שאלות לדוגמה הדנות בכתיבת נגזרות פונקציות

שאלות לדוגמה בנושא כתיבת נגזרות פונקציות

נגזרת של פונקציה היא מושג יסוד בחשבון החשבון הסופי, המשמש לעתים קרובות בתחומים שונים של המדע, כגון פיזיקה, כלכלה, ביולוגיה והנדסה. נגזרת של פונקציה מודדת את המהירות שבה ערכה משתנה ביחס לשינויים במשתנים הבלתי תלויים שלה. במאמר זה נדון בכמה דוגמאות לבעיות הכרוכות בכתיבת נגזרת של פונקציה, יחד עם הסברים.

שאלה לדוגמה 1: נגזרת של פונקציות פשוטות

שאלה: מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).

דִיוּן:
כדי לקבוע את הנגזרת הראשונה של פונקציה \( f(x) \), אנו משתמשים בכללי הדיפרנציאציה הבסיסיים, דהיינו:

\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]

לכן, נוכל לחשב את הנגזרת של כל איבר בפונקציה באופן הבא:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]

\[
f'(x) = 3 ⋅ 2x^{2-1} + 5 ⋅ 1x^{1-1} + 0
\]

\[
f'(x) = 6x + 5
\]

לכן, הנגזרת הראשונה של הפונקציה \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) היא \(f'(x) = 6x + 5 \).

שאלה לדוגמה 2: נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

שאלה: מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).

דִיוּן:
אנו משתמשים בכללי הנגזרת הבסיסיים עבור פונקציות טריגונומטריות:

\[
\frac{d}{dx}(sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]

כָּך:

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) + \frac{d}{dx}(cos(x))
\]

\[
g'(x) = ∫cos(x) – ∫sin(x)
\]

לכן, הנגזרת הראשונה של הפונקציה g(x) = sin(x) + cos(x) היא g'(x) = cos(x) – sin(x)).

שאלה לדוגמה 3: נגזרת של פונקציית כפל

שאלה: מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( h(x) = x^2 \sin(x) \).

דִיוּן:
עבור פונקציות שהן מכפלה של שתי פונקציות, נשתמש בכלל הכפל:

\[
\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

נניח ש-\(u(x) = x^2\) ו-\(v(x) = \sin(x)\). אז:

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) = \cos(x)
\]

באמצעות כלל הכפל, נוכל לכתוב:

\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]

\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]

לכן, הנגזרת הראשונה של הפונקציה h(x) = x^2 sin(x) היא h'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)).

שאלה לדוגמה 4: נגזרת של פונקציית קומפוזיציה

שאלה: מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( k(x) = \sin(x^2) \).

דִיוּן:
עבור פונקציות שהן הרכב של שתי פונקציות, נשתמש בכלל השרשרת:

\[
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]

יהי \(f(u) = \sin(u) \) ו- \(u = x^2 \). אז \(f'(u) = \cos(u) \) ו- \(g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).

באמצעות כלל השרשרת, נוכל לכתוב:

\[
k'(x) = \frac{d}{dx} [sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]

לכן, הנגזרת הראשונה של הפונקציה k(x) = sin(x^2) היא k'(x) = 2x cos(x^2)).

שאלה לדוגמה 5: נגזרת של פונקציות רציונליות

בעיה: מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).

דִיוּן:
עבור פונקציות שהן המנה של שתי פונקציות, נשתמש בכלל המנה:

\[
‏\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

נניח ש-\(u(x) = 2x\) ו-\(v(x) = x^2 + 1\). אז:

\[
u'(x) = 2
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]

באמצעות כלל המנה, נוכל לכתוב:

\[
ערך m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
ערך m'(x) = ∫(x² + 1) – 2x ∫2x}{(x² + 1)²}
\]

\[
ערך m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

לכן, הנגזרת הראשונה של הפונקציה \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) היא \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).

מסקנה

במאמר זה, דנו במספר דוגמאות לבעיות הכרוכות בנגזרות של פונקציות, החל מפונקציות פשוטות, פונקציות טריגונומטריות, כפל, קומפוזיציה ופונקציות רציונליות. כל דוגמה מדגימה את השימוש המתאים בכללי נגזרות, כגון כלל היסוד, כלל השרשרת, כלל הכפל וכלל המנה. הבנת אופן יישום כללים אלה חיונית לפתרון בעיות חשבון מורכבות יותר בתחומים שונים. תרגול והדרכה חוזרים ונשנים יסייעו לחזק את ההבנה והכישורים שלכם בדיפרנציאציה של פונקציות.