שאלות לדוגמה הדנות בפונקציית ההתפלגות הבינומית

שאלות לדוגמה הדנות בפונקציית ההתפלגות הבינומית

התפלגות בינומית היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת ​​את מספר ההצלחות בניסוי המורכב ממספר ניסויים בלתי תלויים עם שתי תוצאות אפשריות: הצלחה וכישלון. כל ניסוי נקרא ניסוי, וההתפלגות הבינומית משמשת לעתים קרובות במצבים בהם מספר ההצלחות על פני מספר ניסויים בלתי תלויים הוא בעל עניין. במאמר זה נדון במושגים הבסיסיים של ההתפלגות הבינומית ונספק דוגמאות ופתרונות.

מושגים בסיסיים של פונקציית התפלגות בינומית

לפני שנכנס לשאלות הדוגמה ולדיון, בואו נדון בכמה מושגים בסיסיים הקשורים להתפלגות הבינומית.

1. הגדרה: התפלגות בינומית מוגדרת כסכום ההצלחות ב-'n' ניסויים בלתי תלויים, כאשר לכל ניסוי יש שתי תוצאות אפשריות: הצלחה (עם הסתברות p) או כישלון (עם הסתברות q = 1 – p).

2. פונקציית הסתברות: פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית היא:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
אֵיפֹה:
– \( P(X = k) \) היא ההסתברות ל- k הצלחות ב-n ניסיונות.
– \( \binom{n}{k} \) הוא שילוב של n take k, המוגדר כ- \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) היא ההסתברות להצלחה בכל ניסיון.
– \( (1-p) \) היא ההסתברות לכישלון בכל ניסיון.

3. ערך צפוי ושונות:
– הערך הצפוי (ממוצע) של ההתפלגות הבינומית הוא ∫( \mu = np \).
– השונות של ההתפלגות הבינומית היא ∫( \sigma^2 = np(1-p) \).

כעת, בואו ניישם את המושגים הללו בבעיה לדוגמה כדי לספק הבנה מעמיקה יותר.

שאלה לדוגמה 1: חישובים בסיסיים של התפלגות בינומית

שאלה:
חברה מייצרת רכיבים אלקטרוניים עם הסתברות של 0.95 שכל רכיב יעבור בדיקת איכות. אם מיוצרים 10 רכיבים, חשב את ההסתברות ש-8 רכיבים בדיוק יעברו את בדיקת האיכות.

דיון:
נוכל להשתמש בנוסחת ההתפלגות הבינומית כדי לפתור בעיה זו. ראשית, נזהה את הפרמטרים הבאים:
– \(n \) (מספר כולל של ניסיונות) = 10
– \(k \) (מספר ההצלחות) = 8
– \(p \) (הסתברות להצלחה) = 0.95
– \(q \) (הסתברות לכישלון) = 1 – 0.95 = 0.05

לאחר מכן, החלף את הערכים הבאים בנוסחת ההתפלגות הבינומית:
\[
P(X = 8) = ∫(10/8)^8 (0.95)^2
\]

ראשית, חשב את הצירוף \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \× 9 \× 8!}{8! \× 2!} = \frac{10 \× 9}{2 \× 1} = 45
\]

לאחר מכן, חשב את ההסתברויות \( (0.95)^8 \) ו- \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \בערך 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

לבסוף, הכפל את כל הערכים הללו כדי לקבל:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 בערך 0.0744
\]

לכן, ההסתברות שדווקא 8 מתוך 10 רכיבים יעברו את מבחן האיכות היא כ-0.0744 או 7.44%.

שאלה לדוגמה 2: הסתברות מצטברת

שאלה:
עדיין עם אותה חברה, חשב את ההסתברות שלפחות 9 מתוך 10 רכיבים יעברו את מבחן האיכות.

דיון:
כדי לפתור בעיה זו, עלינו לחשב את ההסתברות המצטברת. ההסתברות שלפחות 9 מתוך 10 רכיבים יעברו את המבחן פירושה שאנו מחשבים את Σ(P(X ≤ 9)), אשר ניתן לכתוב כך:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

באמצעות נוסחת ההתפלגות הבינומית:
\[
P(X = 9) = ∫(10/9)^9 (0.95)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

ראשית, חשבו את השילוב עבור כל מקרה:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
10 = 1
\]

לאחר מכן, חשב את ההסתברויות עבור \(P(X = 9) \) ו- \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \בערך 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 בערך 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \בערך 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]

ההסתברות הכוללת עבור \( P(X ≤ 9) \):
\[
P(X ≈ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]

לכן, ההסתברות שלפחות 9 מתוך 10 רכיבים יעברו את מבחן האיכות היא כ-0.9138 או 91.38%.

שאלה לדוגמה 3: ערך צפוי ושונות

שאלה:
חשב את הערך הצפוי והשונות של מספר הרכיבים שעוברים את מבחן האיכות מתוך 10 רכיבים שיוצרו, עם הסתברות של 0.95.

דיון:
השתמש בנוסחה הבאה:
– ערך צפוי (ממוצע) \( \mu = np \)
– שונות (סיגמא 2 = np(1-p))

עם n = 10 ו-p = 0.95:
\[
µ = 10 כפול 0.95 = 9.5
\]
\[
סיגמא^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]

לכן, הערך הצפוי של מספר הרכיבים שעוברים את מבחן האיכות הוא 9.5, והשונות היא 0.475.

מסקנה

באמצעות שלוש הבעיות לדוגמה לעיל, דנו כיצד לחשב הסתברות באמצעות ההתפלגות הבינומית עבור מצבים שונים: חישוב הסתברות מדויקת, הסתברות מצטברת וחישוב ערך צפוי ושונות. ידע על ההתפלגות הבינומית שימושי בתחומים שונים, כגון ייצור, מחקר רפואי וסטטיסטיקה חברתית, שבהם ניתן לנתח את תוצאותיהם של ניסויים חוזרים עם שתי תוצאות אפשריות כדי לסייע בקבלת החלטות. יש לקוות, שהבעיות לדוגמה והדיונים שסופקו יעזרו לכם להבין טוב יותר את ההתפלגות הבינומית.