1. הגדרת עקרון השחור
אם נערבב מים חמים וקרים במיכל פתוח (לדוגמה, דלי), חום עובר ממים חמים למים קרים. מכיוון שהמיכל פתוח, חלק מהחום נע לאוויר. המיכל גם מתחמם. חום המשתחרר על ידי מים חמים לא נספג רק על ידי מים קרים, אלא גם נספג על ידי האטמוספירה והמיכלים. במקרה זה, הדלי הוא מערכת לא מבודדת. כאשר נערבב מים חמים וקרים בתרמוס סגור, חום עובר ממים חמים למים קרים. תרמוסים הם מערכות מבודדות, ולכן חום לא נע לאוויר או לתרמוס. מים קרים סופגים רק את החום המשתחרר על ידי מים חמים עד שתערובת המים החמים והמים הקרים מגיעה לשיווי משקל תרמי.
עקרון השחור קובע שבמערכת סגורה ומבודדת, חום הנפלט על ידי עצם בטמפרטורה גבוהה = חום הנספג על ידי עצם בטמפרטורה נמוכה.
2. נוסחת עקרון שחור
שחרור Q = ספיגת Q
שחרור Q = חום הנפלט על ידי עצמים בטמפרטורה גבוהה, ספיגת Q = חום שנספג על ידי עצמים בטמפרטורה נמוכה.
3. דוגמאות לשאלות ודיונים
דוגמה לבעיה 1.
ברזל חם בעל מסה של 1 ק"ג וטמפרטורה של 100 מעלות צלזיוס מוכנס למיכל המכיל 2 ק"ג מים וטמפרטורה של 20 מעלות צלזיוס. מהי הטמפרטורה של התערובת הסופית? החום הסגולי של ברזל = 450 ג'ול/ק"ג CO2 , החום הסגולי של המים = 4200 ג'ול/ק"ג CO2.
ידוע:
מסת הברזל (מ"ר) = 1 ק"ג
טמפרטורת הברזל (T) = 100 מעלות צלזיוס
מסת המים (מ"ר) = 2 ק"ג
טמפרטורת המים (T) = 20 מעלות צלזיוס
חום סגולי לברזל (c) = 450 ג'ול/ק"ג C2
חום סגולי למים (c) = 4200 ג'ול/ק"ג C2
מבוקש: טי?
פתרון:
לברזל יש טמפרטורה גבוהה יותר מאשר למים, כך שברזל משחרר חום, בעוד שמים סופגים חום.
שחרור Q = ספיגת Q
mc ΔT = mc ΔT
(1)(450)(100-T) = (2)(4200)(T-20)
(450)(100-T) = (8400)(T-20)
45000 – 450T = 8400 T – 168000
45000 + 168000 = 8400 טון + 450 טון
213000 = 8850 טון
T = 213000 : 8850
טמפרטורת טמפרטורה = 24 מעלות צלזיוס
הטמפרטורה הסופית של תערובת הברזל החם והמים הקרים כאשר שניהם נמצאים בשיווי משקל תרמי היא 24 מעלות צלזיוס.
דוגמה לבעיה 2.
מסה של 0.2 ק"ג של קרח מעורבב עם תה חם בעל מסה של 0.2 ק"ג. טמפרטורת הקרח = -10 מעלות צלזיוס, טמפרטורת התה החם = 40 מעלות צלזיוס. החום הסגולי של הקרח = 2100 ג'ול/ק"ג CO2 , החום הסגולי של המים = 4200 ג'ול/ק"ג CO2 , חום ההיתוך של מים = 334000 ג'ול/ק"ג. קרח ותה מעורבבים במערכת מבודדת וסגורה.
ידוע:
מסת הקרח (מ"ר) = 0.2 ק"ג
מסת התה (מ"ר) = 0.2 ק"ג
חום סגולי של מים (c) = 4180 ג'ול/ק"ג C2
חום סגולי של קרח (c) = 2100 ג'ול/ק"ג C2
חום ההיתוך של מים (L F ) = 334 x 10 3 ג'ול/ק"ג
טמפרטורת הקרח (T ice ) = -10 מעלות צלזיוס
טמפרטורת התה ( תה T ) = 40 מעלות צלזיוס
מבוקש: תערובת T
פתרון:
שלב ראשון, הערכת המצב הסופי
החום שצריך להשתחרר מהמים כדי להוריד את הטמפרטורה של 0.2 ק"ג תה חם, מ-40 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס.
שחרור Q = mc ∆T
שחרור Q = (0.2 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג CO2 ) (40 מעלות צלזיוס – 0 מעלות צלזיוס)
שחרור Q = (0.2 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג קולוריד ) (40 מעלות צלזיוס)
שחרור Q = 33,440 ג'אול
שחרור Q = 33.44 קילו-ג'אול
חום נספג על ידי 0.2 ק"ג של קרח כדי להעלות את הטמפרטורה מ-10- מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס.
Q נספג = mc ∆T
Q נספג = (0.2 ק"ג) (2100 ג'ול/ק"ג CO2 ) (0 מעלות צלזיוס – (-10 מעלות צלזיוס))
Q נספג = (0.2 ק"ג) (2100 ג'ול/ק"ג CO2 ) (10 מעלות צלזיוס)
Q נספג = 4,200 ג'אול
Q נספג = 4.2 קילו-ג'אול
החום הנספג כדי להמיס 0.2 ק"ג של קרח (החום הדרוש כדי להמיס את כל הקרח למים)
היתוך Q = m L F
היתוך Q = (0.2 ק"ג) (334 x 10³ ג'אול /ק"ג)
היתוך Q = 66.8 x 10³ ג'אול
היתוך Q = 66.8 קילו-ג'אול
בהתבסס על החישובים לעיל, התוצאות:
שחרור Q = 33.44 קילו-ג'אול
ספיגה Q = 4.2 קילו-ג'אול
היתוך Q = 66.8 קילו-ג'אול
כאשר תה משחרר חום בכמות של עד 33.44 קילו-ג'אול, טמפרטורת התה משתנה מ-40 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס. חלק מהחום המשתחרר (כ-4.2 קילו-ג'אול) משמש להעלאת טמפרטורת הקרח מ-10- מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס. 33.44 קילו-ג'אול – 4.2 קילו-ג'אול = 29.24 קילו-ג'אול. החום הנותר = 29.24 קילו-ג'אול. כדי להמיס את כל הקרח למים נדרש חום של 66.8 קילו-ג'אול. החום הנותר הוא רק 29.24 קילו-ג'אול.
לסיכום, החום הנפלט מתה חם משמש רק להעלאת טמפרטורת הקרח מ-10- מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס ולהמסת חלק מהקרח. חלק מהקרח נמס למים; חלק לא. במהלך תהליך הפיכת מוצק לנוזל, הטמפרטורה לא משתנה. לכן, טמפרטורת התערובת הסופית = 0 מעלות צלזיוס.
דוגמה לבעיה 3.
מסת התה החם (מ"ר) = 0.4 ק"ג,
מסת הקרח (מ"ר) = 0.2 ק"ג,
טמפרטורת הקרח = -10 מעלות צלזיוס
טמפרטורת התה החם = 90 מעלות צלזיוס.
אם שניהם מעורבבים, מהי הטמפרטורה של התערובת הסופית?
החום הסגולי למים (c) = 4180 ג'ול/ק"ג C2.
החום הסגולי לקרח (c) = 2100 ג'ול/ק"ג C2.
חום היתוך של מים (L F ) = 334 x 103 ג'ול/ק"ג
פתרון:
שלב ראשון: הערכת המצב הסופי
החום שצריך להשתחרר מהמים כדי להוריד את הטמפרטורה של 0.4 ק"ג תה חם, מ-90 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס.
שחרור Q = mc ∆T
שחרור Q = (0.4 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג CO2 ) (90 מעלות צלזיוס – 0 מעלות צלזיוס)
שחרור Q = (0.4 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג קולוריד ) (90 מעלות צלזיוס)
שחרור Q = 150,480 ג'אול
שחרור Q = 150.48 קילו-ג'אול
החום נספג על ידי 0.2 ק"ג של קרח כדי להעלות את הטמפרטורה שלו מ-10- מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס.
Q נספג = mc ∆T
Q נספג = (0.2 ק"ג) (2100 ג'ול/ק"ג CO2 ) (0 מעלות צלזיוס – (-10 מעלות צלזיוס))
Q נספג = (0.2 ק"ג) (2100 ג'ול/ק"ג CO2 ) (10 מעלות צלזיוס)
Q נספג = 4,200 ג'אול
Q נספג = 4.2 קילו-ג'אול
החום הדרוש להמסת 0.2 ק"ג של קרח (החום הדרוש כדי להפוך את כל הקרח למים)
היתוך Q = m L F
היתוך Q = (0.2 ק"ג) (334 x 10³ ג'אול /ק"ג)
היתוך Q = 66.8 x 10³ ג'אול
היתוך Q = 66.8 קילו-ג'אול
בהתבסס על החישובים לעיל, התוצאות:
שחרור Q = 150.48 קילו-ג'אול
Q נספג = 4.2 קילו-ג'אול
היתוך Q = 66.8 קילו-ג'אול
כאשר תה חם שחרר 150.48 קילו-ג'אול של חום, טמפרטורת התה החם השתנתה מ-90 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס. חלק מהחום ששוחרר (כ-4.2 קילו-ג'אול) נוצל להעלאת טמפרטורת הקרח מ-10 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס.
150.48 קילו-ג'אול – 4.2 קילו-ג'אול = 146.28 קילו-ג'אול. החום הנותר = 146.28 קילו-ג'אול.
החום הנדרש כדי להמיס את כל הקרח למים הוא רק 66.8 קילו-ג'אול. 146.28 קילו-ג'אול – 66.8 קילו-ג'אול = 79.48 קילו-ג'אול. התברר שהעודף היה 79.48 קילו-ג'אול. תה חם אינו משחרר את כל החום עד שהטמפרטורה יורדת ל-0 מעלות צלזיוס. מסקנה: טמפרטורת התערובת הסופית חייבת להיות גבוהה מ-0 מעלות צלזיוס.
שלב שני: קביעת הטמפרטורה הסופית (T)
החום הנדרש להעלאת טמפרטורת הקרח מ-10- מעלות צלזיוס ל-0 מעלות צלזיוס = 4200 ג'אול
החום היה צריך להמיס את כל הקרח למים, המכונה חום סמוי = 66,800 ג'אול.
החום היה צריך להעלות את טמפרטורת המים (המים מכל התמזגות הקרח) מ-0 מעלות צלזיוס ל-T = (מסת קרח) (חום המים) (T – 0 מעלות צלזיוס) = (0.2 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג C o )(T) = (836 T) J/C o
החום הנפלט מתה חם כדי להוריד את הטמפרטורה מ-90 מעלות צלזיוס ל-T = (מסת המים החמים) (סוג החום של המים) (90 מעלות צלזיוס – T) = (0.4 ק"ג) (4180 ג'ול/ק"ג C o ) (90 מעלות צלזיוס – T) = 1672 ג'ול/C o (90 מעלות צלזיוס – T) = 150,480 ג'ול – (1672 T) ג'ול/C o
4200 ג'ול + 66,800 ג'ול + (836 טונות) ג'ול/קוואלקום = 150,480 ג'ול – (1672 טונות) ג'ול/ קוואלקום
71,000 ג'ול + (836 טונות) ג'ול/קוואלקום = 150,480 ג'ול – (1672 טונות) ג'ול/ קוואלקום
(836 ג'ול/קוואלקום + (1672 ג'ול/קוואלקום = 150,480 ג'ול – 71,000 ג'ול
(2508 T) J/C o = 79,480 J
טמפרטורת טמפרטורה = 31.7 מעלות צלזיוס
טמפרטורה סופית = 31.7 מעלות צלזיוס
