טכניקות ליצירת היסטוגרמות על נתונים מקובצים

טכניקות ליצירת היסטוגרמות על נתונים מקובצים

היסטוגרמה היא כלי הצגת נתונים נפוץ בסטטיסטיקה, במיוחד כשמדובר בנתונים מקובצים. בניגוד לתרשים עמודות רגיל, המציג קטגוריות בדידות, היסטוגרמה מציגה את התפלגות התדירות של נתונים מספריים המקובצים במרווחי מחלקה. באמצעות היסטוגרמה, אנו יכולים לצפות בדפוסי התפלגות נתונים, מגמות (למשל, הטיה ימינה או שמאלה), ואפילו אומדן של צורת ההתפלגות (נורמלית, מוטה, בימודלית וכן הלאה). מאמר זה דן בטכניקות ליצירה שיטתית של היסטוגרמות עבור נתונים מקובצים, החל מבניית טבלת התפלגות תדירות ועד לציור היסטוגרמה נכונה.

1. הבנת נתונים מקובצים והיסטוגרמות

נתונים מקובצים הם נתונים מספריים שסוכמו למספר מרווחי כיתה . לדוגמה, ציוני מבחני תלמידים אינם מוצגים עוד בנפרד, אלא מקובצים לטווחים 40-49, 50-59, 60-69 וכן הלאה. לכל מרווח יש תדירות, שהיא מספר נקודות הנתונים הנמצאות בתוך מרווח זה.

היסטוגרמה היא גרף המורכב מעמודות צמודות זו לזו ללא פערים (או פערים קטנים מאוד), שכן היא מייצגת טווח רציף של ערכים. רוחב העמודה מייצג את אורך מרווח המחלקה, בעוד שגובה העמודה מייצג את התדירות או צפיפות התדירות (בהתאם לשאלה האם רוחב המחלקות זהה או שונה).

2. עריכת טבלת התפלגות תדרים

השלב הראשון ביצירת היסטוגרמה הוא בניית טבלת התפלגות תדרים. תהליך זה כולל בדרך כלל:

1. קביעת הערך נתונים מינימליים ומקסימליים.
2. חשב את הטווח = מקסימום − מינימום.
3. קבע את מספר הכיתות (k).
4. קבע את אורך הכיתה (p) = טווח / k (מעוגל לפי הצורך).
5. סדרו את מרווחי הכיתות וחשבו את התדירות בכל מרווח.

ישנן מספר הנחיות לקביעת מספר הכיתות. אחת הנחיות פופולריות היא נוסחת סטרג'ס:

k = 1 + 3,3 log10(n)
כאשר n הוא מספר נקודות הנתונים. התוצאה של k מעוגלת למספר השלם הקרוב ביותר.

דוגמה פשוטה: אם n = 40, אז k ≈ 1 + 3,3 log10(40) ≈ 1 + 3,3(1,602) ≈ 6,29 כך שניתן לבחור 6 או 7 מחלקות.

3. קביעת גבולות מעמדות וגבולות מעמדות

טעות נפוצה בעת יצירת היסטוגרמות היא לבלבל בין גבולות מחלקה לקצוות מחלקה.

– גבולות מחלקה הם מספרים הכתובים במרווחים, לדוגמה 50–59.
– גבולות מעמדות הם גבולות רציפים המפרידים בין מעמדות כך שלא יהיו "פערים" ביניהן.

אם הנתונים הם מספר שלם, אזי שולי המחלקה נקבעים בדרך כלל על ידי חיבור וחיסור של 0,5.

קונטו:
– לטווח 50–59 יש צלעות מחלקה של 49,5–59,5
– לטווח 60–69 יש צלעות מחלקה של 59,5–69,5

לפיכך, קצוות המחלקה נפגשים ב-59,5 כך שההיסטוגרמה נראית מאוחדת ורציפה באמת.

עם זאת, אם הנתונים הם מדידה רציפה (לדוגמה, גובה בס"מ ויכולים לכלול מספרים עשרוניים), קביעת גבולות הכיתה תלויה בדיוק המדידה. העיקרון הוא ליצור גבולות כיתה שאינם חופפים ואינם משאירים פערים.

4. קבע את קנה המידה על ציר X וציר Y

להיסטוגרמה שני צירים עיקריים:

– ציר X (אופקי): מציג מרווחי מחלקות (בדרך כלל באמצעות קצוות מחלקות כדי להבטיח המשכיות).
– ציר Y (אנכי): מציג תדירות.

אם לכל מרווחי המחלקות יש רוחב זהה, אז גובה העמודות נמדד פשוט באמצעות תדירות. עם זאת, אם רוחבי מרווחי המחלקות שונים, יש למדוד את גובה העמודות באמצעות צפיפות התדירות:

צפיפות תדר = תדר / רוחב מחלקה

שימוש בצפיפות חשוב כדי ששטח העמודות יהיה פרופורציונלי לתדירות בפועל. אחרת, מחלקות רחבות יותר ייראו "גדולות" פשוט בגלל רוחבן, ולא בגלל כמות הנתונים הגדולה יותר.

5. ציור עמודות היסטוגרמה

לאחר קביעת קנה המידה והמרווחים, השלב הבא הוא לצייר את הסרגל.

הטכניקה הנכונה לציור היסטוגרמה:

1. סמנו את קצוות המחלקה על ציר ה-X ברצף.
2. בכל מרווח, צייר פס מלבני שרוחבו תואם למרווח זה.
3. גובה הסרגל מתאים לתדירות (או לצפיפות התדירות אם רוחב המחלקות אינו זהה).
4. ודאו שהגבעולים קרובים זה לזה (ללא רווחים).
5. תנו להיסטוגרמה כותרת, תייג את צירי ה-X וה-Y, ויחידות במידת הצורך.

לדוגמה, אם מרווחי המחלקות הם 40–49, 50–59, 60–69, והתדירות שלהם בהתאמה היא 5, 12, 18, אז הרף עבור מחלקה 60–69 יהיה גבוה יותר מאשר עבור המחלקות האחרות מכיוון שהתדירות שלה היא הגבוהה ביותר.

6. קריאה ופירוש היסטוגרמות

היסטוגרמה אינה רק תמונה, אלא כלי אנליטי. מהיסטוגרמה נוכל לראות:

– מחלקת מצב: מחלקה עם הסרגל הגבוה ביותר (התדירות הגבוהה ביותר).
– צורת התפלגות: סימטרית, מוטה ימינה (הטיה חיובית), מוטה שמאלה (הטיה שלילית), או בעלת שני שיאים (בימודאלי).
– פיזור נתונים: האם הנתונים מרוכזים במרווח זמן מסוים או מפוזרים באופן נרחב.
– אינדיקציה לחריג: אם יש מחלקה בסוף בעלת שכיחות נמוכה והיא מופרדת מהקבוצה הראשית.

פרשנות טובה מלווה בדרך כלל במסקנה קצרה. לדוגמה: "רוב הנתונים נמצאים בטווח של 60-79, דבר המצביע על כך שציוני המשתתפים נוטים להיות בקטגוריית הביניים."

7. טעויות נפוצות

הנה כמה טעויות שכדאי להימנע מהן:

1. תנו רווח בין העמודות כך שזה ייראה כמו תרשים עמודות.
2. שימוש בגבולות מחלקה, לא בקצוות מחלקה, כך שיהיו פערים בטווח הנתונים.
3. אי התאמת גובה הסרגל כאשר רוחב המחלקה שונה, כך שהשוואת התדרים הופכת מוטה.
4. קנה המידה של הצירים אינו עקבי או אינו מתחיל באפס על ציר התדר (יכול להטעות ויזואלית).
5. מרווחי מחלקות אינם עוקבים או חופפים, לדוגמה 50–60 ו-60–70 ללא הסבר של קצוות מחלקות.

8. טיפים מעשיים להפיכת היסטוגרמות למידעיות יותר

כדי להקל על ההבנה של ההיסטוגרמה:

– השתמשו במספר סביר של מחלקות (בדרך כלל 5-12 מחלקות, תלוי בכמות הנתונים).
– הימנעו ממרווחים צרים מדי (יותר מדי מחלקות) מכיוון שההיסטוגרמה הופכת ל"רועשת".
– הימנעו ממרווחים רחבים מדי (מעט מדי מחלקות) מכיוון שתבנית ההתפלגות עלולה ללכת לאיבוד.
– יש לכלול בדוח מקורות נתונים, גודל מדגם (n) ומידע נוסף במידת הצורך.

אם אתם משתמשים בתוכנות כמו אקסל, גוגל שיטס או יישומים סטטיסטיים, חשוב תמיד להבין את המושגים של קצה המחלקה ורוחב המחלקה כדי שתוצאות ההיסטוגרמה לא יהיו שגויות.

סְגִירָה

הטכניקה של יצירת היסטוגרמה עבור נתונים מקובצים דורשת דיוק בבניית מרווחי מחלקה, קביעת גבולות מחלקה וקביעת גבהים מתאימים של העמודות. אם מרווחי המחלקה אחידים, פשוט השתמשו בתדירות כגובה העמודות. אם המרווחים אינם אחידים, השתמשו בצפיפות התדירות כדי לשמור על ויזואליזציה הוגנת ומדויקת. בעזרת היסטוגרמה שנבנתה כהלכה, נוכל לקבל במהירות סקירה כללית של דפוס התפלגות הנתונים ולבצע פרשנויות מדויקות יותר בניתוח סטטיסטי.

אם תרצה, אוכל להוסיף נתוני דוגמה ולהשלים את שלבי החישוב עד לסיום ההיסטוגרמה (באופן ידני או באמצעות אקסל/גיליונות אלקטרוניים).