Movimento del proiettile

Articolo sul moto dei proiettili e problemi di esempio con soluzioni.

Velocità iniziale (v_o) e la componente della velocità iniziale (v_ox e v_oy)

Un oggetto i cui movimenti parabolici hanno sempre una velocità iniziale. Poiché il moto parabolico è una combinazione di movimenti in direzione orizzontale e verticale, anche la velocità iniziale ha componenti orizzontali e verticali.

Se l'oggetto si muove parabolicamente come nelle Figure 1 e 3, la velocità iniziale in direzione orizzontale (vox ₎ e la velocità iniziale in direzione verticale (voy ₎ vengono calcolate utilizzando l'equazione:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Se l'oggetto si muove parabolicamente come nella figura 2, allora v _o = v _ox (v _oy = 0)

Velocità (v_x e v_y) e Posizione (x e y)

La velocità nelle direzioni orizzontale e verticale in un determinato intervallo di tempo viene calcolata utilizzando la seguente equazione:

v _x = v _ox = costante ( moto lineare uniforme )

v _y = v _oy + gt oppure v _y ² = v _oy ² + 2 gh (moto di caduta libera)

La posizione degli oggetti nelle direzioni orizzontale (x) e verticale (y) in un determinato intervallo di tempo viene calcolata utilizzando la seguente equazione:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Risultante della velocità (v) e della posizione (h)

La velocità risultante in un intervallo di tempo specificato viene calcolata utilizzando la seguente equazione:

La direzione degli oggetti in un determinato intervallo di tempo viene calcolata utilizzando la seguente equazione:

Note:

1. La componente orizzontale del moto parabolico è considerata come un moto lineare uniforme, quindi vox = vx è sempre costante.

2. La componente verticale del moto parabolico è vista come il moto di caduta libera, quindi se l'oggetto si muove parabolicamente, come nelle Figure 1 e 3, la componente verticale della velocità dell'oggetto all'altezza massima è zero (v _y = 0). Se si lancia una biglia verticalmente verso l'alto all'altezza massima, l'oggetto si ferma per un momento (v _y = 0) prima di iniziare a scendere. Pertanto, la velocità dell'oggetto che si muove parabolicamente all'altezza massima = v _x = v _ox

3. Se l'oggetto si muove parabolicamente come mostrato nella Figura 2, la componente verticale del moto parabolico è considerata come il moto di caduta libera. Se l'oggetto si muove parabolicamente come nelle Figure 1 e 3, la componente verticale del moto parabolico è considerata come il moto verticale verso l'alto.

Esempi di problemi:

1. Un proiettile viene sparato in direzione orizzontale con una velocità iniziale di 20 m/s. Se la pistola si trova a 5 metri dal suolo, determinare:

(a) tempo in aria

(b) l'altezza massima

(c) la distanza orizzontale

(d) la velocità del proiettile quando colpisce il suolo

Soluzione:

Il moto in direzione orizzontale viene analizzato come un moto lineare uniforme, mentre il moto in direzione verticale viene analizzato come un moto di caduta libera.

Conosciuto:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

a) Tempo di volo

La soluzione consiste nel determinare l'intervallo di tempo (t) nel moto di caduta libera.

Dati noti: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

Cercasi: t

b) L'altezza massima

Altezza massima = h = 5 metri.

c) Distanza orizzontale (d)

La soluzione è come determinare la distanza sul moto lineare uniforme

Dati noti: v _ox = 20 m/s, t = 1 secondo

Ricercato: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Velocità al momento dell'impatto del proiettile con il suolo

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Innanzitutto, calcoliamo la velocità finale in direzione verticale (vty). La soluzione è simile al calcolo della velocità finale del moto di caduta libera.

Dati noti: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

Cercasi: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

La velocità di un proiettile quando colpisce il suolo:

Direzione del proiettile:

Poiché v _tx è nella direzione dell'asse x positivo (verso destra) e v _ty è nella direzione dell'asse y negativo (verso il basso),

La direzione del proiettile quando colpisce il suolo è di -26.1 ^° rispetto all'asse x positivo (vedi figura sotto).

2. Il cannone ha sparato un proiettile con un angolo di 30 ^° rispetto all'orizzontale e una velocità di 60 m/s. Determinare:

(a) l'altezza massima

(b) la velocità del proiettile all'altezza massima

(c) tempo in aria

(d) la distanza orizzontale

(e) la velocità del proiettile quando colpisce il suolo. Supponiamo che il suolo sia piatto. 🙂

Soluzione:

Il moto in direzione orizzontale viene analizzato come un moto lineare uniforme, mentre il moto in direzione verticale viene analizzato come un moto verticale verso l'alto.

Dati noti: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

In base ai dati noti, calcoliamo innanzitutto le componenti verticale (v _oy ) e orizzontale (vo _ox ) della velocità iniziale (v _o ).

a) L'altezza massima (h)

La soluzione è come determinare l'altezza massima del movimento verticale verso l'alto.

Conosciuto:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Altezza massima (h)

La soluzione è come determinare l'altezza massima del movimento verticale verso l'alto.

Conosciuto:

v _oy = 30 m/s (questa è la velocità iniziale del proiettile)

v _ty = 0 m/s (All'altezza massima, la velocità verticale del proiettile è pari a 0 m/s. Questa è la velocità finale.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Ricercato: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 h

900 = 19.6 ore

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metri

L'altezza massima raggiunta dal proiettile è di 45.9 metri.

b) La velocità all'altezza massima

All'altezza massima, la velocità in direzione verticale è pari a 0 m/s. All'altezza massima, la velocità è espressa unicamente in direzione orizzontale. La velocità in direzione orizzontale all'altezza massima è uguale alla velocità iniziale in direzione orizzontale, che è pari a 52.2 m/s. La direzione della velocità in direzione orizzontale è sempre costante, ovvero nella direzione dell'asse x positivo (se il moto di un oggetto è descritto nel diagramma sopra).

c) Tempo di volo

La soluzione è simile alla determinazione dell'intervallo di tempo (t) nella discussione del moto verticale verso l'alto.

Conosciuto:

v _oy = 30 m/s (questa è la velocità iniziale del proiettile in direzione verticale)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (quando il proiettile ritorna a terra, lo spostamento del proiettile in direzione verticale è pari a 0 m)

Cercasi: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 secondi

Tempo di volo = 6.12 secondi

d) Distanza orizzontale (d)

La soluzione è simile al calcolo della distanza (d) sul moto lineare uniforme.

Conosciuto:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 secondi

Ricercato: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 secondi) = 319.5 m

e) Velocità al momento dell'impatto del proiettile con il suolo

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Innanzitutto, calcoliamo la velocità finale in direzione verticale (v _ty ). La soluzione consiste nel determinare la velocità finale durante il moto verticale verso l'alto.

Richiesto: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 6.12 secondi

Cercasi: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Un segno negativo indica che la direzione della velocità finale è verso il basso. Si noti che la velocità iniziale in direzione verticale è uguale alla velocità finale in direzione verticale.

La velocità del proiettile quando colpisce il suolo:

Direzione del proiettile:

Poiché v _tx è nella direzione dell'asse x positivo (verso destra) e vty è nella direzione dell'asse y negativo (verso il basso),

La direzione della velocità del proiettile quando colpisce il suolo è di -30° ^rispetto all'asse x positivo (vedi figura sotto).

3. Una palla viene lanciata dal bordo di un edificio alto 50 metri con una velocità iniziale di 10 m/s. Se la palla viene lanciata con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale, determinare:

(a) l'intervallo di tempo in cui la palla raggiunge il suolo

(b) la velocità della palla quando colpisce il terreno

(c) la distanza orizzontale raggiungibile dalla palla è misurata dal bordo dell'edificio

(d) l'altezza massima raggiunta dalla palla

Soluzione:

Innanzitutto, calcoliamo la componente verticale (v _oy ) e la componente orizzontale (v _ox ) della velocità iniziale (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Intervallo di tempo in cui la palla raggiunge il suolo

La soluzione consiste nel determinare l'intervallo di tempo (t) in un moto verticale verso l'alto. Il modulo del vettore diretto verso l'alto viene scelto come positivo, mentre quello del vettore diretto verso il basso viene scelto come negativo. La posizione della palla al momento del lancio viene scelta come punto di riferimento. h è negativo perché la superficie del terreno si trova al di sotto del punto di riferimento, g è negativo perché la direzione dell'accelerazione di gravità è verso il basso.

Conosciuto:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

Cercasi: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Utilizzare la formula quadratica:

Tempo di volo = intervallo di tempo trascorso dal momento in cui la palla è stata lanciata fino a quando ha raggiunto il suolo = 1.64 secondi.

b) Velocità della palla quando colpisce la superficie del terreno

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Innanzitutto, calcoliamo la velocità finale in direzione verticale (v _ty ). La soluzione è simile alla determinazione della velocità finale nel moto verticale verso l'alto.

Dati noti: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 1.64 secondi

Cercasi: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Il segno negativo indica che la direzione della velocità finale è verso il basso.

La velocità del proiettile quando colpisce il suolo:

La direzione della velocità del proiettile è uguale alla direzione del moto del proiettile quando colpisce il suolo:

La velocità del proiettile quando colpisce il suolo:

Poiché vtx è nella direzione dell'asse x positivo (verso destra) e vty è nella direzione dell'asse y negativo (verso il basso),

La direzione del proiettile quando colpisce il suolo è di -52° rispetto all'asse x positivo (vedi figura sotto).

c) La distanza orizzontale raggiungibile dalla palla viene misurata dal bordo dell'edificio.

La soluzione è simile al calcolo della distanza percorsa (d) nel moto rettilineo uniforme.

Dati noti: t = 1.64 secondi, v _x = 8.7 m/s

Ricercato: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) L'altezza massima raggiunta dalla palla

Dati noti: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( componente verticale della velocità all'altezza massima = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

Ricercato: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 metri

L'altezza massima raggiunta dalla palla = 1.3 metri sopra la cima dell'edificio = 1.3 m + 50 m = 51.3 metri sopra la superficie del terreno.