שאלות לדוגמה העוסקות בהתפלגות נורמלית

דוגמה לשאלת דיון על התפלגות נורמלית

ההתפלגות הנורמלית, המכונה גם התפלגות גאוסית, היא התפלגות ההסתברות הנפוצה ביותר בסטטיסטיקה. להתפלגות זו צורת פעמון סימטרית, דבר המצביע על כך שהנתונים מסודרים סביב הממוצע וההסתברות לקיצוניות (ערכים רחוקים מהממוצע) נמוכה.

במאמר זה נדון בבעיות לדוגמה שונות הכרוכות בהתפלגות נורמלית וכיצד לפתור אותן. נתחיל בהצגת כמה מושגים בסיסיים ולאחר מכן נעבור לדוגמאות מורכבות יותר.

יסודות ההתפלגות הנורמלית

ההתפלגות הנורמלית היא התפלגות רציפה עם שני פרמטרים: הממוצע וסטיית התקן (SD). הממוצע קובע את מרכז ההתפלגות, בעוד שסטיית התקן קובעת את רוחב ההתפלגות.

מאפיינים חשובים של ההתפלגות הנורמלית:
1. סימטריה: ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע.
2. כלל אמפירי (כלל אמפירי):
– כ-68% מהנתונים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע.
– כ-95% מהנתונים נמצאים בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע.
– כ-99.7% מהנתונים נמצאים בטווח של שלוש סטיות תקן מהממוצע.

שאלות לדוגמה ודיון

שאלה לדוגמה 1: חישוב ציון ה-Z

שאלה: למבחן יש ציון ממוצע של 70 עם סטיית תקן של 10. סטודנט מקבל ציון של 80. מהו ציון ה-Z של הסטודנט?

פִּתָרוֹן:
ציון Z הוא מדד לכמה סטיות תקן יש לערך מסוים מהממוצע.
נוסחת ציון Z:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

אֵיפֹה:
– \(X \) הוא הערך הנצפה.
– \( \mu \) הוא הממוצע.
– \( \sigma \) היא סטיית התקן.

זה ידוע:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \סיגמא = 10 \)

יישום הנוסחה:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]

לכן, ציון ה-Z של התלמיד הוא 1, מה שאומר שציון של 80 הוא סטיית תקן אחת מעל הממוצע.

שאלה לדוגמה 2: הסתברות של ערך מסוים

שאלה: בהתפלגות נורמלית עם ממוצע של 100 וסטיית תקן של 15, מהי ההסתברות למצוא ערך נמוך מ-85?

פִּתָרוֹן:
השלבים:
1. חשב את ציון ה-Z עבור הערך \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]

2. השתמשו בטבלת Z או במחשבון סטטיסטי כדי למצוא את ההסתברות המתאימה לציון Z של -1. בטבלת Z, ההסתברות לציון Z של -1 היא בערך 0.1587.

לכן, ההסתברות למצוא ערך מתחת ל-85 היא 0.1587 או 15.87%.

שאלה לדוגמה 3: שימוש בכללים אמפיריים

שאלה: ידוע כי התפלגות ציוני מבחני מתמטיקה בבתי ספר עוקבת אחר התפלגות נורמלית עם ממוצע של 75 וסטיית תקן של 8. איזה שיעור מהתלמידים קיבלו ציון בין 67 ל-83?

פִּתָרוֹן:
שלבים:
1. חשב את ציון ה-Z עבור הערכים 67 ו-83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

2. על פי כללים אמפיריים, ערכים בין סטיית תקן -1 ל-+ סטיית תקן 1 מהממוצע מכסים כ-68% מהאוכלוסייה.

אז, שיעור התלמידים שקיבלו ציונים בין 67 ל-83 היה כ-68%.

שאלה לדוגמה 4: חישוב ערכים מאחוזונים

שאלה: אם הגובה הממוצע של גברים בוגרים במדינה הוא 175 ס"מ עם סטיית תקן של 7 ס"מ, מה הגובה שנמצא באחוזון ה-90?

פִּתָרוֹן:
שלבים:
1. מצא את ציון ה-Z המתאים לאחוזון ה-90. בהתבסס על טבלת ה-Z, ציון ה-Z הקרוב ביותר ל-0.9000 הוא בערך 1.28.

2. השתמשו בנוסחה כדי לחשב את הערך של \(X \):
[X = µ + Z כפול סיגמא]
[X = 175 + 1.28 כפול 7]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]

אז, הגובה באחוזון ה-90 הוא בסביבות 183.96 ס"מ.

שאלה לדוגמה 5: הסתברות של מרווח מסוים

שאלה: בהינתן שהתפלגות משקלי היילודים עוקבת אחר התפלגות נורמלית עם ממוצע של 3.5 ק"ג וסטיית תקן של 0.5 ק"ג, מהי ההסתברות שתינוק ישקול בין 3 ק"ג ל-4 ק"ג?

פִּתָרוֹן:
שלבים:
1. חשב את ציון ה-Z עבור הערכים 3 ק"ג ו-4 ק"ג:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]

2. ההסתברות לציון Z בין -1 ל-1 בהתבסס על טבלת ה-Z היא בקירוב 0.6826 או 68.26%.

לכן, ההסתברות לתינוק במשקל שבין 3 ק"ג ל-4 ק"ג היא כ-68.26%.

מסקנה

ההתפלגות הנורמלית היא מושג בסיסי בסטטיסטיקה, בעל חשיבות מכרעת ויש לו יישומים רבים בעולם האמיתי. במאמר זה, הסברנו את המושגים הבסיסיים של ההתפלגות הנורמלית ופתרנו מספר דוגמאות כדי להעמיק את הבנתנו.

הבנת ההתפלגות הנורמלית חשובה לא רק לסטטיסטיקה אלא גם לתחומים מעשיים שונים כמו פסיכולוגיה, כלכלה ומדעי חברה אחרים. עם מספיק תרגול, פתרון בעיות התפלגות נורמלית יכול להפוך לאינטואיטיבי יותר ולסייע בקבלת החלטות מבוססות נתונים.