התנגשויות אלסטיות לחלוטין
התנגשות של שני עצמים נקראת התנגשות אלסטית לחלוטין אם התנע או האנרגיה הקינטית של כל גוף לפני ההתנגשות שווים לתנע ולאנרגיה הקינטית של כל גוף לאחר ההתנגשות. במילים אחרות, חוק שימור התנע וחוק שימור האנרגיה הקינטית חלים בהתנגשויות אלסטיות לחלוטין. השימוש במילה אלסטי מצביע על כך שלאחר ההתנגשות, שני העצמים אינם נדבקים זה לזה או אינם מחוברים זה לזה אלא קופצים זה מזה. התנע של כל גוף נשמר.
התנע של כל גוף נשמר.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. משוואה 1.5
האנרגיה הקינטית של כל גוף נשמרת.
1⁄2 mv 1 2 + 1⁄2 mv 2 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 ………………….. משוואה 1.6
[IRP]
התנגשות אלסטית מושלמת חייבת להיות שקטה ולא לייצר חום עקב חיכוך בין שני העצמים המתנגשים. אם התנגשות של שני עצמים מייצרת רעש וחום, האנרגיה הקינטית של העצמים אינה נשמרת. חלק מהאנרגיה הקינטית מומרת לאנרגיית קול ואנרגיית חום, וחלק מומרת לאנרגיה פנימית. דוגמה להתנגשות אלסטית מושלמת היא התנגשות של חלקיקים אטומיים ותת-אטומיים.
בבעיה של התנגשות אלסטית לחלוטין, אם המהירות ההתחלתית ידועה בעוד שהמהירות הסופית אינה ידועה, לא ניתן לפתור את הבעיה באמצעות משוואות 1.5 ו-1.6 בלבד. מסיבה זו, שתי המשוואות עוברות מניפולציה כדי לגזור משוואות אחרות, בהן ניתן להשתמש כדי לקבוע את המהירות הסופית.
הסר את גורם 1/2 ואז תקן את 1.6
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
מ ' 1 (v1 /2 – v1 ' 2 ) = מ' 2 (v2 ' 2 – v2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a2 – b2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. משוואה 1.7
[IRP]
מניפולציה של משוואה 1.5
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
מ ' 1 (v1 – v1 ' ) = מ' 2 (v2 ' – v2 ) ………………….. משוואה 1.8
חלקו את משוואה 1.7 במשוואה 1.8 כדי לקבל את התוצאה הסופית
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. משוואה 1.9
ניתן להשתמש במשוואות 1.5 ו-1.9 כדי לפתור בעיות של התנגשויות אלסטיות לחלוטין. שלב את משוואות 1.5 ו-1.9 כדי לקבל שתי משוואות לקביעת המהירויות הסופיות של שני עצמים אם המסות והמהירויות ההתחלתיות שלהם אינן ידועות.
בעת פתרון שאלות באמצעות המשוואות לעיל, השתמשו בסימן הנכון עבור v1 ו- v2 . אם עצם 1 נע ימינה, v1 חיובי , ולהפך, אם עצם שתיים נע שמאלה, v2 שלילי. אם שני העצמים נעים בכיוונים שונים, אך אין מידע לגבי כיווני התנועה, v1 ו- v2 חייבים להיות מסומנים באופן שונה, לדוגמה, v1 חיובי ו-v2 שלילי.
4.1.1 שני עצמים בעלי אותה מסה
אם m1 = m2 , v1 ' = v2 ו- v2 ' = v1.
מה קורה אם שני האובייקטים נעים בכיוונים שונים?
לדוגמה, אם לפני ההתנגשות אובייקט 1 זז ימינה ואובייקט 2 זז שמאלה, אובייקט 1 זז שמאלה (v1 ' = –v2 ) ואובייקט 2 זז ימינה (v2 ' = v1 ) לאחר ההתנגשות.
מה אם אחד מהעצמים נמצא בתחילה במנוחה?
לדוגמה, אם לפני ההתנגשות עצם 2 נמצא במנוחה (v2 = 0), עצם 1 יהיה במנוחה ( v1 ' = 0) ועצם 2 ינוע באותה מהירות כמו המהירות ההתחלתית של עצם 1 (v2 ' = v1 ) לאחר ההתנגשות. אם לפני ההתנגשות עצם 1 זז ימינה, עצם 2 ינוע ימינה לאחר ההתנגשות. לפיכך, שני העצמים מחליפים מהירויות.
[IRP]
שאלה לדוגמה 4
עצמים A (2 ק"ג) ו-B (2 ק"ג) נעים לכיוונים מנוגדים במהירויות של 4 מטר/שנייה ו-2 מטר/שנייה, בהתאמה. אם עצמים A ו-B מתנגשים בהתנגשות אלסטית לחלוטין, מהן המהירויות הסופיות של עצמים A ו-B?
ידוע:
m A = 2 ק"ג, m B = 2 ק"ג, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
מבוקשים: v A ' ו-v B '
פתרון:
v A ' = – 2 מטר/שנייה ו- v B ' = 4 מטר/שנייה
לאחר ההתנגשות, גוף A נע במהירות של 2 מטר/שנייה וגוף B נע במהירות של 4 מטר/שנייה בכיוונים מנוגדים. אם לפני ההתנגשות גוף A נע ימינה וגוף B נע שמאלה, גוף A ינוע שמאלה וגוף B ינוע ימינה לאחר ההתנגשות.
שאלה לדוגמה 5
גוף A (2 ק"ג) נע ימינה במהירות של 2 מטר/שנייה ומתנגש בגוף B (2 ק"ג) שנמצא במנוחה. אם שני העצמים מתנגשים בהתנגשות אלסטית לחלוטין, מהן המהירויות הסופיות של גופים A ו-B?
ידוע:
m A = 2 ק"ג, m B = 2 ק"ג, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
מבוקשים: v A ' ו-v B '
פתרון:
v A ' = 0 ו-v B ' = 2 מטר/שנייה
לאחר ההתנגשות, גוף A נמצא במנוחה, וגוף B נע ימינה במהירות של 2 מטר לשנייה.
[IRP]
4.1.2 שני עצמים בעלי מסות שונות
אם לשני עצמים יש מהירויות התחלתיות ומסות שונות (הבדל קטן), המהירויות הסופיות ידועות באמצעות משוואות 1.10 ו-1.11.
אם בתחילה אובייקט 2 נמצא במנוחה (v 2 = 0), משוואה 1.10 הופכת למשוואה 1.12 ומשוואה 1.11 הופכת למשוואה 1.13.
אם v 2 = 0, m 1 גדול מאוד, ו-m 2 קטן מאוד, על ידי פתרון משוואות 1.12 ו-1.13 מתקבלים v 1 ' = v 1 ו-v 2 ' = 2v 1. אם v 2 = 0, m 1 קטן מאוד, ו-m 2 גדול מאוד, על ידי פתרון משוואות 1.12 ו-1.13 מתקבלים v 1 ' = -v 1 ו-v 2 ' = 0. סימנים חיוביים ושליליים מציינים כיווני תנועה מנוגדים.
שאלה לדוגמה 6
גוף בעל מסה של 1 ק"ג נע במהירות של 20 מטר לשנייה ומתנגש בקיר בהתנגשות אלסטית לחלוטין. מהן המהירויות הסופיות של הגוף והקיר?
ידוע:
m A = 1 ק"ג, v A = 20 מטר/שנייה, m B = גדול מאוד, v B = 0
מבוקשים : v A ו- v B
פתרון:
v A ' = -20 מטר/שנייה ו- v B ' = 0
לאחר ההתנגשות, עצם A קופץ במהירות של 20 מטר לשנייה ועצם B נשאר במנוחה. אם לפני ההתנגשות עצם A זז ימינה, הוא זז שמאלה לאחר ההתנגשות.
