვაქვს ორი მოვლენა A და B, რომლებიც ურთიერთგამომრიცხავი არ არის, მაშინ A ან B მოვლენის ალბათობის გამოსათვლელად შეკრების წესი შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:

P(A \ჭიქა B) = P(A) + P(B) – P(A \ჭიქა B)]

აქ:
– P(A \cup B) \) არის ალბათობა, რომ მოხდება A ან B (ან ორივე).
– \( P(A) \) არის A მოვლენის მოხდენის ალბათობა.
– \( P(B) \) არის B მოვლენის მოხდენის ალბათობა.
– P(A \cap B) \) არის ალბათობა იმისა, რომ A და B ერთდროულად მოხდება.

პრობლემების მაგალითი

კითხვა 1: სკოლაში მოსწავლეთა 70%-ს უყვარს ფეხბურთის თამაში (მოვლენა A), მოსწავლეთა 40%-ს უყვარს კალათბურთის თამაში (მოვლენა B) და მოსწავლეთა 20%-ს ორივე სპორტის სახეობა უყვარს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მოსწავლეს უყვარს ფეხბურთის ან კალათბურთის თამაში?

დისკუსია:

ცნობილია:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)

ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის დამატების წესის გამოყენებით:

P(A \ჭიქა B) = P(A) + P(B) – P(A \ჭიქა B)]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.90 \]

ამგვარად, იმის ალბათობა, რომ სტუდენტს ფეხბურთის ან კალათბურთის თამაში უყვარს, 0.90 ანუ 90%-ია.

კითხვა 2: გამოკითხვაში, რესპონდენტთა 35%-ს მოსწონს ყავა (მოვლენა A), რესპონდენტთა 50%-ს მოსწონს ჩაი (მოვლენა B) და რესპონდენტთა 10%-ს ორივე მოსწონს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ რესპონდენტს მოსწონს ყავა ან ჩაი?

დისკუსია:

ცნობილია:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)

ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის დამატების წესის გამოყენებით:

P(A \ჭიქა B) = P(A) + P(B) – P(A \ჭიქა B)]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.75 \]

ასე რომ, იმის ალბათობა, რომ რესპონდენტს ყავა ან ჩაი მოსწონს, 0.75 ან 75%-ია.

კითხვა 3: სტატისტიკური მონაცემებიდან ცნობილია, რომ ადამიანების 60%-ს უყვარს წიგნების კითხვა (მოვლენა A), ადამიანების 30%-ს - ფილმების ყურება (მოვლენა B) და ადამიანების 15%-ს ორივეს კეთება. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ადამიანს უყვარს წიგნების კითხვა ან ფილმების ყურება?

დისკუსია:

ცნობილია:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)

ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის დამატების წესის გამოყენებით:

P(A \ჭიქა B) = P(A) + P(B) – P(A \ჭიქა B)]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.75 \]

ასე რომ, იმის ალბათობა, რომ ადამიანს წიგნების კითხვა ან ფილმების ყურება უყვარს, 0.75 ან 75%-ია.

კითხვა 4: რესტორანში ჩატარებული გამოკითხვის თანახმად, მომხმარებელთა 55%-მა შეუკვეთა პიცა (მოვლენა A), მომხმარებელთა 35%-მა შეუკვეთა მაკარონი (მოვლენა B) და მომხმარებელთა 20%-მა ორივე შეუკვეთა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მომხმარებელი შეუკვეთავს ან პიცას, ან მაკარონს?

დისკუსია:

ცნობილია:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)

ორი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენის დამატების წესის გამოყენებით:

P(A \ჭიქა B) = P(A) + P(B) – P(A \ჭიქა B)]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \ჭიქა B) = 0.70 \]

ასე რომ, მომხმარებლის მიერ პიცის ან მაკარონის შეკვეთის ალბათობა 0.70 ან 70%-ია.

დასკვნა

ალბათობის შესწავლისას, ორი არაგამორიცხული მოვლენის A და B შეკრების წესი ძალიან მნიშვნელოვანია ერთი ან ორივე მოვლენის ერთდროულად მოხდენის ალბათობის დასადგენად. ფორმულის (P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) \) გამოყენება აადვილებს ორი მოვლენის ერთობლივი ალბათობის გამოთვლას, რომლებსაც აქვთ გადაკვეთა ან საერთო ელემენტი.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ვხედავთ, რომ ამ გამოთვლის ძირითადი ნაბიჯების გაგება საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ იგი სხვადასხვა სიტუაციაში, იქნება ეს განათლება, გამოკითხვები თუ ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ალბათობის სწორად გამოთვლისთვის უმნიშვნელოვანესია იმის სიცხადე და სიზუსტე, თუ რომელ მოვლენებს აქვთ საერთო ელემენტები. ამიტომ, თანმიმდევრული პრაქტიკა და ძირითადი ცნებების გაგება დიდად დაგვეხმარება ამ თემის ათვისებაში.