Articolo sul principio di Bernoulli e sull'equazione di Bernoulli.
Quando andiamo in moto, i vestiti che indossiamo si gonfiano all'indietro. A volte, se soffia forte il vento, la porta può chiudersi da sola. Anche se il vento soffia fuori casa, mentre la porta è dentro casa.
Questo fenomeno può essere spiegato utilizzando il principio di Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) scoprì un principio che poteva essere utilizzato per spiegare il fenomeno sopra descritto.
Il principio di Bernoulli
Il principio di Bernoulli afferma che dove la velocità del flusso di un fluido è elevata, la pressione del fluido è bassa. Viceversa, se la velocità del flusso di un fluido è bassa, la pressione del fluido è alta. Quando una motocicletta si muove velocemente, la velocità dell'aria sulla parte anteriore e laterale del corpo è elevata. Di conseguenza, la pressione dell'aria diminuisce. La parte posteriore del corpo è ostacolata dalla parte anteriore, quindi la velocità dell'aria nella parte posteriore del corpo non aumenta. Di conseguenza, la pressione dell'aria nella parte posteriore del corpo aumenta. Poiché c'è una differenza di pressione dell'aria, dove la pressione dell'aria è maggiore rispetto a quella nella parte posteriore del corpo, l'aria spinge indietro la maglietta, facendola apparire gonfia all'indietro.
E che dire della porta di casa che si chiude da sola quando soffia il vento fuori? L'aria fuori casa si muove più velocemente dell'aria dentro casa. Di conseguenza, la pressione dell'aria esterna è inferiore alla pressione dell'aria interna. Poiché c'è una differenza di pressione, dove la pressione dell'aria è maggiore all'interno della casa, la porta viene spinta verso l'esterno. In altre parole, l'anta della porta si sposta da un punto in cui la pressione dell'aria è maggiore verso un punto in cui la pressione dell'aria è minore.
L'equazione di Bernoulli
In precedenza, abbiamo appreso il principio di Bernoulli. Bernoulli ha anche sviluppato il principio in termini quantitativi. Per derivare l'equazione di Bernoulli, si assume che il flusso del fluido sia stazionario e laminare, non compresso e che la viscosità sia minima, quindi trascurabile.
Nella discussione sull'equazione di continuità, abbiamo appreso che la portata del fluido può variare anche in funzione dell'area di passaggio del fluido nel tubo. In base al principio di Bernoulli descritto in precedenza, anche la pressione del fluido può variare in funzione della portata. La pressione del fluido può inoltre variare in funzione dell'altezza del fluido. La relazione tra pressione, portata e altezza del flusso può essere ricavata dall'equazione di Bernoulli.
L'equazione di Bernoulli è fondamentale perché può essere utilizzata per analizzare il volo degli aerei, le centrali idroelettriche, i sistemi di tubazioni, ecc. Per derivare l'equazione di Bernoulli in generale, si assume che il fluido scorra attraverso un tubo di flusso con un'area della sezione trasversale e un'altezza variabili. Per derivare l'equazione di Bernoulli, si applicano i teoremi del lavoro e dell'energia al fluido all'interno del tubo.
Nella figura sottostante, il colore opaco nel tubo di flusso indica la presenza di fluido, mentre il colore bianco indica l'assenza di fluido.
Il fluido nella sezione trasversale 1 (lato sinistro) scorre fino a L1 e costringe il fluido nella sezione 2 (lato destro) a spostarsi fino a L2 . Poiché la sezione trasversale 2 a destra è più piccola, la velocità del flusso di fluido sul lato destro del tubo di flusso è maggiore (ricorda l'equazione di continuità). Ciò causa una differenza di pressione tra la sezione 2 (lato destro del tubo di flusso) e la sezione 1 (lato sinistro del tubo di flusso) – ricorda il principio di Bernoulli. Il fluido che si trova a sinistra della sezione 1 esercita una pressione (P1 ) sul fluido a destra e compie lavoro:
Quindi l' equazione W1 può essere scritta come:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Nella sezione 2 (il lato destro del tubo di flusso), il lavoro compiuto sul fluido è:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Un segno negativo indica che la forza applicata è opposta alla direzione del moto. Quindi, il fluido compie lavoro a destra della sezione trasversale 2. Inoltre, la forza gravitazionale compie lavoro sul fluido. Nel caso sopra descritto, alcune masse di fluido vengono trasferite dalla sezione 1 fino a L 1 alla sezione 2 fino a L 2 , dove è il volume di fluido nella sezione 1 (A 1 L 1 ) = volume di fluido nella sezione 2 (A 2 L 2 ). Il lavoro compiuto dalla gravità è:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Il segno negativo è causato dal fluido che scorre verso l'alto, in contrasto con la direzione della gravità. Pertanto, il lavoro netto compiuto sul fluido è:
W = W 1 + W 2 + W 3
L = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Il teorema lavoro-energia afferma che il lavoro netto compiuto su un sistema è uguale alla variazione dell'energia cinetica. Pertanto, possiamo sostituire il lavoro (W) con la variazione dell'energia cinetica (EK 2 – EK 1 ).
L'equazione precedente può essere riscritta come segue:
L = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mv22 – 1⁄2 mv12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
La massa fluida che scorre fino a L1 nella sezione trasversale A1 = la massa di fluido che scorre fino a L2 (sezione trasversale A)2). La massa del fluido, diciamo m, ha un volume di A1 L1 e A2 L2 dove un1 L1 = A2 L2 (L2 è più lungo di L1).
Ora sostituiamo m nell'equazione precedente con m = ρ AL:
Questa è l'equazione di Bernoulli. L'equazione di Bernoulli è derivata dal principio lavoro-energia, quindi è una forma di conservazione dell'energia.
P = pressione, ρ = densità, v = velocità del fluido, g = accelerazione di gravità, h = altezza del tubo dal suolo.
I segmenti sinistro e destro dell'equazione di Bernoulli sopra riportata possono riferirsi a due punti qualsiasi lungo il tubo di flusso, quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:
Ora esaminiamo l'equazione di Bernoulli per alcuni casi.
Equazione di Bernoulli nei fluidi statici
Il caso particolare dell'equazione di Bernoulli riguarda il fluido statico, in cui il fluido non ha velocità. Pertanto, v₁ = v₂ = 0. Nel caso di un fluido statico, possiamo formulare l'equazione di Bernoulli come segue:
Se h 2 – h 1 = h, questa equazione può essere scritta come:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Equazione di Bernoulli sulla stessa tubazione di altezza
Se l'altezza del tubo è la stessa, l'equazione di Bernoulli si modifica in:
