Að nota afgangsregluna í stærðfræði
Afgangssetningin er stærðfræðilegt hugtak sem er oft lykilþáttur í ýmsum greinum stærðfræðinnar, þar á meðal algebru, talnafræði og stakrænni stærðfræði. Þetta hugtak er ekki aðeins viðeigandi á grunnskólastigi heldur hefur það einnig mikilvæga notkun í háþróaðri stærðfræðilegri rannsóknum og þróun. Þessi grein mun skoða afgangssetninguna ítarlega, fjalla um skilgreiningu hennar, notkun og nokkur dæmi til að skilja hvernig hún virkar í ýmsum samhengjum.
Að skilja afgangsregluna
Afgangssetningin er setning í margliðualgebru. Þessi setning segir að ef margliða \(P(x) \) er deilt með tvíliðunni \((x – c) \), þá er afgangurinn \(P(c) \). Það er að segja, fyrir margliðuna \(P(x) \) ef við deilum \(P(x) \) með \(x – c \), fáum við eftirfarandi form:
[P(x) = (x – c)Q(x) + R]
þar sem \(Q(x) \) er margliðukvótinn og \(R \) er afgangurinn. Samkvæmt afgangsreglunni er \(R \) gildi margliðufallsins þegar \(x = c \), eða í stærðfræðilegri táknun:
\[ R = P(c) \]
Sönnun á afgangsreglunni
Til að skilja þessa setningu betur skulum við sanna hana stuttlega. Segjum sem svo að við höfum margliðu \(P(x) \) og deilum henni með \((x – c) \). Þá getum við skrifað að:
[P(x) = (x – c)Q(x) + R]
þar sem \(R \) er afgangurinn af deilingu. Þar sem \((x – c) \) er tvíliða af fyrsta stigi, verður afgangurinn \(R \) að vera fasti (því stig afgangsins verður að vera minna en stig deilisins). Setjum \(x = c \) inn:
[P(c) = (c – c)Q(c) + R]
[P(c) = 0 ⋅Q(c) + R]
\[ P(c) = R \]
Þannig er sannað að afgangurinn \(R \) er jafn \(P(c) \).
Dæmi um notkun afgangsreglunnar
Við skulum skoða raunverulegt dæmi um afgangsregluna til að skilja notkun hennar.
Dæmi 1:
Segjum sem svo að við höfum margliðu \( P(x) = x^3 – 4x^2 + 6x – 24 \). Við viljum deila þessari margliðu með \( x – 2 \).
Fyrsta skrefið er að finna gildið á \( P(2) \):
[P(2) = 2^3 – 4 ²^2 + 6 ² – 24]
\[P(2) = 8 – 16 + 12 – 24 \]
\[P(2) = -20 \]
Þannig að afgangurinn af því að deila \(P(x) \) með \(x – 2 \) er -20.
Dæmi 2:
Segjum sem svo að við höfum margliðu \( P(x) = 2x^4 + 3x^3 – x + 5 \). Við viljum deila þessari margliðu með \( x + 1 \).
Fyrsta skrefið er að finna gildið á \( P(-1) \):
\[ P(-1) = 2(-1)^4 + 3(-1)^3 – (-1) + 5 \]
\[ P(-1) = 2(1) + 3(-1) + 1 + 5 \]
\[ P(-1) = 2 – 3 + 1 + 5 \]
\[P(-1) = 5 \]
Þannig er afgangurinn af því að deila \(P(x) \) með \(x + 1 \) 5.
Notkun afgangsreglunnar
Afgangssetningin hefur marga notkunarmöguleika á ýmsum sviðum stærðfræðinnar. Meðal helstu notkunarmöguleika eru:
1. Fjölliðuþættir:
Ef \(P(c) = 0 \), þá er \(x – c \) þáttur af \(P(x) \). Þetta hjálpar við að þátta stærri og flóknari margliður.
2. Fjölliðumat:
Með því að nota afgangsregluna getum við fljótt metið gildi margliðu í gefnum punkti án þess að þurfa að framkvæma langa deilingu.
3. Lækkunarreiknirit:
Í talnafræði og reikniritum er afgangssetningin notuð til að fá fljótt afganga, sem er gagnlegt í mátfrádrátt og útreikningum sem fela í sér stórar tölur.
4. Rótarprófun:
Þessi setning er notuð til að prófa rætur margliða, sem er grundvöllur nokkurra tölulegra reiknirita í vísindalegri tölvuvinnslu.
Kínverska afgangssetningin
Auk afgangsreglunnar í samhengi margliður er einnig til „kínverska afgangsreglunni“ sem hefur víðtæk notkunarsvið í talnafræði.
Segjum sem svo að við höfum nokkrar samsvörunarjöfnur:
[x \equiv a_1 \ (\text{mod} \n_1) \]
[x \equiv a_2 \ (\text{mod} \n_2) \]
\[ \vpunktar \]
[ x \equiv a_k \ (\text{mod} \n_k) \]
Þar sem \(n_1, n_2, ..., n_k \) er par af tvöföldum samfrumtölum (par af tölum sem hafa enga sameiginlega þætti aðra en 1), þá tryggir kínverska afgangssetningin tilvist einstakrar lausnar með mát \(N \), þar sem \(N \) er margfeldi \(n_1, n_2, ..., n_k \).
Dæmi um notkun kínversku afgangsreglunnar
Segjum sem svo að við höfum eftirfarandi samsvörunarkerfi:
\[ x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 3) \]
\[ x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \]
\[ x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7) \]
Við þurfum að finna gildi á x sem uppfyllir allar þessar jöfnur. Þar sem 3, 5 og 7 eru samfrumtölur getum við notað kínversku afgangsregluna.
Fyrsta skrefið er að reikna \(N \):
\[N = 3 \times 5 \times 7 = 105 \]
Annað skrefið er að reikna \(N_i \) fyrir hverja einingu:
\[ N_1 = \frac{N}{3} = 35 \]
\[ N_2 = \frac{N}{5} = 21 \]
\[ N_3 = \frac{N}{7} = 15 \]
Þriðja skrefið er að finna margföldunarandhverfu \( N_i \) modulo samsvarandi modulo:
\[ 35x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3) \implises x = 2 \]
\[ 21x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \implises x = 1 \]
\[ 15x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \implises x = 1 \]
Settu þetta svo allt saman:
\[x = a_1N_1x_1 + a_2N_2x_2 + a_3N_3x_3 \]
\[x = 2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1 + 2 * 15 * 1]
\[x = 140 + 63 + 30 = 233 \]
Að lokum tökum við modulo N:
\[ x \equiv 233 \ (\text{mod} \ 105) \]
\[x = 233 – 2 ⋅ 105 \]
\[x = 23 \]
Þannig að lausn samsvörunarkerfisins er \(x = 23 \).
Niðurstaða
Afgangssetningin er öflugt og fjölhæft verkfæri í algebru og talnafræði. Með góðum skilningi getur hún hraðað flóknum útreikningum og ryðjað brautina fyrir frekari greiningu í stærðfræði. Notkun hennar felur í sér margliðuútreikninga, þáttun, heiltölureiknirit og lausn á samsvörunarkerfum, eins og sést í kínversku afgangssetningunni. Með því að læra þessa setningu getum við bætt getu okkar til að leysa ýmis stærðfræðileg vandamál á skilvirkari og árangursríkari hátt.
