Մասնիկների իներցիայի մոմենտը. խնդիրներ և լուծումներ

Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ

1. Երկու գնդիկ, որոնք միացված են ձողով, ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված նկարում։ Անտեսեք ձողի զանգվածը ։ Գնդակի P զանգվածը 600 գրամ է, իսկ գնդիկի Q զանգվածը՝ 400 գրամ։ Որքա՞ն է համակարգի իներցիայի մոմենտը AB-ի նկատմամբ։

Հայտնի է.

Պտտման առանցքը AB է։ Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ 1

մ _պ = 600 գրամ = 0.6 կգ, մ _ք = 400 գրամ = 0.4 կգ

r _p = 20 սմ = 0.2 մ, r _q = 50 սմ = 0.5 մ

Պահանջվում է՝ համակարգի իներցիայի մոմենտը

Լուծում.

I = m _pr r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 կգ)(0.2 մ) ² + (0.4 կգ)(0.5 մ) ²

I = (0.6 կգ)(0.04 մ² ⁾ + (0.4 կգ)(0.25 ^մ² )

I = 0.024 կգ մ ² + 0.1 կգ մ ²

I = 0.124 կգ մ ²

2. AB-ի 2 կգ զանգվածով ձողը պտտվել է A կետի շուրջը, ձողի իներցիայի մոմենտը 8 կգ մ² է ^։ Եթե այն պտտվում է O կետի շուրջը (AO = OB), որքա՞ն է ձողի իներցիայի մոմենտը։

Հայտնի է. Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ 2

AB ձողի զանգվածը (մ) = 2 կգ

Եթե պտտվում է A կետի շուրջ այնպես, որ պտտման շառավիղը (r) = AB-ի երկարությունը = r, ապա իներցիայի մոմենտը (I) = 8 կգ մ² ^։

Ցանկալի է. Եթե պտտվում է O կետի շուրջը այնպես, որ պտտման շառավիղը (r) = AO-ի երկարությունը = OB-ի երկարությունը = 1/2 r, ապա որքա՞ն է ձողի իներցիայի մոմենտը։

Լուծում.

Ես = Պարոն ²

8 կգ մ ² = (2 կգ) r ²

8 մ ² = (2) r ²

r ² = 8 մ ² / 2

r ² = 4 մ ²

r = 2 մետր

Եթե պտտենք O կետի շուրջը այնպես, որ ½ r = 1 մետր, ապա իներցիայի մոմենտը՝

I = պարոն ² = (2 կգ)(1 մ) ² = (2 կգ)(1 մ ² ) = 2 կգ մ ²

3. Երկու գնդիկ, որոնք միացված են ձողով, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում։ Անտեսեք ձողի զանգվածը։ Որքա՞ն է համակարգի իներցիայի մոմենտը։

Հայտնի է.

Գնդակի զանգվածը A (մ)_A) = 200 գրամ = 0.2 կգ Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ 3

Գնդակի զանգվածը B (մ² ₎ = 400 գրամ = 0.4 կգ

Ա գնդի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r _A ) = 0

Գնդակ B-ի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (rB ₎ = 25 սմ = 0.25 մ

Պահանջվում է՝ համակարգի իներցիայի մոմենտը

Լուծում.

Գնդակի A իներցիայի մոմենտը՝

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

B գնդակի իներցիայի մոմենտը՝

I _B = (մ _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 կգ մ ²

Համակարգի իներցիայի պահը.

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 կգ մ ² = 25 x 10 ^-3 կգ մ ²

4. Չորս տարբեր զանգվածներով մասնիկներ, որոնք ցույց են տրված ստորև բերված նկարում։ Որոշեք համակարգի իներցիայի մոմենտը P հորիզոնական գծի նկատմամբ։

լուծում

Պտտման առանցքը հորիզոնական P գիծն է։

Հայտնի է. Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ 4

A մասնիկի զանգվածը (մ² ₎ = մ

B մասնիկի զանգվածը (մ² ₎ = 2 մ

Մասնիկի զանգվածը C (մ² _C ) = 3 մ

Մասնիկների անցումը D (մ², _D ) = 4 մ

A մասնիկի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r _A ) = b

B մասնիկի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (rB ₎ = b

C մասնիկի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r _C ) = 2b

D մասնիկի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r₂D ₎ = 2b

Պահանջվում է՝ համակարգի իներցիայի մոմենտը P հորիզոնական գծի նկատմամբ։

Լուծում.

I = մ _Ա ր _Ա² + մ _Բ ր _Բ² + մ _Ք ր _Ց² + մ _Դ ր _Դ²

I = (մ) (բ) ² + (2 մ) (բ) ² + (3 մ) (2բ) ² + (4 մ) (2բ) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Ես = 31 մբ ²

_{5. Չորս մասնիկներ, որոնք միացված են ձողով։ Անտեսեք ձողի զանգվածը։ Որոշեք m 1} և m ₂ մասնիկների պտտման առանցքի նկատմամբ իներցիայի մոմենտը , ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված նկարում։

Հայտնի է

Մասնիկի զանգվածը 1 (մ₁) = 1/4 կգ Մասնիկների իներցիայի մոմենտը՝ խնդիրներ և լուծումներ 5

Մասնիկ 2-ի զանգվածը (մ ₂ ) = 1/2 կգ

Մասնիկ 3-ի զանգվածը (մ ₃ ) = 1/4 կգ

Մասնիկ 4-ի զանգվածը (մ ₄ ) = 1/4 կգ

Մասնիկ 1-ի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r1 ₎ = 0

Մասնիկ 2-ի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r2 ₎ = 0

Մասնիկ 3-ի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r3 ₎ = 10 սմ = 10/100 մ = 1/10 մ

Մասնիկ 4-ի և պտտման առանցքի միջև հեռավորությունը (r4 ₎ = 10 սմ = 10/100 մ = 1/10 մ

Ցանկալի է՝ իներցիայի մոմենտ

Լուծում.

Ես = մ ₁ ր ₁² + մ ₂ ր ₂² + մ ₃ ր ₃² + մ ₄ ր ₄²

Ես = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Ես = 1/400 + 1/400

Ես = 2/400

I = 1/200 կգ.մ ²

Որքա՞ն է մասնիկի իներցիայի մոմենտը։
- ՊատասխանՄեկ զանգվածի մասնիկի համար $m$ հեռավորության վրա $r$ պտտման առանցքից, նրա իներցիայի մոմենտը $I$ տրված է $I = m \times r^{2}$ .
Ինչո՞ւ է իներցիայի մոմենտը հաճախ անվանում զանգվածի «պտտվողական անալոգ»։
- ՊատասխանՃիշտ այնպես, ինչպես զանգվածը մարմնի շարժական շարժման փոփոխությունների նկատմամբ դիմադրության չափանիշ է (Նյուտոնի երկրորդ օրենքի պատճառով), իներցիայի մոմենտը մարմնի պտտական շարժման փոփոխությունների նկատմամբ դիմադրության չափանիշ է։
Ինչպե՞ս է մասնիկի պտտման առանցքից հեռավորության փոփոխությունը ազդում նրա իներցիայի մոմենտի վրա։
- ՊատասխանԻներցիայի մոմենտը համեմատական է պտտման առանցքից հեռավորության քառակուսուն։ Եթե կրկնապատկեք հեռավորությունը, իներցիայի մոմենտը կաճի չորս անգամ։
Ինչո՞ւ է հեռավորության քառակուսին (r)²) օգտագործվա՞ծ է իներցիայի մոմենտի բանաձևում, այլ ոչ թե միայն հեռավորության։
- ՊատասխանՀեռավորության քառակուսին օգտագործվում է պտտման ժամանակ կինետիկ էներգիայի գործողության եղանակի պատճառով։ Պտտական շարժման մեջ մարմնի յուրաքանչյուր մասնիկ նպաստում է պտտման կինետիկ էներգիային՝ հիմնվելով ինչպես իր զանգվածի, այնպես էլ առանցքից իր հեռավորության քառակուսիի վրա։
Ինչպե՞ս է փոխվում մասնիկի իներցիայի մոմենտը, եթե նրա զանգվածը եռապատկվում է՝ առանցքից հեռավորությունը պահպանելով անփոփոխ։
- ՊատասխանԵթե զանգվածը եռապատկվի, իսկ հեռավորությունը մնա անփոփոխ, իներցիայի մոմենտը նույնպես կեռապատկվի, քանի որ այն ուղիղ համեմատական է զանգվածին։
Կարո՞ղ է մասնիկը զրոյական իներցիայի մոմենտ ունենալ։ Եթե այո, ապա ի՞նչ պայմանի դեպքում։
- ՊատասխանԱյո, մասնիկը կունենա զրոյական իներցիայի մոմենտ, եթե այն գտնվում է անմիջապես պտտման առանցքի վրա, ինչը նրա հեռավորությունը դարձնում է $r$ զրոյի հավասար առանցքից։
Ինչո՞ւ են նույն զանգվածով և չափսերով տարբեր մարմիններ տարբեր առանցքների շուրջ պտտվելիս ունենում տարբեր իներցիայի մոմենտներ։
- ՊատասխանՊտտման առանցքի շուրջ զանգվածի բաշխումը որոշում է իներցիայի մոմենտը։ Նույնիսկ եթե երկու մարմիններն ունեն նույն զանգվածը և չափը, դրանց զանգվածի բաշխումը պտտման առանցքի նկատմամբ կարող է տարբեր լինել, ինչը հանգեցնում է իներցիայի տարբեր մոմենտների։
Իներցիայի մոմենտը սկալյար, թե՞ վեկտորային մեծություն է։
- ՊատասխանԻներցիայի մոմենտը սկալյար մեծություն է։ Սակայն, բարդ ձևեր և պտտման բազմաթիվ առանցքներ ունեցող կոշտ մարմինների համար այն ներկայացված է թենզորով։
Եթե երկու մասնիկ կա, որոնցից յուրաքանչյուրը զանգված ունի $m$ , գտնվում են հեռավորությունների վրա $r_{1}$ և $r_{2}$ Պտտման առանցքից ելնելով՝ որքա՞ն է իներցիայի համակցված մոմենտը։
- ՊատասխանԻներցիայի մոմենտը գումարային է առանձին մասնիկների համար։ Այսպիսով, իներցիայի համակցված մոմենտը $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Ինչպե՞ս է իներցիայի մոմենտը կապված անկյունային մոմենտի պահպանման հետ։
- ՊատասխանԱնկյունային իմպուլս $L$ իներցիայի մոմենտի արտադրյալն է $I$ և անկյունային արագություն $ω$ , ներկայացված հավասարմամբ $L = I \times ω$ Եթե համակարգի վրա արտաքին մոմենտներ չեն ազդում, անկյունային մոմենտը կմնա հաստատուն։ Սա նշանակում է, որ եթե իներցիայի մոմենտը փոխվում է (ինչպես գեղասահորդի դեպքում, որը ձեռքերը քաշում է), անկյունային արագությունը պետք է կարգավորվի՝ արտադրյալը հաստատուն պահելու համար։