Հաշվարկի հիմնարար թեորեմ

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմ

Հաշվարկը հաճախ ընկալվում է որպես փոփոխությունը և կուտակումը բացատրելու «լեզու»։ Մի կողմից, մենք ուսումնասիրում ենք ածանցյալներ՝ ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը չափելու համար։ Մյուս կողմից, մենք ուսումնասիրում ենք ինտեգրալներ՝ կուտակումը հաշվարկելու համար, ինչպիսիք են կորի տակ գտնվող մակերեսը կամ մեծության ընդհանուր «անընդհատ գումարը»։ Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը (ՀՀԹ) այս երկու գաղափարները կապող հիմնական կամուրջ է. պարզվում է, որ դիֆերենցիացիան և ինտեգրումը երկու առանձին թեմաներ չեն, այլ երկու փոխադարձ գործողություններ։ Այս թեորեմն է, որ հաշվարկը դարձնում է այդքան հզոր գիտության, ճարտարագիտության, տնտեսագիտության և շատ այլ ոլորտներում։

Ընդհանուր տեսք. փոփոխություններ և կուտակում

Պատկերացրեք մի մեքենա, որը շարժվում է ճանապարհով։ Մեքենայի արագությունը ժամանակի ընթացքում դիրքի փոփոխության արագությունն է, մինչդեռ անցած ճանապարհը ժամանակի ընթացքում «արագության» կուտակումն է։ Մաթեմատիկական առումով, եթե \(v(t)\)-ն արագությունն է, ապա \(a\) ժամանակից մինչև \(b\) ժամանակ անցած ճանապարհը կարող է արտահայտվել ինտեգրալով։
\[
\int_a^bv(t)\, dt.
\]
Միևնույն ժամանակ, եթե \(s(t)\)-ն դիրքն է, ապա արագությունը ածանցյալն է՝
\[
v(t) = s'(t).
\]
Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը նշում է, որ այս երկու գործողությունները սերտորեն կապված են. ածանցյալի ինտեգրալը վերադարձնում է ֆունկցիայի զուտ փոփոխությունը, իսկ որոշյալ ինտեգրալի ածանցյալը վերադարձնում է սկզբնական ֆունկցիան: Այս կապը մակերեսի, հեռավորության, զանգվածի, էներգիայի և շատ այլ բաների հաշվարկը դարձնում է շատ ավելի համակարգված:

Արագ նախադրյալ. ի՞նչ են որոշակի ինտեգրալները և ածանցյալները։

Թեորեմի ձևակերպմանը անդրադառնալուց առաջ կան երկու կարևոր հասկացություն.

1. Ածանցյալ \(f'(x)\): չափում է գրաֆիկի թեքությունը կամ \(f(x)\) փոփոխության արագությունը, երբ \(x\)-ը փոքր-ինչ փոխվում է: Ինտուիտիվորեն, եթե \(f(x)\)-ը նկարագրում է դիրքը, ապա \(f'(x)\)-ը նկարագրում է արագությունը:

2. Որոշակի ինտեգրալ \(\int_a^bf(x)\,dx\): չափում է \(f\)-ի կուտակումը \(a,b]\ միջակայքում: Երկրաչափորեն այն հաճախ սահմանվում է որպես նշանային մակերես (դրական մակերես \(x\) առանցքի վերևում, բացասական մակերես \(x\) առանցքի ներքևում) \(y=f(x)\) կորի տակ \(x=a\)-ից մինչև \(x=b\) ընկած հատվածը:

Որոշակի ինտեգրալը ֆորմալ առումով սահմանվում է Ռիմանի գումարի սահմանով, այսինքն՝ մակերեսը մոտավորապես հաշվարկելով փոքր ուղղանկյուններով, այնուհետև սահմանը ընդունելով, երբ ուղղանկյունների լայնությունը զրոյի է հասնում։

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի ձևակերպում (Մաս 1)

TFK Մաս 1-ը նշում է. եթե \(f\)-ն անընդհատ է \(a,b]\-ի վրա, ապա մենք սահմանում ենք նոր ֆունկցիա։
\[
F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,
\]
ապա \(F\)-ն կարող է ստացվել \(a,b)\)-ից և
\[
Ֆ'(x)=ֆ(x):
\]

Իմաստը շատ կարևոր է. \(f\)-ից «կառուցված» ինտեգրալը տալիս է \(f\)-ի հակաածանցյալ ֆունկցիան։ Այլ կերպ ասած, մինչև \(x\) կետը կուտակման գործընթացը, երբ դիֆերենցվի, կվերադառնա այդ կետի կուտակման արագությանը։

Ինտուիցիա Մաս 1
Ուշադրություն դարձրեք \(F(x)\)-ի փոքր փոփոխությանը, երբ \(x\)-ը մեծացվում է \(\Delta x\)-ի փոքր քանակով։
\[
F(x+Delta x)-F(x)=\int_a^{x+Delta x} f(t)\,dt – \int_a^xf(t)\,dt = \int_x^{x+Delta x} f(t)\,dt։
\]
Եթե ​​\(\Delta x\)-ը փոքր է, այս ինտեգրալը մոտավորապես հավասար է \(f(x)\Delta x\)-ին։ Այսպիսով,
\[
\frac{F(x+\Դելտա x)-F(x)}{\Դելտա x}\մոտավորապես f(x).
\]
Երբ \(\Delta x\to 0\), մոտավորությունը դառնում է ճշգրիտ, այնպես որ \(F'(x)=f(x)\).

Պարզ օրինակ
Ենթադրենք՝ f(t)=2t): Սահմանել
\[
F(x)=\int_0^x 2t\,dt։
\]
Մենք գիտենք, որ \(int 2t\,dt = t^2\), հետևաբար \(F(x)=x^2\). ածանցյալը \(F'(x)=2x\) է, որը վերադարձնում է \(f(x)\)։ Սա կոնկրետ կերպով պատկերում է 1-ին մասը։

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի ձևակերպում (Մաս 2)

TFK Մաս 2-ը նշում է. եթե \(f\)-ն անընդհատ է \(a,b]\)-ի վրա և \(F\)-ն \(f\)-ի հակաածանցյալն է (այսինքն՝ \(F'(x)=f(x)\)), ապա
\[
\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]

Սա թեորեմի ամենահաճախ օգտագործվող ձևն է ինտեգրալային հաշվարկներում։ Այն նշում է, որ որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար մեզ այլևս անհրաժեշտ չէ ուղղակիորեն կիրառել Ռիմանի գումարի սահմանը. պարզապես գտեք \(F\)-ի հակաածանցյալը, այնուհետև գնահատեք այն վերին և ստորին սահմաններում։

Հաշվարկի օրինակ
Հաշվարկ՝
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx.
\]
Հակաածանցյալը հետևյալն է.
\[
F(x)=\frac{x^3}{3}+x։
\]
Այսպիսով՝
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx = \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{1^3}{3}+1\right)
= \left(9+3\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)
=12-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.
\]
Առանց TFK-ի, մենք ստիպված կլինեինք ինտեգրալը սահմանել որպես ուղղանկյունների մակերեսների գումարի սահման և հաշվարկել սահմանը՝ շատ ավելի երկար ժամանակով։

Ինչո՞ւ է այն կոչվում «հիմնարար»։

Այս թեորեմը հիմնարար է, քանի որ՝

1. Միավորել հաշվարկի երկու հիմնական հասկացությունները՝ ածանցյալ (փոփոխություն) և ինտեգրալ (կուտակում):
2. Ներկայացնում է գործնական մեթոդ. որոշակի ինտեգրալները կարող են հաշվարկվել հակաածանցյալների միջոցով։
3. Հիմնված է բազմաթիվ կիրառությունների վրա՝ ֆիզիկա (աշխատանք և էներգիա), վիճակագրություն (բաշխում և հնարավորություններ), տնտեսագիտություն (ընդհանուր արժեք ընդդեմ սահմանային արժեքի), կենսաբանություն (բնակչության աճ) և այլն։

Հայեցակարգային առումով, հաշվարկը դառնում է հետևողական գործիք. մենք կարող ենք հեշտությամբ անցնել «տոկոսադրույքի» և «ընդհանուր» մոդելների միջև։

Հաճախակի հայտնվող հավելվածներ

1. Հեռավորությունը արագությունից
Եթե ​​\(v(t)\)-ն արագությունն է, ապա զուտ տեղաշարժը կլինի՝
\[
s(b)-s(a)=\int_a^bv(t)\,dt.
\]
Սա ուղիղ TFK մաս 2-ից է, եթե \(v(t)=s'(t)\)։ Եթե \(v(t)\)-ը երբեմն բացասական է, ինտեգրալը տալիս է զուտ տեղաշարժը. ընդհանուր հեռավորության համար այն սովորաբար հաշվարկվում է որպես \(\int_a^b |v(t)|\,dt\)։

2. Փոփոխության տեմպի կուտակում
Եթե ​​բաքը լցվում է \(r(t)\) լիտր/րոպե արագությամբ, ապա \(a,b]\) միջակայքում մտնող ծավալը \(\int_a^br(t)\, dt\ է։ Եթե կա և՛ ներհոսք, և՛ արտահոսքի արագություն, ապա ծավալի զուտ փոփոխությունը (ներհոսք − արտահոսք)-ի ինտեգրալն է։

3. Ինտեգրալների միջին արժեքի թեորեմ
TFK-ից առաջանում են տարբեր հետևանքներ, ինչպիսիք են ֆունկցիայի միջին արժեքը՝
\[
f_{\text{միջին}}=\frac{1}{ba}\int_a^bf(x)\,dx։
\]
Սա կարևոր է տվյալների վերլուծության և մոդելավորման մեջ։

Կարևոր նշումներ՝ պայմաններ և դրույթներ

TFK-ն սովորաբար պահանջում է \(f\) ֆունկցիայի անընդհատությունը տվյալ միջակայքում, որպեսզի դրա արտահայտությունը լինի հարթ։ Հետագա ուսումնասիրություններում այս թեորեմը կարող է ընդլայնվել այն ֆունկցիաների համար, որոնք պարտադիր չէ, որ անընդհատ լինեն (օրինակ՝ ֆունկցիաներ, որոնք որոշակի պայմաններում ինտեգրելի են Ռիմանի կամ Լեբեգիի կողմից), բայց տարրական հաշվարկի համար անընդհատության ենթադրությունը ստանդարտ է։

Ավելին, որոշակի ինտեգրալները տալիս են նշանային մակերեսներ, որոնք միշտ չէ, որ «մաքուր երկրաչափական մակերեսներ» են։ Եթե գրաֆիկը x առանցքից ցածր է, ինտեգրալը բացասական է։ Երկրաչափական մակերեսների համար սովորաբար օգտագործվում են բացարձակ արժեքներ կամ միջակայքային բաժանումներ։

Penutup

Հաշվարկի հիմնարար թեորեմը ածանցյալն ու ինտեգրալը միավորող միջուկն է: Մաս 1-ը ցույց տվեց, որ անընդհատ ֆունկցիայի կուտակումը, երբ դիֆերենցվում է, վերադառնում է սկզբնական ֆունկցիային: Մաս 2-ը ցույց տվեց որոշյալ ինտեգրալներ հաշվարկելու արագ եղանակ. պարզապես գտեք հակաածանցյալը և գնահատեք տարբերությունը սահմաններում: Այս թեորեմի միջոցով հաշվարկը դառնում է ոչ միայն մաթեմատիկական տեխնիկայի հավաքածու, այլև աշխարհը հասկանալու էլեգանտ շրջանակ. թե ինչպես են իրերը փոխվում ժամանակի ընթացքում, և ինչպես են այդ փոփոխությունները կուտակվում մինչև ընդհանուր գումար:

Եթե ​​հետագայում ուսումնասիրեք ինտեգրման մեթոդներ, դիֆերենցիալ հավասարումներ կամ ֆիզիկական մոդելներ, կշարունակեք տեսնել TFK-ի աշխատանքը կուլիսներում՝ որպես «կամուրջ», որը հաշվարկը դարձնում է այդքան հզոր գործիք։