Moltiplicazione a punti utilizzando componenti vettoriali unitarie
Possiamo calcolare direttamente il prodotto scalare se conosciamo le componenti x, y e z dei vettori A e B (i vettori noti).
Per eseguire un prodotto scalare in questo modo, si esegue prima il prodotto scalare dei vettori unitari, dopodiché si esprimono i vettori A e B nelle loro componenti, si scompone il prodotto e si utilizza il prodotto dei vettori unitari.
I vettori unitari i , j e k sono perpendicolari tra loro, il che semplifica i calcoli. Utilizzando l'equazione di moltiplicazione scalare derivata sopra ( AB = AB cos theta ), otteniamo:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Ora esprimiamo i vettori A e B in termini delle loro componenti, scomponiamo il loro prodotto e utilizziamo il prodotto di vettori unitari.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
perché i . i = j . j = k . k = 1 e i . j = i . k = j . k = 0, quindi:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
In base ai risultati di questo calcolo, si può concludere che il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti delle loro componenti simili.
Esempio di domanda 1:
Vettore grande A Dan B rispettivamente sono 5 e 4, come mostrato nell'immagine sottostante. L'angolo formato è di 90°.oContalo prodotto a punti entrambi i vettori.
Discussione
Prima di calcolare il prodotto scalare dei vettori A e B, dobbiamo innanzitutto conoscere le componenti del secondo vettore.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Il vettore A ha componenti vettoriali solo sull'asse x e il vettore B ha componenti vettoriali solo sull'asse y. La componente z è zero perché i vettori A e B giacciono sul piano xy.
Ora calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori A e B utilizzando l'equazione del prodotto scalare con vettori componenti:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Confrontiamolo con il primo metodo
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Il risultato è lo stesso.
Esempio di domanda 2:
Vettore grande A Dan B sono rispettivamente 5 e 4, come mostrato nell'immagine sottostante. Calcola prodotto a punti entrambi i vettori, se l'angolo formato è 30o
Discussione
Prima di calcolare il prodotto scalare dei vettori A e B, dobbiamo innanzitutto conoscere le componenti del secondo vettore.
La componente z è zero perché i vettori A e B giacciono sul piano xy.
Ora calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori A e B utilizzando l'equazione del prodotto scalare con vettori componenti:
Confronta con il primo metodo.
