Að leysa samtímis jöfnur: Ítarleg handbók
Í stærðfræði er samtímisjöfnu, eða kerfi línulegra jafna, safn jafna sem innihalda sama fjölda breyta. Lausnirnar á þessum jöfnum eru gildi breytanna sem uppfylla allar jöfnur í kerfinu samtímis. Samtímisjöfnur koma oft fyrir í ýmsum fræðigreinum, þar á meðal hagfræði, eðlisfræði, efnafræði og verkfræði. Þessi grein fjallar um helstu aðferðir til að leysa samtímisjöfnur, allt frá staðgengli og útrýmingu til notkunar fylkja og ákvarðana.
1. Grunnhugtak samtímisjöfnna
Samtímisjöfnur fela í sér tvær eða fleiri jöfnur með tveimur eða fleiri breytum. Einfalt dæmi eru tvær línulegar jöfnur með tveimur breytum:
\[
\begin{tilfelli}
2x + y = 5
3x – y = 4
\end{tilfelli}
\]
Markmiðið með því að leysa þessa jöfnu er að finna gildin á \(x \) og \(y \) sem uppfylla báðar jöfnurnar.
2. Skiptiaðferð
Skiptiaðferðin felur í sér eftirfarandi skref:
1. Veldu eina af jöfnunum og breyttu henni í formið \(y = \) eða \(x = \).
2. Settu gildin úr fyrstu jöfnunni inn í þá seinni.
3. Leysið jöfnuna sem fæst til að finna gildi einnar breytu.
4. Settu gildið aftur inn í eina af upprunalegu jöfnunum til að finna gildi hinnar breytunnar.
Sem dæmi skulum við nota fyrra dæmið.
1. Út frá fyrstu jöfnunni 2x + y = 5 getum við táknað y á forminu y = 5 – 2x.
2. Settu \(y \) sem fannst inn í aðra jöfnuna: \( 3x – (5 – 2x) = 4 \).
3. Leysið fyrir \(x \):
\[ 3x – 5 + 2x = 4 \]
\[ 5x – 5 = 4 \]
\[5x = 9 \]
\[x = \frac{9}{5} \]
4. Settu \(x = \frac{9}{5} \) inn í \(y = 5 – 2x \):
[y = 5 – 2(\frac{9}{5}\right) = 5 – \frac{18}{5} = 5 – 3.6 = 1.4]
Gildin \(x \) og \(y \) eru lausnir á jöfnukerfinu.
3. Útrýmingaraðferð
Útilokunaraðferðin felur í sér að útiloka eina af breytunum með því að leggja saman eða draga frádráttarjöfnu hennar. Skrefin eru:
1. Margfaldaðu eina eða báðar jöfnurnar þannig að stuðull einnar breytunnar sé sá sami.
2. Leggðu saman eða dragðu frá jöfnurnar tvær til að útiloka breytuna.
3. Leysið niðurstöðujöfnuna fyrir eina breytu.
4. Settu gildi breytunnar sem fékkst aftur inn í eina af upprunalegu jöfnunum til að finna hina breytuna.
Notum sama dæmi til að beita útrýmingaraðferðinni.
1. Margfaldaðu fyrstu jöfnuna með 1 og þá seinni með 2:
\[
\begin{tilfelli}
2x + y = 5
6x – 2y = 8
\end{tilfelli}
\]
2. Leggðu saman jöfnurnar tvær:
\[
(2x + y) + (6x – 2y) = 5 + 8
\]
\[
8x – y = 13
\]
3. Leysið fyrir \(x \):
\[
8x = 13 + y ]
Þar sem útrýmingarskrefið okkar gefur ekki \(x\) beint, skulum við prófa annað útrýmingarskref. Til einföldunar og sem námsreynslu skulum við margfalda báðar hliðar fyrstu jöfnunnar með þáttinum 2:
Í fyrsta lagi,
\[\rightarrow 4x + 2y = 10 \]
Í öðru lagi getum við bætt við:
[\rightarrow 3x – y = 4\rightarrow 6x – 2y = 8\]
Eftir að hafa lagt saman:
\[(4x + 6x) + (2y – 2y) = 10 + 8 \rightarrow 10x = 18 \rightarrow x = \frac{18}{10} = 1.8 \]
Leysið fyrir \(x = 1.8 \):
Finndu gildið á \(y \):
\[ 2(1.8) + y = 5 \]
\[ 3.6 + y = 5 \rightarrow y = 5 – 3.6 = 1.4 \]
Nú staðfest með tveimur tilfellum er lausnin okkar samfelld: x = 1.8 og y = 1.4
Með staðfestingu sjáum við að niðurstöðurnar eru stöðugar bæði með staðgengli og útrýmingu.
4. Fylki og ákvarðanir
Þessi aðferð er skilvirkari fyrir kerfi með fleiri jöfnur og breytur. Fylki og ákvarðanir eru oft notaðar aðferðir í línulegri algebru.
Ef við höfum jöfnukerfi eins og:
\[
\begin{tilfelli}
a_{11}x + a_{12}y = b_1
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\end{tilfelli}
\]
Þessa jöfnu er hægt að tákna á fylkisformi:
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
mana
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \]
Héðan getum við skrifað lausnina með því að nota andhverfu fylkisins:
[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]
Sannfærðu lesandann um hvernig á að snúa [staðsetning grunnþekkingar] við:
Ákvarðandarstuðull fylkis:
[det(A) = a_{11}\cdot a_{22} – a_{21}\cdot a_{12}]
Dan
\[ A^{-1}= [detA]^{-1} a \]
Dæmi eins fljótt og auðið er:
\[
\begin{tilfelli}
2x + y = 5
3x – y = 4
\end{tilfelli}
\]
Til:
\[
A=
\begin{bmatrix}
2 og 1 \ 3 og -1
\end{bmatrix}
\]
\[
Það (A)= ( 2\cdot -1) – (3\cdot 1)= -2-3=-5, \
\mathbf{x} =
1/sekA \begin{bmatrix} -1&-1 \\ -3&2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\end{tilfelli}
Ég vona að skrefin séu skýrt skrifuð um hvernig hægt er að meta þau.
Niðurstaða
Samtímisjöfnur eru nauðsynlegt verkfæri í stærðfræði og raunverulegum notkunum. Ýmsar aðferðir - staðgenglar, útrýmingar og fylki - bjóða upp á fjölbreyttar leiðir til að leysa þær. Val á aðferð fer eftir flækjustigi kerfisins og hversu þægilegt notandinn er. Stærðfræði er umfangsmikil og fjöldi aðferða ætti ekki að vera ógnvekjandi, heldur frekar að bjóða upp á breiðara úrval lausna.
