連続方程式に関する資料
蛇口から出てくる水の流れを観察しながら、ゆっくりと蛇口を開けてみてください。蛇口が止まったら、手で蛇口を部分的に塞いでください。次に、どちらの水の流れが大きいか比較してください。部分的に塞いだときと塞いでいないときではどちらが大きいでしょうか。普段花の水やりに使っているホースがあれば、水を流してみてください。ホースを手や指で部分的に塞いでください。ホースを塞ぐ部分が多いほど、水は速く流れ出ます。逆に、ホースを塞いでいないときは、水はゆっくり流れます。なぜそうなるのでしょうか。これを理解するには、連続の式を調べてください。
流線と流路管
まず、流線と流路管の概念を理解しましょう。この概念は、連続の式を理解する上で重要です。
流線型
下の画像を見てください。青い線がストリームラインです。
定常流では、例えば点Aにおける各流体粒子の速度は一定です。点Bを通過する際、流体粒子の速度は変化する可能性があります。しかし、点Bに到達すると、後続の流体粒子は先行する流体粒子と同じ速度で流れ続けます。点Cに到達する場合も同様で、以下同様です。流線とは、点A、B、Cを結ぶ曲線のことです。
フローチューブ
基本的に、流体の流れの各点を通る流線を描くことができます。定常流を考えると、仮想的な表面積（仮想表面積）上で一定の角度で通過する複数の流線が流れ管を形成します。流体粒子は互いに交差することなく常に平行であり、流れ管は常に同じ形状のパイプに似ています。管の一方の端から流入した流体は、もう一方の端から流出します。
デビット
流量とは、一定時間内に特定の断面を通過する流体の体積を指します。数式で表すと次のようになります。
理解を深めるために、例を挙げてみましょう。流体がパイプの中を流れるとします。パイプは通常円筒形で、特定の断面積を持っています。また、パイプには長さもあります。
流体がパイプ内をLだけ流れるとき、パイプ内の流体の体積はV = AL（V = 流体の体積、A = 断面積、L = パイプの長さ）となります。流体がパイプ内をLだけ流れる間に一定の時間間隔を移動するため、流体の排出量は次のようになります。
v = s/t = L/t → L = vt であるため、上記の式は次のように変更されます。
したがって、流体が一定の断面積と長さを持つパイプを一定の時間流れるとき、流体の流量（Q）は、断面積（A）に流体の流速（v）を掛けたものに等しくなります。
連続方程式
下図に示すように、直径の異なるパイプ内の流体の流れを考えてみましょう。
この画像は、左から右への流体の流れを示しています（流体は直径の大きいパイプから直径の小さいパイプへと流れます）。点線は流線です。
画像の説明：A 1 = 大径管部分の断面積、A 2 = 小径管部分の断面積、v 1 = 大径管部分の流体流速、v 2 = 小径管部分の流体流速、L = 流体の移動距離。
流体力学の入門では、流体力学では非圧縮性、非粘性、非乱流、定常流の流体の流れを扱うことが説明されました。定常流では、ある点における流体粒子の速度は、その点を通過する他の流体粒子の速度と同じです。また、流体の流れは互いに交差しません（流線は平行です）。したがって、パイプの一方の端から流入する流体の質量は、もう一方の端から流出する流体の質量と等しくなければなりません。ある質量の流体が直径の大きいパイプに流入した場合、その流体は直径の小さいパイプから一定の質量で流出します。
では、上のパイプの図を見てください。直径の大きい部分と、直径の小さい部分を見てください。
ある一定時間内に、直径の大きいパイプ（A）の一部に一定量の流体が流れる。1）Lに関しては1 (L1 = v1 t) 流れる流体の体積はVです。1 = A1 L1 = A1 v1 t. 同じ時間間隔で、別の量の流体がより小さな直径のパイプ部分（A）を流れます。2）Lに関しては2 (L2 = v2 t) 流れる流体の体積はVです。2 = A2 L2 = A2 v2 t.
非圧縮性流体の連続方程式（非圧縮性)
まず、非圧縮性流体の場合を考えてみましょう。非圧縮性流体では、流体の密度、つまり質量は、流体が通過するすべての点で常に同じです。断面積A1 （パイプの大きな直径）を持つパイプ内を一定時間内に流れる流体の質量は次のようになります。
同様に、断面積が A 2 (小径パイプ) のパイプ内を一定時間内に流れる流体の質量は次のようになります。
定常流においては、流入する流体の質量と流出する流体の質量が等しいことを考慮すると、次のようになる。
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (流体密度と時間間隔が同じなので相殺される)
A1対1 = A2対2
したがって、非圧縮性流体においては、連続の式が適用される。
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 式 1
説明：
A 1 = 断面積 1、A 2 = 断面積 2、v 1 = 断面積 1 における流体流速、v 2 = 断面積 2 における流体流速、A v = 体積流量 V/t （別名：流量）
式1は、体積流量（吐出量とも呼ばれる）が、パイプまたは流路管に沿ったどの点においても常に一定であることを示している。パイプの断面積が減少すると流体流量は増加し、逆に、パイプの断面積が増加すると流体流量は減少する。
蛇口を少し閉めると、完全に閉め切った状態よりも水の流れが速くなります。これは、蛇口を少し閉めると断面積が小さくなり、水の流れが速くなるためです。ホースの場合も同様です。ただし、蛇口が閉まっているかどうかに関わらず、水の流れに沿ったすべての地点で吐出量または体積流量は変わらないことに注意が必要です。つまり、変化するのは流体の流量です。
では、川の水の流れはどうでしょうか？川の深い部分は浅い部分よりも断面積が大きいため、深い部分の水の流れは浅い部分よりも遅くなります。川の流れが非常に穏やかな場合は、その川は深いということです。しかし、川の流れが突然速くなった場合は、その部分は間違いなく浅いです。ただし、水量の流れは、川の深い部分でも穏やかな部分でも常に同じです。
圧縮性流体の連続方程式（圧縮性)
圧縮性流体の場合、流体の密度は常に一定ではありません。つまり、圧縮すると流体の密度が変化します。非圧縮性流体では流体の密度は方程式から除外されますが、この場合は流体の密度が依然として含まれています。以前に導出した方程式を参照して、圧縮性流体の方程式を導出してみましょう。
定常流においては、流入する流体の質量と流出する流体の質量が等しいことを考慮すると、次のようになる。
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
流体の流れの時間間隔は同じなので、それを無視できます。方程式は次のようになります。
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 式 2
これは圧縮性流体の式です。唯一の違いは流体の密度にあります。流体が圧縮されると、その密度は変化します。逆に、流体が非圧縮性の場合、密度は一定のままで、相殺することができます。
例題1：
直径10cmのパイプを水が2m/sの速度で流れています。水の流量はどれくらいですか？
討論
以下のことが知られています。
パイプの直径＝10cm（これはパイプの内径です）
パイプの半径 (r) = 5 cm = 0,05 m
水流速度 = 2 m/s
質問:デビット
ジャワブ：
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
例題2：
直径20cmの水道管が、直径10cmの別の水道管に接続されています。直径20cmの水道管内の水の流量が4m/sの場合、直径10cmの水道管内の水の流量はいくらですか？
討論
以下のことが知られています。
直径1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v 1 = 4 m/s
直径2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
質問: v 1
ジャワブ：
Q1 = Q2
A1対1 = A2対2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m 2 )(4 m/s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
(0,04 m 3 /s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
v 2 = 16 m/s
