בחומר על חוק קולומב נחקר הכוח בין מטענים חשמליים. בסקירה של שדות חשמליים נדונה צורה נוספת של חוק קולומב, המתבטאת באמצעות המשוואה F = q E, כאשר F הוא הכוח החשמלי, q הוא המטען החשמלי ו-E הוא השדה החשמלי. ניתן לומר שחוק קולומב הוא חוק פיזיקה המסביר את הקשר בין מטען חשמלי (q) לשדה חשמלי (E).
חוק גאוס הוא חוק נוסף בפיזיקה המסביר את הקשר בין מטען חשמלי לשדה חשמלי. חוק גאוס נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס (1777–1855), פיזיקאי תיאורטי ומתמטיקאי גרמני. ניתן לחשב בקלות את השדה החשמלי הנוצר על ידי מטען חשמלי אחד או יותר באמצעות חוק קולומב, אך החישוב הופך למסובך יותר אם נקבע השדה החשמלי הנוצר על ידי התפלגות מטענים חשמליים. חוק גאוס מספק דרך קלה יותר לקבוע את השדה החשמלי הנוצר על ידי התפלגות מטענים חשמליים. יתר על כן, אם השדה החשמלי ידוע, ניתן להשתמש בחוק גאוס כדי לקבוע את התפלגות המטענים החשמליים המייצרים את השדה החשמלי. להלן דן במושג ובנוסחה של חוק גאוס.
חשבו על מטען חשמלי חיובי במרכז הכדור כפי שמוצג בתמונה בצד. אם רדיוס הכדור הוא R, אז עוצמת השדה החשמלי המופקת מהמטען על פני הכדור היא E = k Q / R2 ושטח הפנים של הכדור הוא A = 4π R2כדי להמחיש את השדה החשמלי, מצוירים קווי שדה חשמלי, אך האיור מציג רק ארבעה. מכיוון שהמטען החשמלי חיובי, קווי השדה החשמלי מצוירים ממרכז הכדור שבו נמצא המטען החשמלי, וכל קו שדה חשמלי ניצב לפני השטח של הכדור שהוא עובר דרכו. ככל שהמטען החשמלי רחוק יותר, כך השדה החשמלי קטן יותר, ולכן גם המרחק בין קווי השדה החשמלי גדל.
השטף החשמלי החודר את פני השטח של הכדור מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:
תיאור: Φ = שטף חשמלי, Q = מטען חשמלי, k = 9 x 10^ 9 Nm² / C² , εo ( פרמיטיביות של מרחב פנוי) = 8,85 x 10^ -12 C² /Nm² , π = 3,14. בהתבסס על משוואה זו, מסיקים כי השטף החשמלי ( Φ ) העובר דרך משטח כדורי הוא פרופורציונלי לכמות המטען החשמלי (Q) שבו ואינו תלוי ברדיוס הכדור (R).
האיור מימין מציג ארבעה משטחים סגורים המכילים מטען חשמלי Q. המשטח הראשון הוא כדורי בעוד שלשאר המשטחים יש צורה לא סדירה. המטען החשמלי הוא חיובי כך שקווי השדה החשמלי המיוצגים על ידי ארבעה חצים מצוירים מהמטען. ארבעת קווי השדה החשמלי עוברים דרך המשטח הכדורי והמשטח השני בעל צורתו הלא סדירה. בסקירה בנוגע שטף חשמלי נאמר כי שטף חשמלי הוא קווי השדה החשמלי החודרים שטח פנים מסוים.קווי השדה החשמלי החודרים את כל ארבעת המשטחים זהים, כך שהשטף החשמלי על כל ארבעת המשטחים הוא בעל ערך זהה. השטף החשמלי החודר משטח כדורי שווה ל- Φ = Q/εo , כך שגם לשטף החשמלי החודר למשטחים אחרים בעלי צורות לא סדירות יש את אותו ערך, כלומר Φ = Q/εoבהתבסס על הסבר זה, ניתן להסיק כי השטף החשמלי החודר למשטח סגור המכיל מטען חשמלי אינו תלוי בצורת המשטח וגודלו הוא Φ = 4 π k Q = Q/εo.
האיור מימין מציג שני מטענים חשמליים בתוך משטח סגור. המטען Q1 ו-Q2 חיובי כך שאם זה מתואר, לכל מטען יש קו שדה חשמלי החודר החוצה מתוך פני השטח. השטף החשמלי הכולל הוא המספר הכולל של קווי שדה חשמלי החודרים החוצה ממשטח סגור. מכיוון שקווי השדה החשמלי של מטען Q1 שווה ערך לשטף חשמלי של Φ = Q1/εo וקווי השדה החשמלי של המטען Q2 שווה ערך לשטף חשמלי של Φ = Q2/εo אז המספר הכולל של קווי השדה החשמלי שווה ל-Q1/εo + ש2/εo = 1/εo (Q1 + ש2).
בהתבסס על הסבר זה, ניתן להסיק כי השטף החשמלי הכולל הוא כפול 1/εo מהמטען החשמלי הכולל במשטח הסגור. משפט זה הוא חוק גאוס. מבחינה מתמטית:
Φ סך = 1/ε o (Q total ) ———- משוואת החוק של גאוס
Q סך הכל הוא הכמות הכוללת של מטען חשמלי בתוך משטח סגור. אם יש מטען חשמלי מחוץ למשטח הסגור, אז המטען אינו נלקח בחשבון מכיוון שהשטף החשמלי שהוא מייצר הוא אפס. השטף החשמלי הוא אפס מכיוון שקווי השדה החשמלי שמקורם במטען חודרים לתוך המשטח הסגור ואז יוצאים שוב כך שהשטף המתקבל הוא אפס. המשטח הסגור בחוק גאוס הוא משטח דמיוני המוצג לחישוב השטף החשמלי שנוצר על ידי מטענים חשמליים. במילים אחרות, מטענים חשמליים אינם חייבים להיות בתוך משטח סגור אמיתי. ניתן להשתמש בחוק גאוס כדי לקבוע את השדה החשמלי אם התפלגות המטענים החשמליים ידועה או שניתן להשתמש בו גם כדי לקבוע את התפלגות המטענים החשמליים אם השדה החשמלי ידוע. השימוש בחוק גאוס לפתרון בעיות שונות מוסבר במאמר שכותרתו קביעת השדה החשמלי באמצעות חוק גאוס.
