Venjulegar mismunadreifingarjöfnur
Pengantar
Venjulegar deildarjöfnur (e. ordinary differential equations, ODEs) eru grein stærðfræðinnar sem rannsakar tengslin milli falla og afleiðna þeirra. Þetta hugtak er grundvallaratriði í vísindum og verkfræði, þar sem hægt er að líkja eftir mörgum náttúrulegum og manngerðum fyrirbærum með ODEs.
Áður en við köfum ofan í þetta skulum við byrja á nokkrum grunnskilgreiningum. Landsframleiðsla er stærðfræðileg jafna sem tengir fall við afleiður þess. Einfalt dæmi um landsframleiðslu er:
\[ \frac{dy}{dx} = ky \]
þar sem \(y\) er fall af breytunni \(x\) og \(k\) er fasti.
Flokkun landsframleiðslu
Hægt er að flokka landsframleiðslu á nokkra vegu, byggt á stigi hennar, hvort hún er línuleg eða ekki, eða hvort hún er einsleit eða ekki.
Há landsframleiðsla
Landsframleiðslan er ákvörðuð af hæstu afleiðunni sem birtist í jöfnunni. Til dæmis:
1. Fyrsta stigs landsframleiðsla: \( \frac{dy}{dx} + y = 0 \)
2. Annars stigs vergar landsframleiðsla: (\frac{d^2y}{dx^2} – 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0)
Línuleiki
Landsframleiðsla er sögð vera línuleg ef form hennar er línulegt hvað varðar fallið og allar afleiður þess. Dæmi:
1. Línuleg vergar landsframleiðsla: \( \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \)
2. Ólínuleg landsframleiðsla: \( \frac{dy}{dx} + y^2 = x \)
Einsleitni
Einsleit landsframleiðsla er jafna þar sem hver liður sem tengist falli og afleiðu þess er margfaldaður með fasta. Aftur á móti, ef liðir eru ekki línulegir með fallinu eða afleiðu þess, þá er landsframleiðslan ekki einsleit.
1. Einsleit landsframleiðsla: \( \frac{dy}{dx} + py = 0 \)
2. Óeinsleit vergar landsframleiðsla: \( \frac{dy}{dx} + py = g(x) \)
Lausnaraðferð landsframleiðslu
Til eru nokkrar mismunandi aðferðir til að leysa landsframleiðslu, allt eftir gerð og eiginleikum jöfnunnar. Algengar aðferðir eru meðal annars aðskilnaðaraðferð breytna, aðferð samþættingarþátta og Laplace-umbreyting.
Aðskilnaður breyta
Þessi aðferð er notuð fyrir landsframleiðslu þar sem hægt er að aðgreina óháðu og háðu breyturnar í tvær mismunandi hliðar jöfnunnar. Til dæmis:
[ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \]
Skref til að ljúka:
1. Einangrið breyturnar: \( \frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx \)
2. Samþættu báðar hliðar: \( \int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx \)
Aðferð samþættingarþátta
Þessi aðferð er notuð til að leysa línulega PDB af fyrsta stigi á stöðluðu formi:
[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \]
Skref til að ljúka:
1. Ákvarðið samþættingarstuðulinn \(\mu(x) = e^{\int p(x) dx} \)
2. Margfaldaðu upprunalegu jöfnuna með \(\mu(x)\)
3. Heildið báðar hliðar jöfnunnar þannig að hægt sé að leysa hana fyrir \(y\).
Laplace umbreyting
Laplace-umbreytingin er öflugt tæki til að leysa landsframleiðslutölur (GDP), sérstaklega þær sem fela í sér upphafsskilyrði. Laplace-umbreytingin breytir deildarjöfnu í tímasviðinu í algebrujöfnu í tíðnisviðinu.
Fyrir vergar landsframleiðslu:
[\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y = 0, \quad y(0) = 2, \quad \frac{dy}{dt}(0) = 0 \]
Við getum beitt Laplace umbreytingunni:
\[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) + 5sY(s) – 5y(0) + 6Y(s) = 0 \]
Síðan, eftir að upphafsskilyrðunum hefur verið beitt, getum við leyst fyrir \(Y(s)\) og framkvæmt öfuga Laplace umbreytingu til að fá \(y(t)\).
Umsókn um landsframleiðslu
PDB hefur fjölbreytt notkunarsvið á ýmsum sviðum náttúruvísinda og verkfræði.
Eðlisfræði
Í eðlisfræði er landsframleiðsla (GDP) notuð til að lýsa ýmsum hreyfifræðilegum kerfum. Til dæmis er annað lögmál Newtons, F = ma, á formi landsframleiðslu:
[m\frac{d^2x}{dt^2} = F(x,v,t)]
þar sem \(x\) er staðsetning, \(v\) er hraði, \(m\) er massi og \(F\) er kraftur sem getur verið háður staðsetningu, hraða og tíma.
Líffræði
Í líffræði nota líkön fyrir fólksfjölgun oft landsframleiðslu. Algeng dæmi eru veldisvaxtarlíkanið og lógískt vaxtarlíkan:
1. Veldisvísisstuðull: \( \frac{dP}{dt} = rP \)
2. Flutningur: (\frac{dP}{dt} = rP\left(1 – \frac{P}{K}\right))
þar sem \(P\) er íbúafjöldi, \(r\) er vaxtarhraðinn og \(K\) er hámarksumhverfisgeta.
hagkerfi
Í hagfræði nota hagvaxtarlíkön og inntaks- og úttakslíkön oft landsframleiðslu. Til dæmis, í Solow líkaninu:
[\frac{dk(t)}{dt} = sf(k) – (n + Δ)k]
þar sem ∫k(t)∫ er fjármagn á hvern starfsmann, ∫s∫ er sparnaðarhlutfallið, ∫f(k)∫ er framleiðslufallið, ∫n∫ er vaxtarhraði íbúa og ∫Δ∫ er afskriftarhraði fjármagns.
Tækni
Í rafmagnsverkfræði notar greining á RC-, RL- og RLC-rásum PDB til að ákvarða svörun rásarinnar við ýmsum inntaksmerkjum.
Dæmi um RC hringrás:
[V(t) = R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}]
þar sem \(V(t)\) er spenna, \(R\) er viðnám, \(q\) er hleðsla og \(C\) er rafrýmd.
Hermun og tölulegar aðferðir
Hins vegar er ekki hægt að leysa allar landsframleiðslur með greiningu. Í mörgum tilfellum verðum við að nota tölulegar aðferðir til að fá lausnir. Aðferð Eulers, aðferð Runge-Kutta og fjölþrepaaðferðin eru nokkrar af vinsælustu tölulegu aðferðunum sem eru mikið notaðar.
Aðferð Eulers
Aðferð Eulers er einfaldasta nálgunin og er yfirleitt notuð til að gefa grófa hugmynd um hegðun PDB-lausnar. Þessi aðferð notar línulega nálgun fyrir hvert lítið skref yfir gefið bil.
Runge-Kutta aðferðin
Runge-Kutta aðferðin, sérstaklega fjórða stigs aðferðin (RK4), er nákvæmari og mikið notuð í hagnýtum tilgangi. Þessi aðferð notar fjögur skref á bili til að meta lausnina með meiri nákvæmni.
Lokun
Skilningur á venjulegum deildarjöfnum er nauðsynlegur fyrir alla sem starfa í vísindum, verkfræði, hagfræði og mörgum öðrum fræðigreinum. Með fjölbreyttu úrvali aðferða og notkunarmöguleika býður PDB upp á öflugt tæki til að líkja eftir og skilja flókin fyrirbæri.
