Formúlur og dæmi um harmoníska titring
Harmonísk titringur er lykilefni í eðlisfræði og kemur oft fyrir í umræðum um lotubundna hreyfingu, bylgjur og verkfræðilegar notkunarmöguleika. Við getum fundið hann í hreyfingu gorma, pendúla (fyrir lítil horn) og jafnvel titringi sameinda í efni. Hann er kallaður „harmonískur“ vegna þess að hreyfing hans fylgir reglulegu mynstri og hægt er að líkja eftir honum með sínus- eða kósínusföllum. Þessi grein fjallar um stutta skilgreiningu, lykilformúlur og dæmi um vandamál með lausnum til að hjálpa okkur að skilja hugtakið harmonísk titringur.
1. Að skilja sveiflur í samhljómi
Einföld harmonísk titringur (e. Einföld harmonísk titringur (e. Einföld harmonísk titringur, SHM) er fram-og-tilbaka hreyfing hlutar framhjá jafnvægispunkti með endurheimtarkrafti sem er í réttu hlutfalli við tilfærsluna og stefnir alltaf að jafnvægispunktinum. Stærðfræðilega má rita eiginleika hennar sem:
F = −kx
Mínusmerkið gefur til kynna að krafturinn sé gagnstæð fráviksáttinni. Ef hluturinn er dreginn til hægri (jákvætt x), þá er krafturinn sem verkar til vinstri (neikvætt) og öfugt.
Þau tvö kerfi sem oftast eru nefnd sem dæmi um GHS eru:
1. Gorm-massa kerfi (massi í enda gormsins).
2. Einfaldur pendúl (fyrir lítil horn, venjulega < 15°). 2. Mikilvægar stærðir í sveiflujöfnum Nokkrar stærðir sem birtast alltaf í GHS: - Frávik (x): fjarlægð hlutarins frá jafnvægispunktinum (m). - Sveifluvídd (A): hámarksfrávik (m). - Tímabil (T): tíminn sem þarf fyrir eina heila sveiflu (s). - Tíðni (f): fjöldi sveiflna á sekúndu (Hz). - Hornhraði / horntíðni (ω): mikilvægur breyta í sínus/kósínus jöfnunni (rad/s). - Fasi (φ): ákvarðar upphafsskilyrði hreyfingar. Grunnsamband milli tímabils og tíðni: f = 1/T Og samband ω við T og f: ω = 2πf = 2π/T 3. Jafna fyrir sveiflujöfnur Almennt form fráviks sem fall af tíma má rita: x(t) = A sin(ωt + φ) eða x(t) = A cos(ωt + φ)
Valið á sin/cos er jafnt rétt, allt eftir upphafsskilyrðum (t.d. við t = 0 er staðan í sveifluvídd eða á jafnvægispunkti). Hraði og hröðun Hraði er fyrsta afleiða tilfærslunnar: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (ef x = A sin) eða getur einnig verið neikvæð samkvæmt upphafsforminu. Hröðun er önnur afleiða: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) Þar sem x(t) = A sin(ωt + φ), þá: a(t) = −ω² x(t) Þetta er lykileiginleiki GHS: hröðunin er í réttu hlutfalli við tilfærsluna og gagnstæð í átt. Hámarkshraði og hámarkshröðun - v_max = Aω - a_max = Aω² Hámarkshröðun á sér stað þegar hluturinn fer framhjá jafnvægispunkti (x = 0). Hámarkshröðun á sér stað þegar hann er í sveifluvídd (x = ±A). 4. Titringstími í fjöðrum og pendúlum A. Gorm-massi Fyrir hugsjónarfjöður með fjaðurstuðullinn k og massa m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Þetta þýðir að því stærri sem massinn er, því stærra er tímabilið (hægara). Því stærra k (því stífari sem fjöðurinn er), því styttra er tímabilið (hraðara). B. Einfaldur pendúl (lítið horn) Fyrir pendúl með strenglengd L og þyngdarhröðun g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Athyglisvert er að í nálguninni á litlu horni er tímabilið ekki háð massa pendúlsins, það er aðeins háð lengd og þyngdarafli. 5. Orka í sveiflujöfnun Í sveiflujöfnun (GHS) helst heildarorkan stöðug (ef enginn núningur er): - Stöðuorka fjöðursins: Ep = ½ kx² - Hreyfiorka: Ek = ½ mv² - Heildarvélræn orka: E = Ek + Ep = ½ kA² Þegar x = ±A, v = 0 þannig að öll orkan er stöðuorka. Þegar x = 0, Ep = 0 og öll orkan er hreyfiorka. 6. Dæmi um spurningar og umræður Dæmi 1: Að ákvarða sveiflutíðni fjöðursins Massi, 0,5 kg, er hengdur á fjöður með fasta k = 200 N/m. Ákvarðið sveiflutíðnina! Gefið: m = 0,5 kg, k = 200 N/m Spurt: T Svar: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Þannig að sveiflutími vorsins er um 0,314 s. --- Dæmi 2: Ákvörðun tíðni og ω Ákvarðið tíðnina (f) og ω út frá spurningu 1! Svar: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (eða beint ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Þannig að tíðnin er um 3,18 Hz og ω = 20 rad/s. --- Dæmi 3: Fráviksjafna Hlutur titrar harmonískt með sveifluvídd 0,10 m og ω = 5 rad/s. Við t = 0 er hluturinn í jafnvægispunkti og hreyfist í jákvæða átt. Ákvarðið fráviksjöfnuna! Gefið: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Upphafsskilyrði: t = 0 → x = 0 og upphaflegt v er jákvætt. Ef x(0) = 0, þá er viðeigandi form sínus: x(t) = A sin(ωt) Þar sem v(t) = Aω cos(ωt), þá er v(0) = Aω cos(0) = Aω jákvætt. Þannig: x(t) = 0,10 sin(5t) (metrar) --- Dæmi 4: Hámarkshraði og hámarkshröðun Ákvarðið v_max og a_max út frá dæmi 3. Svar: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Þannig að v_max = 0,50 m/s og a_max = 2,5 m/s². --- Dæmi 5: Orka í fjöðri Fjöður með k = 100 N/m titrar með sveifluvídd A = 0,20 m. Reiknið út heildarvélorku hans! Svar: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J Heildarvélorkan í titringnum er 2 joule. --- Dæmi 6: Sveiflutími pendúlsins Einfaldur pendúl er 1 m langur. Ef g = 10 m/s², ákvarðið sveiflutíma hans. Svar: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Þannig að sveiflutími pendúlsins er um 2,0 s. 7. Niðurstaða Einföld harmonísk titringur er mjög grundvallarreglubundin hreyfing í eðlisfræði. Lykillinn að því að skilja þetta liggur í sambandinu milli endurreisnarkraftsins sem er í réttu hlutfalli við tilfærsluna (F = −kx), sem og stærðfræðilíkansins sem fylgir sínus/kósínusfallinu. Með því að skilja lotuformúluna fyrir gorma og pendúla, tilfærslu-hraða-hröðunarjöfnurnar og hugtakið orku, verður auðveldara fyrir þig að vinna með vandamál sem tengjast titringi og bylgjum.
Ef þú vilt get ég bætt við fleiri æfingaspurningum (án umræðu fyrst) eða búið til samantekt á formúlunum fyrir prófið.
