Ajụjụ Ihe Nlereanya Na-atụle Ọnụọgụgụ Dị Mgbagwoju Anya
Ọnụọgụgụ mgbagwoju anya bụ isiokwu a na-ahụkarị na mgbakọ na mwepụ ma n'ọkwa ụlọ akwụkwọ sekọndrị ma na kọleji. Ọnụọgụgụ mgbagwoju anya nwere akụkụ abụọ: akụkụ dị adị na akụkụ echiche efu. Site na iji akara nkịtị, a na-ede nọmba mgbagwoju anya dị ka \( z = a + bi \), ebe \( a \) na \( b \) bụ ọnụọgụgụ ezigbo, na \( i \) bụ nkeji echiche efu nwere ihe onwunwe \( i^2 = -1 \). Isiokwu a ga-ekpuchi ọtụtụ ihe atụ na mkparịta ụka ha gbasara ọnụọgụgụ mgbagwoju anya, site na ọrụ ndị bụ isi ruo na ngwa na idozi nsogbu.
Ajụjụ na Mkparịta ụka Ihe Nlereanya
1. Mgbakwunye na Mwepụ nke Ọnụọgụgụ Dị Mgbagwoju Anya
Ajụjụ nke Atọ
Ka \ ( z_1 = 3 + 4i \) na \ ( z_2 = 1 - 2i \). Gbakọọ \( z_1 + z_2 \) na \( z_1 – z_2 \).
Mkparịta ụka
Iji tinye ma ọ bụ wepụ ọnụọgụgụ dị mgbagwoju anya, anyị na-eji akụkụ ahụ dị adị eme ihe, jirikwa akụkụ ahụ dị adị mee ihe, jirikwa akụkụ ahụ dị adị mee ihe.
Mgbakwunye:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Mwepụ:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Ya mere, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) na \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Ịmụba ọnụọgụgụ dị mgbagwoju anya
Ajụjụ nke Atọ
Gbakọọ ngwaahịa nke \( z_1 = 2 + 3i \) site na \( z_2 = 4 – i \).
Mkparịta ụka
Iji mụbaa ọnụọgụgụ abụọ dị mgbagwoju anya, anyị na-eji ihe nkesa nke algebra:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Anyị na-amụba ihe ọ bụla:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Ebe ọ bụ na \( i^2 = -1 \), mgbe ahụ:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Ya mere, ngwaahịa \(z_1 \cdot z_2 \) bụ \( 11 + 10i \).
3. Nkewa nke Ọnụọgụgụ Dị Mgbagwoju Anya
Ajụjụ nke Atọ
Gbakọọ oke nke \( z_1 = 3 + 4i \) site na \( z_2 = 1 – i \).
Mkparịta ụka
Iji kewaa ọnụọgụgụ mgbagwoju anya, anyị na-amụba ọnụọgụgụ na denominator site na njikọta nke denominator nke ọnụọgụgụ mgbagwoju anya. Njikọ nke \( 1 – i \) bụ \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Ka anyị buru ụzọ gbakọọ ihe nkesa:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Ugbu a, anyị na-agbakọ ọnụọgụgụ:
\[
(3 + 4i) (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4 (-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Ya mere, ihe si na ya pụta bụ:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modulu na Arụmụka nke Ọnụọgụgụ Dị Mgbagwoju Anya
Ajụjụ nke Atọ
Chọpụta modulus na arụmụka nke \( z = 1 + i \).
Mkparịta ụka
Modulu nke ọnụọgụgụ mgbagwoju anya \( z = a + bi \) bụ:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Maka \( z = 1 + i \), anyị nwere \( a = 1 \) na \( b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Arụmụka nke ọnụọgụgụ dị mgbagwoju anya bụ akụkụ \( \theta \) nke e ji axis dị mma mepụta, nke a tụrụ site na mmalite ruo na isi \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Ya mere, modulus nke \( z = 1 + i \) bụ \( \sqrt{2} \) na arụmụka bụ \( \frac{\pi}{4} \).
5. Ụdị Exponential na Ụkpụrụ Euler
Ajụjụ nke Atọ
Gbanwee ọnụọgụ mgbagwoju anya \( z = 1 + i \) ka ọ bụrụ ụdị exponential.
Mkparịta ụka
Ụdị ọnụọgụgụ mgbagwoju anya site na iji usoro Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Ebe \( r \) bụ modulus na \( \theta \) bụ arụmụka. Site na mkparịta ụka gara aga, anyị maara na:
\[
r = \sqrt{2}, \sqrt \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Ya mere, ụdị exponential bụ:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Mgbọrọgwụ nke Ọnụọgụgụ Dị Mgbagwoju Anya
Ajụjụ nke Atọ
Chọta mgbọrọgwụ sụkwịa nke ọnụọgụgụ mgbagwoju anya \( z = -1 \).
Mkparịta ụka
Enwere ike ịchọta mgbọrọgwụ sụkwịa nke ọnụọgụgụ mgbagwoju anya site na iji ụdị polar ma ọ bụ exponential. Anyị na-agbanwe \( z = -1 \) ka ọ bụrụ ụdị exponential:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Enwere ike ide mgbọrọgwụ sụkwịa nke \(e^{i\pi} \) dị ka:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Na \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), na \( k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi +2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi +2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Ya mere, mgbọrọgwụ square nke \( -1 \) bụ \( i \) na \( -i \).
7. Ngwa na Nha nhata Quadratic
Ajụjụ nke Atọ
Dozie usoro nhazi quadratic \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Mkparịta ụka
Anyị nwere ike iji usoro quadratic:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Maka nha nha \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Ya mere, ngwọta nke \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) bụ \( z = -2 + 3i \) na \( z = -2 – 3i \).
Mmechi
Ọnụọgụgụ dị mgbagwoju anya bụ echiche mgbakọ na mwepụ sara mbara nke nwere ọtụtụ ojiji. Site n'ịghọta ọrụ ndị bụ isi dịka mgbakwunye, mwepu, mmụba, na nkewa, yana otu esi agbakọ modulus na arụmụka, anyị nwere ike idozi nsogbu dị iche iche metụtara ọnụọgụgụ dị mgbagwoju anya. Olileanya, ihe atụ ndị dị n'elu ga-enyere gị aka ịghọta ma mụta isiokwu a nke ọma.
