Frjálst fall hreyfing

Grein um frjálsa fallhreyfinguna

Í daglegu lífi sjáum við oft hluti sem falla í frjálsu falli, til dæmis hreyfingu ávaxta sem detta af tré, hreyfingu hluta sem falla eða eru látnir detta úr ákveðinni hæð. Hvers vegna falla hlutir í frjálsu falli? Ef við skoðum það í fljótu bragði upplifir hluturinn frjálst fall eins og hann hafi fastan hraða, eða með öðrum orðum, hluturinn fær ekki hraða. Sú staðreynd að allir hlutir sem falla frjálst upplifir stöðuga hröðun. Þessi ástæða veldur hreyfingu í frjálsu falli, þar á meðal dæmið um ójafna línulega hreyfingu. Hvernig á að sanna að hlutir sem falla í frjálsu falli upplifi stöðuga hröðun eða að hraði þeirra aukist?

Stingdu tveimur naglum í jörðina og slepptu steini úr mismunandi hæð á hvorn nagla. Þú munt sjá að naglarnir sem eru ofar steinum festir eru dýpra en hinir naglarnir. Því hærra sem steinninn er frá yfirborði jarðar, því meiri verður hraði steinsins þegar hann lendir á jörðinni, þannig að hann þrýstir naglanum dýpra.

Áður fyrr var hreyfing hluta sem féllu til jarðar mjög áhugavert efni í náttúruspeki. Aristóteles, heimspekingur, sagði eitt sinn að hlutir með stærri massa féllu hraðar en léttari hlutir. Skoðanir Aristótelesar höfðu áhrif á skoðanir fólks sem lifði fyrir tíma Galíleós, sem töldu að hlutir með stærri massa féllu hraðar en léttari hlutir og að hraði fallandi hluta væri í réttu hlutfalli við massa hlutarins. Kannski hugsar þú líka þannig áður en þú lærðir þetta efni. Til dæmis sleppum við pappírsblaði og steini úr sömu hæð. Niðurstöðurnar sem við sáum bentu til þess að steinninn snerti fyrst jörðina eða gólfið en pappírinn. Nú skulum við sleppa tveimur steinum úr sömu hæð, þar sem annar steinninn er stærri en hinn. Steinarnir tveir snertu yfirborð jarðar á sama tíma, samanborið við steininn og pappírinn sem við slepptum fyrr. Við getum líka gert tilraunir með að sleppa steinum og pappír í formi klumpa.

Hvað hefur áhrif á hreyfingu fallandi steina eða pappírs? Loftnúningskraftur! Loftmótstaða eða núningur hefur mikil áhrif á hreyfingu í frjálsu falli. Galileo setti fram þá tilgátu að allir hlutir myndu falla með sömu hröðun ef ekkert loft eða aðrar hindranir væru til staðar. Galileo fullyrti að allir hlutir, þungir sem léttir, féllu með sömu hröðun, að minnsta kosti ef ekkert loft væri til staðar. Galileo taldi að loft virkaði sem hindrun fyrir mjög léttum hlutum sem hafa stórt yfirborð. En í mörgum tilfellum er hægt að hunsa þessa loftmótstöðu. Í herbergi þar sem loftið hefur verið sogað inn (lofttæmi) munu léttir hlutir eins og pappírsblað sem haldið er lárétt falla með sömu hröðun og aðrir hlutir. Framlag Galileos til skilnings okkar á hreyfingu fallandi hluta má draga saman á eftirfarandi hátt:

Á ákveðnum stað á jörðinni og án loftmótstöðu falla allir hlutir með sömu föstu hröðuninni. Við köllum þessa hröðun sem orsakast af þyngdarafli og gefum henni táknið g. Stærð g er um það bil 9.8 m/s² ^. Í ensku einingakerfinu er stærð g um það bil 32 ft/s² ^. Þyngdarhröðunin beinist að miðju jarðar.

Skilgreining á frjálsu falli

Hlutur er sagður falla frjálst ef hann hreyfist hornrétt á miðju jarðar og á hreyfingu sinni upplifir hann fasta þyngdarhröðun. Ef frjálst fall er nálægt yfirborði jarðar upplifir hluturinn fasta þyngdarhröðun upp á 9.8 m/s²^.

og stefna þyngdarhröðunarinnar í átt að miðju jarðar (hornrétt á yfirborð jarðar). Til að einfalda útreikningana er g 10 m/ ^s².

Það eru þrjár mismunandi aðstæður:

1. Hlutir hreyfast lóðrétt niður án upphafshraða (engin v _o ). Til dæmis fellur ávöxturinn af trénu eftir að hafa losnað af stilknum. Hreyfingaráttin er alltaf niður á við og hluturinn upplifir hröðun þannig að g er alltaf jákvætt. Í ákveðnum eðlisfræðibókum kallast þetta frjálst fall hreyfing.

2. Hluturinn hreyfist lóðrétt niður með upphafshraðanum (það er v _o ). Til dæmis steinn sem kastað er lóðrétt niður. Hreyfingaráttin er alltaf niður á við og hluturinn upplifir hröðun þannig að g er alltaf jákvætt. Í sumum eðlisfræðibókum er þetta kallað lóðrétt niður á við.

3. Hluturinn hreyfist lóðrétt upp á við með upphafshraða, eftir að hafa náð hámarkshæð færist hluturinn aftur niður á við. Segjum sem svo að þú kastir lóðréttum kúlum upp og grípir þær aftur þegar kúlurnar færast niður. Þegar hlutirnir hreyfast upp á við verða þeir fyrir hraðaminnkun (neikvætt g), en þegar þeir hreyfast lóðrétt niður hraðar hluturinn sér (jákvætt g). Í sumum eðlisfræðibókum er það kallað lóðrétt upp á við hreyfingu. Það skal tekið fram að ef hlutur lendir í einni af þremur skilyrðunum hér að ofan er sagt að hann falli í frjálsu falli.

Jafna frjálsrar fallhreyfingar

Frjálst fall er dæmi um ójafna línulega hreyfingu, þess vegna er jafna frjálsu fallsins í grundvallaratriðum sú sama og jafna ójafna línulegu hreyfingarinnar og aðlöguð að aðstæðunum í frjálsu fallinu.

h = hæð (metrar), v _o = upphafshraði (metrar/sekúndu), v _t = lokahraði (metrar/sekúndu), t = tími (sekúnda), g = þyngdarhröðun (metrar/sekúndu) = 9.8 m/s² ^eða 10 m/ ^s².

Þyngdarhröðunin er stöðug við 10 m/s² ⁽ g jákvætt, hluturinn hreyfist niður á við) þýðir að hraði hlutarins eykst um 10 m/s á sekúndu fresti. 2 sekúndum síðar eykst hraði hlutarins um 20 m/s. 3 sekúndum síðar eykst hraði hlutarins um 30 m/s. Stöðug þyngdarhraðaminnkun er 10 m/s² ⁽ g neikvætt, hluturinn hreyfist upp á við) þýðir að hraði hlutarins minnkar um 10 m/s á sekúndu fresti. 2 sekúndum síðar minnkar hraði hlutarins um 20 m/s. 3 sekúndum síðar minnkar hraði hlutarins um 30 m/s. Stöðug hröðun eða stöðug hraðaminnkun á sér aðeins stað nálægt yfirborði jarðar.

Dæmi um vandamál 1:

Mangó losnar og fellur til jarðar. Ef upphafsstaðsetningin er 10 metra frá yfirborði jarðar og massi mangósins er 5 grömm, ákvarðaðu:

(a) hraði mangósins þegar það lendir á jörðinni

(b) tíminn sem það tekur mangóinn að ná til jarðar.

g = 9.8 m/ ^s²

lausn:

Þekkt: klst = 10 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Hraði manga þegar það lendir á jörðinni

Massi er reiknaður út með jöfnu frjálsfallshreyfingarinnar

b) Tímabil í lofti

Dæmi um vandamál 2:

Hlutur er látinn falla úr ákveðinni hæð. Ákvarðið:

(a) stærð hröðunarinnar á hlutnum

(b) vegalengdin sem hluturinn ferðaðist fyrstu 2 sekúndurnar

(c) hraði hlutarins eftir að hafa fallið 50 metra

(d) hversu langan tíma það tekur hlutinn að ná 20 m/s hraða,

(e) hversu langan tíma það tekur hlutinn að falla allt að 100 metra

lausn:

Þekkt: g = 9.8 m/ ^s²

a) Stærð hröðunar hlutarins

Hröðun hlutarins = þyngdarhröðun = g = 9.8 m/ ^s²

b) Fjarlægðin sem hluturinn ferðaðist fyrstu 2 sekúndurnar

Þekkt: g = 9.8 m/s² ^, t = 2 s

Óskað eftir: kl.

h = 1⁄2 ^gt² = 1⁄2 (9.8)(2) ^² = (4.9)(4) = 19.6 metrar

c) Hraði hlutarins eftir að hafa fallið allt að 50 metra

Þekkt: klst = 50 m, g = 9,8 m/ ^s²

Óskað eftir: v _t

d) Hversu langan tíma tekur það fyrir hluti að ná hraða upp á 20 m/s

Þekkt: v _t = 20 m/s, g = 9,8 m/ ^s²

Óskað eftir: t

e) Tímabilið sem það tekur hluti að falla allt að 100 metra

Óskað er eftir: klst = 100 m, g = 9,8 m/ ^s²

Lausn: t

Dæmi um vandamál 3:

Steini er kastað í brunn með upphafshraða upp á 5 m/s. Ef steinninn fellur í vatn eftir 4 sekúndur, ákvarðaðu þá:

(a) hraði steinsins þegar hann kemur í vatn

(b) dýpt brunnsins

lausn:

a) Hraði steins þegar hann kemur í vatn

Þekkt:

v _o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ ^s²

Óskað eftir: v _t

vt = v _{o +} g t

v _t = 5 m/s + (9.8 m/s² ⁾ (4 s) = 5 m/s + 39.2 m/s

vt = 44.2 m/ _s

b) Brunndýpt

Þekkt:

v _o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ ^s²

Óskað eftir: kl.

h = v _o t + ½ ^gt²

h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) ^²

h = 20 + (4.9)(16)

klst. = 20 + 78.4

h = 98.4 metrar

Dæmi um vandamál 4:

Pakki kastast lóðrétt niður á við með hraðanum 10 m/s frá byggingunni, allt að 50 metra hæð. Ákvarðið:

(a) Tíminn í loftinu

(b) Hraði pakkans þegar hann lendir á jörðinni

lausn:

a) Tíminn í lofti

Þekkt:

^{klst = 50 m, g = 9.8 m /} s² , v _o = 10 m/s

Óskað eftir: t

h = v _o t + ½ ^gt²

50 = 10 t + ½ (9.8) ^t²

50 = 10 t + 4.9 ^t²

4.9 t² ⁺ 10 t – 50 = 0

Notaðu annars stigs formúlu:

Tími í lofti = 2.3 sekúndur

b) Hraði pakkans þegar hann lendir á jörðinni

Þekkt:

^{klst = 50 m, g = 9.8 m /} s² , v _o = 10 m/s

Óskað eftir: v _t

Dæmi um vandamál 5:

Kúla er kastað lóðrétt upp á við með upphafshraða 20 m/s. Ákvarðið hámarkshæðina sem kúlan nær.

lausn:

Stærð vigursins sem stefnir upp á við er jákvæð, stærð vigursins sem stefnir niður á við er neikvæð. Upphafsstaða kúlunnar er valin sem viðmiðunarpunktur.

Þekkt:

v _o = 20 m/s (upphafshraðastefnan er upp á við, boltinn kastast upp á við, þannig að v _o er jákvætt)

v _t = 0 m/s (hraði kúlunnar í hámarkshæð er 0 m/s)

g = – 9.8 m/s² ⁽ stefna þyngdarhröðunarinnar er niður á við, þannig að g er neikvætt)

Óskað eftir: kl.

Dæmi um vandamál 6:

Marmari er kastað lóðrétt upp frá þaki byggingar í 100 metra hæð yfir jörðu með upphafshraða upp á 20 m/s. Ákvarðið:

(a) Tími í lofti

(b) hraði marmara þegar hann lendir á jörðinni

lausn:

Staðsetningin þar sem marmarinn er kastað er viðmiðunarpunktur; efst á byggingunni er viðmiðunarpunktur. Stærð vigursins sem vísar upp á við er jákvæð, stærð vigursins sem vísar niður á við er neikvæð.

a) Tími í lofti

Þekkt:

h = – 100 m (h er neikvætt vegna þess að yfirborð jarðar er fyrir neðan upphafsstöðu eða viðmiðunarpunkt)

v _o = 20 m/s (upphafshraðastefnan er upp á við, þannig að v _o er jákvætt)

g = – 9.8 m/s² ⁽ stefna þyngdarhröðunarinnar er niður á við, þannig að g er neikvætt)

Óskað eftir: t

Notaðu annars stigs formúluna:

Tíminn sem það tók að ná til jarðar frá því að

boltinn er kastaður = 7 sekúndur.

b) Hraði marmara þegar hann lendir á yfirborði jarðar

Þekkt:

h = -100 m (neikvætt vegna þess að yfirborð jarðar er fyrir neðan viðmiðunarpunkt eða upphafsstöðu)

v _o = 20 m/s (upphafshraðastefnan er upp á við, þannig að v _o er jákvætt)

g = -9.8 m/s² ⁽ þyngdarhröðunin er niður á við, þannig að g er neikvætt).

Óskað eftir: v _t

Hugmyndalegar spurningar og svör um frjálst fall

1. Hvað er frjáls fallhreyfing?

   Frjálst fall er hreyfing hlutar eingöngu undir áhrifum þyngdaraflsins, án þess að aðrir kraftar, eins og loftmótstaða, verki á hann.

2. Hver er hröðunin vegna þyngdaraflsins?

   Þyngdarhröðun er sú hröðun sem hlutur upplifir þegar hann fellur frjálslega nálægt yfirborði jarðar. Hún er venjulega táknuð sem 'g' og hefur um það bil 9.8 m/s² gildi.

3. Hver er formúlan fyrir tilfærslu í frjálsu falli, miðað við upphafshraða og tíma?

   Formúlan er h = ut + ½gt², þar sem h er tilfærsla (hæð), u er upphafshraði, g er þyngdarhröðun og t er tími.

4. Hvernig breytist hraði hlutar við frjálst fall?

   Í frjálsu falli eykst hraði hlutar línulega með tímanum vegna stöðugrar þyngdarhröðunar.

5. Hver er formúlan fyrir lokahraða í frjálsu falli, miðað við upphafshraði og tíma?

   Formúlan er v = u + gt, þar sem v er lokahraðinn, u er upphafshraðinn og g er þyngdarhröðunin.

6. Hvað gerist við hraða hlutar á hámarki brautar hans í frjálsu falli?

   Þegar braut hlutarins er á hámarki verður hraði hans núll í augnablik.

7. Hvað táknar neikvætt form í samhengi við frjálst fall?

   Neikvætt tákn gefur venjulega til kynna stefnu sem er gagnstæð þeirri jákvæðu stefnu sem valin er. Það getur, eftir samhenginu, gefið til kynna að falla niður (ef upp er jákvætt) eða kastast niður (ef upp er neikvætt).

8. Hvað gerist við hröðun hlutar í frjálsu falli þegar hann nær hámarkshæð sinni?

   Hröðun hlutar í mestu hæð sinni í frjálsu falli er jöfn g (u.þ.b. -9.8 m/s² nálægt yfirborði jarðar) og bendir niður á við.

9. Hvernig hefur loftmótstaða áhrif á hreyfingu í frjálsu falli?

   Í raun getur loftmótstaða hægt verulega á falli hlutar, sem gerir það að verkum að hreyfingin er ekki lengur frjálst fall. Hins vegar er loftmótstaðan hunsuð í mörgum eðlisfræðidæmum til einföldunar.

10. Hver er flugtíminn í frjálsu falli?

Flugtíminn er heildartíminn sem hluturinn eyðir í loftinu. Fyrir hlut sem er skotinn á loft og lendir í sömu hæð er hægt að finna flugtímann með formúlunni t = 2u/g.

Vandamál og lausnir varðandi frjálst fall

1. Vandamál: Steinn er látinn falla af kletti sem er 78.4 metra hár. Hversu langan tíma tekur það steininn að ná til jarðar? lausn: Við notum jöfnuna h = ½gt². Við leysum tímann, t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
2. Vandamál: Kúla er kastað upp á við með upphafshraðanum 19.6 m/s. Hversu hátt fer kúlan? lausn: Með því að nota jöfnuna h = v₀t – ½gt² í hámarkshæð (þar sem lokahraðinn er 0), þá er hæðin h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 m.
3. Vandamál: Steini er kastað upp á við með upphafshraða 10 m/s. Hver verður hraði hans eftir 2 sekúndur? lausn: Jafnan v = v₀ – gt gefur hraðann v = 10 – 9.8×2 = -9.6 m/s.
4. Vandamál: Mynt er sleppt ofan í brunn og lendir í vatninu eftir 3 sekúndur. Hversu djúpur er brunnurinn? lausn: Með því að nota h = ½gt² er dýptin h = ½x9.8×3² = 44.1 m.
5. Vandamál: Bók dettur af borði og lendir á jörðinni eftir 0.5 sekúndur. Hversu hátt var borðið? lausn: Með því að nota h = ½gt² er hæðin h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 m.
6. Vandamál: Kúla er kastað upp á við með upphafshraða 20 m/s. Hvenær nær hún hámarkshæð sinni? lausn: Í hámarkshæð er v = 0. Með því að leysa t = (v – v₀) / -g er tíminn t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 sekúndur.
7. Vandamál: Hlutur fellur í 6 sekúndur. Hver er lokahraði hans? lausn: Með því að nota v = v₀ + gt og upphafshraða v₀ = 0, þá er lokahraðinn v = 0 + 9.8 × 6 = 58.8 m/s.
8. Vandamál: Epli fellur af tré og tekur 1.5 sekúndur að lenda á jörðinni. Hver var hæð trésins? lausn: Með því að nota h = ½gt² er hæðin h = ½x9.8x(1.5)² = 11 m.
9. Vandamál: Knattspyrnubolti er sparkað lóðrétt upp á við með upphafshraða 25 m/s. Hversu langan tíma tekur það að boltinn lendi á jörðinni? lausn: Tími að hámarkshæð t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 s. Heildartíminn sem það tekur að lenda á jörðinni er tvöfalt meiri, þannig að t = 2×2.55 = 5.1 s.
10. Vandamál: Steinn fellur af brú og lendir í vatninu eftir 4 sekúndur. Hversu há er brúin? lausn: Ef h = ½gt² er hæðin h = ½x9.8×4² = 78.4 m.
11. Vandamál: Eldflaug er skotið beint upp á 50 m/s. Hversu hátt fer hún? lausn: Með því að nota h = v₀² / (2g) er hæðin h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 m.
12. Vandamál: Kúla er kastað niður á við með upphafshraða 10 m/s. Hver er hraði hennar eftir 2 sekúndur? lausn: Með því að nota v = v₀ + gt er hraðinn v = 10 + 9.8 × 2 = 29.6 m/s.
13. Vandamál: Kúla er kastað lóðrétt upp á við og fellur aftur til jarðar á 6 sekúndum. Hver var upphafshraði hennar? lausn: Með því að nota v₀ = gt / 2 (þar sem heildartíminn er tvöfaldur tíminn sem það tekur að ná hámarkshæð), þá er upphafshraðinn v₀ = 9.8 × 6 / 2 = 29.4 m/s.
14. Vandamál: Hlutur fellur í 10 sekúndur. Hversu langt fellur hann? lausn: Ef h = ½gt² er fjarlægðin h = ½x9.8×10² = 490 m.
15. Vandamál: Marmari er sleppt úr turni og það tekur 5 sekúndur fyrir hann að lenda á jörðinni. Hversu hár er turninn? lausn: Ef h = ½gt² er hæðin h = ½x9.8×5² = 122.5 m.
16. Vandamál: Hafnabolti er kastað lóðrétt upp á við með upphafshraða 15 m/s. Hvenær nær hann hámarkshæð sinni? lausn: Í hámarkshæð er v = 0. Með því að leysa t = (v – v₀) / -g er tíminn t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 sekúndur.
17. Vandamál: Hlutur fellur niður í 7 sekúndur. Hver er lokahraði hans? lausn: Með því að nota v = v₀ + gt og upphafshraða v₀ = 0, þá er lokahraðinn v = 0 + 9.8 × 7 = 68.6 m/s.
18. Vandamál: Steinn er kastað upp á við með upphafshraða 30 m/s. Hver verður hraði hans eftir 3 sekúndur? lausn: Með því að nota v = v₀ – gt er hraðinn v = 30 – 9.8×3 = 0.6 m/s.
19. Vandamál: Steinn fellur af kletti og lendir á jörðinni eftir 8 sekúndur. Hversu hár er klettaveggurinn? lausn: Ef h = ½gt² er hæðin h = ½x9.8×8² = 313.6 m.

20. Vandamál: Ör er skotin beint upp á 60 m/s. Hversu langan tíma tekur það að skjóta örinni? Lausn: Tími að hámarkshæð t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 s. Heildartíminn sem það tekur að skjóta örinni er tvöfalt meiri, þannig að t = 2×6.12 = 12.24 s.