כיצד לחשב רבעונים, עשירונים ואחוזונים בנתונים סטטיסטיים

כיצד לחשב רבעונים, עשירונים ואחוזונים בנתונים סטטיסטיים

בסטטיסטיקה, לעתים קרובות עלינו לקבוע את מיקומו של ערך בתוך מערך נתונים. חישוב פשוט של הממוצע או החציון אינו מספיק, מכיוון שמדדים אלה אינם מצליחים לתאר כיצד הנתונים מתפלגים וכיצד תצפית משתווה לאחרות. כאן נכנסים לתמונה רבעונים, עשירונים ואחוזונים. שלושת המדדים הללו הם מדדים מיקוםיים המחלקים נתונים ממוינים לחלקים שווים. מאמר זה דן בהגדרות, בשלבים הכלליים וכיצד לחשב רבעונים, עשירונים ואחוזונים עבור מערכי נתונים בודדים וקבוצתיים כאחד.

-

1. מושג בסיסי: יש למיין נתונים

לפני חישוב רבעים, עשירונים או אחוזונים, השלב החשוב ביותר הוא למיין את הנתונים מהקטן לגדול. לאחר מיון הנתונים, נוכל לקבוע את מיקום הרבעונים, העשירונים או האחוזונים בהתבסס על מיקומם באינדקס.

בִּכלָל:
– רבעונים מחלקים את הנתונים ל-4 חלקים.
– עשירונים מחלקים את הנתונים ל-10 חלקים.
– אחוזונים מחלקים את הנתונים ל-100 חלקים.

בפועל, רבעונים, עשירונים ואחוזונים משמשים בדרך כלל לניתוח ציוני מבחנים, נתוני הכנסה, מדידות אנתרופומטריות (גובה/משקל) והערכת ביצועים.

-

2. כיצד לחשב רבעונים (Q1, Q2, Q3)

א. רבעונים בנתונים בודדים (לא מקובצים)

רבעונים מורכבים מ:
– רבעון 1: רבעון תחתון (25% מהנתונים נמצאים מתחתיו)
– רבעון 2: חציון (50%)
– רבעון 3: רבעון עליון (75%)

שלבים לחישוב רבעוני נתונים בודדים:
1. מיין את הנתונים.
2. חשב את מיקום הרבעון באמצעות נוסחת המיקום:
– מיקום Q1 = \((n+1)/4\)
– מיקום Q2 = ∫(2(n+1)/4) או ∫(n+1)/2)
– מיקום Q3 = ∫(3(n+1)/4)

אם המיקום הוא מספר שלם, קח את הערך במיקום זה. אם המיקום הוא שבר, בצע אינטרפולציה (קח את הערך בין שתי נקודות הנתונים הקרובות ביותר).

דוגמה מהירה:
נתונים ממוינים: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
מיקום Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → נמצא בין הנתונים השני לשלישי.
אז Q1 נמצא בין 6 ל-7. אינטרפולציה:
Q1 = 6 + 0,25(7-6) = 6,25.

-

ב. רבעונים בנתונים מקובצים (התפלגות תדירות)

עבור נתונים מקובצים (למשל, מרווחי כיתה), רבעונים מחושבים באמצעות הנוסחה:

\[
Q_k = L + (((k/4n – F)/f)) כפול c
\]

מֵידָע:
– \(Q_k\): רבעון k (k = 1,2,3)
– \(L\): הקצה התחתון של מחלקת הרבעונים
– \(n\): מספר נתונים (תדירות כוללת)
– \(F\): תדירות מצטברת לפני מחלקת הרבעונים
– \(f\): שכיחות בכיתת רבעון
– \(c\): אורך הכיתה

שלבים כלליים:
1. צור תדירות מצטברת.
2. קבע את מיקום הרבעון: ∫(k/4 × n).
3. מצא את המחלקה שמכילה את המיקום הזה.
4. הזן לתוך הנוסחה.

-

3. כיצד לחשב עשירונים (D1 עד D9)

עשירונים מחלקים את הנתונים ל-10 חלקים, כך ש:
– \(D_1\) מציין את גבול 10% התחתון של הנתונים,
– \(D_5\) שווה לחציון,
– \(D_9\) מציין את מגבלת הנתונים של 90%.

א. עשירונים בנתונים בודדים

נוסחת מיקום עשירון:
\[
מיקום D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
עם ‎(k = 1,2, ‎,9‎).

לאחר קבלת המיקום, השיטה ללקיחת הערך זהה לזו של הרבעון: אם הוא שלם, קח אותו ישירות, אם הוא שברי, בצע אינטרפולציה.

-

ב. עשירונים בנתונים מקובצים

נוסחת עשירון לנתונים מקובצים:

\[
D_k = L + (((k/10n – F)/f)) כפול c
\]

התיאור זהה לרבעון, רק שהמחלק הוא 10.

שָׁלָב:
1. חשב את Σ(k/10 כפול n).
2. קבע את מחלקת העשירון על סמך תדירות מצטברת.
3. הוסף את הערך בנוסחה.

עשירונים משמשים לעתים קרובות בניתוח כלכלי, למשל חלוקת הכנסתם של אנשים ל-10 קבוצות (עשירון 1 הוא העני ביותר ועשירון 10 הוא העשיר ביותר).

-

4. כיצד לחשב אחוזונים (P1 עד P99)

אחוזונים מפורטים יותר משום שהם מחלקים את הנתונים ל-100 חלקים. הערך P25 = Q1, P50 = חציון, ו-P75 = Q3. משמעות הדבר היא שרבעונים הם למעשה מקרה פרטי של אחוזונים.

א. אחוזונים על נתונים בודדים

נוסחת מיקום אחוזוני:
\[
מיקום P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
עם ‎(k = 1,2, ‎,99‎).

ההליך זהה: מיין את הנתונים, חשב את המיקום, לאחר מכן קח את הערך או בצע אינטרפולציה.

-

ב. אחוזונים בנתונים מקובצים

נוסחת אחוזונים של נתונים מקובצים:

\[
P_k = L + (((k/100 n – F)/f)) כפול c
\]

השלבים זהים לעשירונים/רבעים:
1. קבע את המיקום ∫(k/100 × n).
2. מצא את מחלקת האחוזונים של התדירות המצטברת.
3. השתמשו בנוסחה.

אחוזונים משמשים לעתים קרובות בהערכות אקדמיות ובריאותיות. לדוגמה, גובהו של ילד באחוזון ה-80 פירושו שהוא גבוה מ-80% מהילדים בגילו.

-

5. טיפים חשובים וטעויות נפוצות

1. יש למיין נתונים (במיוחד עבור נתונים בודדים). ללא מיון, רבעונים/עשירונים/אחוזונים חסרי משמעות.
2. ודאו שאתם משתמשים בקצוות מחלקה על נתונים מקובצים (לא בגבולות מחלקה) אם אתם משתמשים במושגים רציפים.
3. התדירות המצטברת חייבת להיות נכונה, מכיוון שדרגת הרבעון/עשירון/אחוזון נקבעת מהתדירות המצטברת.
4. שימו לב לאורך הכיתה (ג). אסור שאורך הכיתה יהיה שגוי, מכיוון שהוא משפיע על תוצאות החישוב.
5. אינטרפולציה חשובה כאשר מיקומים אינם מעוגלים. תלמידים רבים מעגלים מיקומים מיד, למרות שזה יכול להפחית את הדיוק.

-

6. פנוטאפ

רבעונים, עשירונים ואחוזונים הם כלים סטטיסטיים חשובים להבנת התפלגות נתונים. רבעונים מתאימים לסיכומים פשוטים (למשל, בתרשים תיבות), עשירונים שימושיים לקיבוץ מפורט יותר כמו ניתוח הכנסה, בעוד שאחוזונים עוזרים להעריך את מיקומו של אדם ספציפי מאוד באוכלוסייה. על ידי הבנת השלבים הבסיסיים - סידור נתונים, קביעת מיקום ושימוש בנוסחאות המתאימות עבור נתונים בודדים או מקובצים - ניתן לחשב רבעונים, עשירונים ואחוזונים בדיוק ובביטחון רב יותר.

אם תרצה, אוכל להוסיף דוגמה מלאה של טבלת נתונים מקובצת (מרווח, תדירות, תדירות מצטברת) ולאחר מכן לחשב את Q1, D7 ו-P85 בפירוט כדי להקל על התרגול.