Vigur í eðlisfræði: Hugtök og notkun
Vigur eru mikilvægt stærðfræðilegt hugtak í eðlisfræði. Ólíkt skalörum, sem aðeins hafa stærð (eða gildi), hafa vigur bæði stærð og stefnu. Ítarlegur skilningur á vigurum og notkun þeirra í eðlisfræði getur hjálpað okkur að útskýra náttúrufyrirbæri nákvæmar og á innsæisríkari hátt.
Að skilja vektora
Einfaldlega sagt er vigur stærðfræðileg eining sem er táknuð með ör sem gefur til kynna stefnu og hefur ákveðna lengd sem táknar stærð hennar. Þessi lengd er oft kölluð „stærð“ eða vigurstærð.
Til að skilja þetta hugtak betur skaltu íhuga að ganga frá punkti A til punkts B. Fjarlægðin milli þessara tveggja punkta er skalarstærð, en ferðaáttin frá A til B kynnir hugtakið vigur. Lokastaða þín miðað við upphafspunktinn fer ekki aðeins eftir því hversu langt þú gengur heldur einnig eftir því í hvaða átt þú gengur.
Vigurframsetning
Í stærðfræðilegri táknfræði eru vigur venjulega skrifaðir með feitletraðri leturgerð eins og v, eða sem stafir með ör fyrir ofan þá eins og \( \vec{v} \). Tvívíddarvigur er hægt að tákna sem röðuð pör \( (v_x, v_y) \), þar sem \( v_x \) og \( v_y \) eru hlutar vigursins í x- og y-átt.
Fyrir þrívíddarvigur verður framsetningin \( (v_x, v_y, v_z) \). Þessir þættir eru venjulega fundnir með vörpun upphafsvigursins á x-, y- og z-ásana og hægt er að sýna þá með kartesísku hnitakerfi.
Aðgerðir á vigurum
Vigur viðbót og frádráttur
Vigursamlagning er gerð með því að leggja saman hluta þeirra. Til dæmis, ef \(\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) og \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), þá er vigursumman \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\):
\[
\vec{w} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)
\]
Vigurfrádráttur er gerður á sama hátt, þ.e. með því að draga frá íhluti hans. Þannig að \(\vec{w} = \vec{u} – \vec{v}\) er:
\[
\vec{w} = (u_x – v_x, u_y – v_y, u_z – v_z)
\]
Margföldun vigra með skalörum
Margföldun vigurs með skalar \(k\) er gerð með því að margfalda hvern þátt vigursins með þeim skalar. Til dæmis, ef \(k\) er skalar og \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), þá er niðurstaðan af margföldun vigurs með skalar:
\[
k \cdot \vec{v} = (k v_x, k v_y, k v_z)
\]
Vigurmargföldun (punktmargfeldi og krossmargfeldi)
Það eru tvær megingerðir af vigurmargföldun, þ.e. punktmargföldun og víxlmargföldun.
Punktmargfeldið er aðgerð sem framleiðir skalarmargfeldi. Til dæmis, fyrir vigrana \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\):
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z
\]
Þessi aðgerð er notuð í ýmsum forritum, þar á meðal til að ákvarða vörpun eins vigurs á annan.
Víxlafurð er aðgerð sem framleiðir nýjan vigur sem er hornréttur á báða upprunalegu vigrana. Til dæmis, fyrir vigrana \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\):
\[
\vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z – u_z v_y, u_z v_x – u_x v_z, u_x v_y – u_y v_x)
\]
Krossafurðir eru mikið notaðar í eðlisfræði, sérstaklega í tilvikum þar sem um snúninga og kraftmóment er að ræða.
Notkun vigra í eðlisfræði
Næsta skref er að skoða hvernig þessum hugtökum er beitt í eðlisfræði.
Hreyfifræði
Í hreyfifræði er hægt að tákna stöðu, hraða og hröðun sem vigra. Staðsetningu hlutar í punktinum t er hægt að tákna sem stöðuvigurinn r(t). Hraði, sem er breytingahraði stöðu með tilliti til tíma, er fyrsta afleiða stöðu með tilliti til tíma:
\[
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
\]
Hröðun, sem er breytingahraði hraða með tilliti til tíma, er fyrsta afleiða hraðans eða önnur afleiða stöðunnar:
\[
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}
\]
Dynamics
Í hreyfifræði er notkun vigra grundvallaratriði. Annað lögmál Newtons segir til dæmis að krafturinn sem verkar á hlut sé margfeldi massa hans \(m\) og hröðunar \( \vec{a} \):
\[
F = m a
\]
Í þessu tilviki eru bæði krafturinn \(\vec{F}\) og hröðunin \(\vec{a}\) vigur. Þetta þýðir að greining krafna á hlut verður að taka tillit til vigureðlis þessara krafta.
Rafmagns- og segulsvið
Í rafsegulfræði eru rafsviðið \(\vec{E}\) og segulsviðið \(\vec{B}\) einnig vigrar. Styrkur og stefna rafsviðsins á hvaða punkti sem er í geimnum eru ákvörðuð af rafsviðsvigrinum \(\vec{E}\), en segulsviðið \(\vec{B}\) lýsir því hvernig segulsviðið hefur áhrif á nærliggjandi rými. Þau hafa áhrif á hlaðnar agnir á þann hátt sem hægt er að spá fyrir um með eðlisfræðilögmálum sem nota vigra.
Vökvafræði
Í vökvamekaník eru vigur notaðir til að lýsa hraða og hvirfilhreyfingum vökva. Vökvahraðinn \(\vec{v}(\vec{r}, t)\) í stöðu \(\vec{r}\) og tíma \(t\) er vigur. Vökvamekaník er mjög flókin og byggir oft á Navier-Stokes jöfnum, sem eru vigurhlutajöfnur fyrir mismunadreifingu.
Ljósfræði og bylgjur
Í bylgjufræði, sérstaklega í rafsegulrásum, er hægt að tákna raf- og segulsviðin sem stjórna útbreiðslu bylgna sem vigra. Fyrirbæri eins og skautun ljóss fela í sér vigurgreiningu á rafsviðinu þar sem stefna rafsviðsins ákvarðar skautunina.
Afstæðiskenningin
Í afstæðiskenningunni er hugtakið vigur útvíkkað til að innihalda hugtakið „fjórvigur“, sem nær yfir bæði tímavíddina og þrjár rúmvíddir. Dæmi um fjórvigur er „fjórir skriðþungar“, sem sameinar orku og skriðþunga í eina vigurheild.
Niðurstaða
Vigur eru eitt mikilvægasta grundvallarhugtak stærðfræðinnar í eðlisfræði. Þeir bjóða upp á innsæisríkari og nákvæmari leið til að líkja eftir náttúrufyrirbærum, sérstaklega þegar stefna er mikilvægur þáttur. Frá hreyfifræði til afstæðiskenningarinnar auðveldar notkun vigra að skilja, greina og spá fyrir um fjölbreytt úrval eðlisfræðilegra fyrirbæra. Þess vegna er það mikilvægt skref fyrir alla sem hafa áhuga á að læra eðlisfræði að ná tökum á hugtakinu vigur.
