ベルヌーイの原理と方程式に関する資料
バイクでかなり速く走ると、着ている服の背中が膨らみます。まだバイクに乗れない人は、バイクに乗っている両親や友達に注目してください。バイクが速く走っているとき、彼らの服の背中はたいてい膨らみます。風が強く吹くと、家のドアが勝手に閉まることがあります。風は家の外に吹いているのに、ドアは家の中にあるのです。
これはベルヌーイの原理を用いて説明できます。ダニエル・ベルヌーイ（1700年～1782年）は、上記のいくつかの事柄を説明するために使用できる原理を発見しました。
ベルヌーイの原理
ベルヌーイの原理によれば、流体の流速が高い場所では流体の圧力が低くなります。逆に、流速が低い場所では圧力が高くなります。バイクが高速で走行すると、体の前方と側面では空気の流速が高くなります。そのため、空気圧は低くなります。体の後方は体の前方によって遮られているため、体の真後ろ（体の真後ろ）では空気の流速は高くなりません。結果として、体の真後ろの空気圧が高くなります。このように空気圧に差があり、体の真後ろの空気圧が高いため、空気がシャツを後ろに押し戻し、シャツの後ろが膨らんでいるように見えるのです。
外の風が強く吹くと、ドアが勝手に閉まる場合はどうでしょうか？外の空気は室内の空気よりも速く動きます。その結果、外の気圧は室内の気圧よりも低くなります。この気圧差によって、室内の気圧が高くなるため、ドアは外側に押し出されます。つまり、ドアは気圧の高い場所から気圧の低い場所へと移動するのです。
ベルヌーイの式
以前、ベルヌーイの原理について学びました。ベルヌーイはこの原理を定量的に展開しました。ベルヌーイの式を導出するために、定常層流、非圧縮性、低粘度を仮定しますが、粘度は無視できます。
連続の式に関する議論の中で、流体の流量は流路管の断面積によっても変化することを学びました。上記のベルヌーイの原理に基づくと、流体の圧力も流体の流量によって変化します。また、流体の圧力は流体の高さによっても変化します。圧力、流量、および流体の高さの関係は、ベルヌーイの式から求めることができます。
ベルヌーイの式は、航空機の飛行、水力発電所、配管システムなどの解析に使用できるため、非常に重要です。これから導出するベルヌーイの式を一般的に適用できるように、流体は断面積と高さが異なる流路管を流れると仮定します（下図参照）。ベルヌーイの式を導出するには、流路管領域の流体に対して仕事とエネルギーの定理を適用します。次に、流体の量と、流体を移動させるために必要な仕事を計算します。
画像中のフローチューブ内の不透明な部分は流体の流れを示し、白い部分は流体が流れていないことを示しています。
断面積1（左側）の流体は距離L1だけ流れ、断面積2（右側）の流体を距離L2だけ移動させます。右側の断面積2は左側よりも小さいため、流路管の右側の流体流量は大きくなります（連続の式を思い出してください）。これにより、断面積2（流路管の右側）と断面積1（流路管の左側）の間に圧力差が生じます（ベルヌーイの原理を思い出してください）。断面積1の左側の流体は、右側の流体に圧力P1を及ぼし、次の仕事をします。
すると、方程式 W 1 は次のように表すことができます。
W 1 = p 1 A 1 L 1
断面２（流路管の右側）において、流体に対して行われる仕事は次のとおりである。
W 2 = − p 2 A 2 L 2
負の符号は、加えられた力が運動の方向と逆であることを示しています。したがって、流体はセクション 2 の右側に仕事をします。さらに、重力も流体に対して仕事をします。上記の場合、ある質量の流体がセクション 1 から L 1まで移動し、セクション 2 から L 2まで移動します。ここで、セクション 1 の流体の体積 (A 1 L 1 ) = セクション 2 の流体の体積 (A 2 L 2 ) です。重力によってなされる仕事は次のとおりです。
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
負の符号は、流体が重力の方向とは逆の、上向きに流れていることに起因します。したがって、上の図に示すように、流体に対して行われた仕事の総量は次のようになります。
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
仕事エネルギー定理によれば、系に対して行われた仕事の総量は、その系の運動エネルギーの変化に等しい。したがって、仕事（W）を運動エネルギーの変化（EK 2 - EK 1）に置き換えることができる。
上記の式は次のように書き換えることができます。
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 − EK 1 = P 1 A 1 L 1 − P 2 A 2 L 2 + mgh 1 − mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
断面 A 1で距離 L 1を流れる流体の質量= 距離 L 2 (断面 A 2 ) を流れる流体の質量。例えば、m の流体の体積は A 1 L 1と A 2 L 2であり、A 1 L 1 = A 2 L 2 (L 2は L 1より長い) です。
ここで、上記の式中の m を m = ρ AL に置き換えます。
これはベルヌーイの式です。ベルヌーイの式は仕事とエネルギーの原理に基づいて導出されたものであり、エネルギー保存の法則の一種です。
説明：
P = 圧力
ρ = 流体の密度
v = 流体流速
g = 重力加速度
h = 地面からの流路管／パイプの高さ
上記のベルヌーイ方程式の左辺と右辺は、流路管に沿った任意の2点を参照できるため、上記の方程式は次のように書き換えることができます。
この方程式は、方程式に含まれる各量の合計が、流路全体を通して同じ値を持つことを示している。
それでは、いくつかのケースにおけるベルヌーイの式を復習してみましょう。
静止流体に対するベルヌーイの式
ベルヌーイの式の特殊なケースとして、静止流体（静止流体）の場合が挙げられます。流体が静止しているとき、速度はありません。したがって、v 1 = v 2 = 0 となります。静止流体の場合、ベルヌーイの式は次のように定式化できます。
h 2 ‐ h 1 = h の場合、この方程式は次のように書くことができます。
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
同じ高さの管またはパイプの流れに関するベルヌーイの式
流路管またはパイプの高さが同じ場合、ベルヌーイの式は次のように変更されます。
