Հավանականության խնդիրներ լուծելու հեշտ միջոց

Հավանականության խնդիրներ լուծելու հեշտ միջոց

Հավանականությունը դպրոցներում հաճախ հանդիպող մաթեմատիկական թեմա է՝ առօրյա կյանքին մոտ լինելու պատճառով. սկսած զառի վրա թվի հայտնվելու հավանականությունից մինչև տուփից գունավոր գնդիկ հանելը, մինչև տվյալների հիման վրա իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը: Ցավոք, շատ աշակերտներ հավանականությունը «խճճված» են համարում, քանի որ խնդիրները թվում են պարզ, բայց պատասխանները կարող են սխալ լինել, եթե ուշադիր չքննարկվեն: Այնուամենայնիվ, կա հավանականության խնդիրները լուծելու բավականին հեշտ և համակարգված միջոց. հասկանալ հիմնական հասկացությունները, որոշել խնդրի տեսակը, ապա ընտրել ճիշտ ռազմավարությունը:

Այս հոդվածում կքննարկվեն գործնական քայլեր, որոնք կօգնեն ձեզ ավելի արագ և ճշգրիտ աշխատել հավանականության խնդիրների վրա։

-

1. Հասկացեք հնարավորության հիմնական գաղափարը

Ընդհանուր առմամբ, A իրադարձության հավանականությունը գրվում է հետևյալ կերպ.

\[
P(A) = \frac{\text{արդյունքների քանակը, որոնք հաստատում են }A}{\text{բոլոր հնարավոր արդյունքների քանակը}}
\]

Գաղտնիքը թաքնված է երկու բանի մեջ.

1. Նմուշային տարածություն (S). բոլոր հնարավոր արդյունքները, որոնք կարող են տեղի ունենալ։
2. Իրադարձություն (A). նմուշային տարածության այն մասը, որը համապատասխանում է տրված հարցին։

Եթե ​​բոլոր արդյունքները հավասարապես հավանական են (օրինակ՝ արդար զառեր, արդար մետաղադրամներ), ապա վերը նշված բանաձևը կարող է ուղղակիորեն օգտագործվել: Եթե դրանք հավասարապես հավանական չեն, հավանականությունները սովորաբար հաշվարկվում են այլ մոդելներից (օրինակ՝ հաճախականության տվյալներ կամ պայմանական հավանականություն):

-

2. Հնարավորությունների խնդիրները լուծելու արագ քայլեր

Խուսափելու համար կորչելուց, օգտագործեք հետևյալ «աշխատանքային բանաձևը».

1. Գրեք, թե ինչ է խնդրվում (ինչ իրադարձության համար է խնդրվում):
2. Որոշեք ընտրանքային տարածքը (քանի՞ հնարավոր արդյունք կա):
3. Հաշվարկեք այն արդյունքները, որոնք հաստատում են պահանջվող իրադարձությունը։
4. Շահույթի բաշխումը նպաստում է ընդհանուր արդյունքներին
5. Պարզեցրեք կոտորակը և համոզվեք, որ այն տրամաբանական է (հավանականությունը պետք է լինի 0-ի և 1-ի միջև):

Սխալների մեծ մասը տեղի է ունենում, քանի որ 2-րդ և 3-րդ քայլերը հստակեցված չեն։

-

3. Անհրաժեշտության դեպքում օգտագործեք աղյուսակներ, ծառաձև դիագրամներ կամ ցուցակներ:

Երկու կամ ավելի փորձ ներառող խնդիրների համար (օրինակ՝ երկու անգամ մետաղադրամ նետել, երկու անգամ քարտ հանել) տեսողական մեթոդները շատ օգտակար են։

ա) Աղյուսակ
Հարմար է երկու պարզ փոփոխականների համար, օրինակ՝ մետաղադրամների և զառերի։

բ) Ծառային դիագրամ
Հարմար է քայլ առ քայլ փորձերի համար, հատկապես, եթե կա «վերադարձ չկա» պայման (օբյեկտների քանակը փոխվում է):

գ) Նմուշային տարածության անդամների ցանկ
Հարմար է փոքր նմուշային տարածքների համար։

Այս կերպ, դուք պետք չէ գուշակեք։

-

4. Դասական հավանականության հարցեր և արագ լուծումներ

Ա. Զառերի վրա հավանականություն
Զառերը ունեն 6 կողմ՝ \(\{1,2,3,4,5,6\}\)

Օրինակ՝ զույգ թիվ ստանալու հավանականությունը։

– Նմուշային տարածություն \(S = 6\)
– \(A = \{2,4,6\}\) իրադարձությունը 3 է
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)

Արագ հնարք. միշտ հաշվեք «քանի՞սն են լցվել»՝ «ընդհանուր 6»-ի փոխարեն։

-

Բ. Հնարավորություն մետաղադրամի վրա
Մեդալն ունի երկու կողմ՝ գլուխներ (A) և գլուխներ (G):

Օրինակ՝ նկար ստանալու հավանականությունը, երբ մետաղադրամը նետվում է 1 անգամ։
– Ընդհանուր 2
– Աջակցություն 1
– Հնարավորություն \(=1/2\)

Եթե ​​երկու անգամ նետվի՝
– Նմուշային տարածք՝ \(\{AA, AG, GA, GG\}\) ընդհանուր 4

Հուշում. անկախ փորձերի համար ընդհանուր հավանականությունը սովորաբար \(2^n\) է (մետաղադրամների համար) և \(6^n\) (զառերի համար):

-

Գ. Գնդակը տուգանային հրապարակից վերցնելու հավանականությունը (փոխարինմամբ և առանց փոխարինման)

Օրինակ՝ տուփում կա 3 կարմիր և 2 կապույտ գնդակ (ընդհանուր 5):

1) Վերադարձով
Վերցրեք 2 անգամ, ամեն անգամ, երբ գնդակը վերադարձվում է։ Կարմիրը, ապա կապույտը վերցնելու հավանականությունը՝
– Կարմիրի հավանականություն՝ \(3/5\)
– Ապա կապույտ (քանի որ այն վերադարձվել է, մնում է): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)

2) Վերադարձ չկա
Վերցրեք 2 անգամ առանց վերադարձի։ Կարմիրի, ապա կապույտի հավանականությունը՝
– Առաջին կարմիրի գործակիցները՝ \(3/5\)
– Մնացել է 4 գնդակ, մնացած կապույտը մնում է 2 → երկրորդ կապույտի հավանականությունը՝ \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)

Հիմնական տարբերությունն այն է, որ առանց փոխարինման, հայտարարը փոխվում է, քանի որ գնդակների ընդհանուր թիվը նվազում է։

-

5. Օգտագործեք գումարման և լրացման կանոնները

Ա. Գումարման կանոն (ԿԱՄ)
Եթե ​​խնդրեն «A կամ B» գործակիցներ, օգտագործեք՝

\[
P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B)
\]

– \(A \բաժակ B\): A կամ B (կամ երկուսն էլ)
– \(A \cap B\): A-ն և B-ն միաժամանակ

Պարզ օրինակ՝ զառ, զույգ թիվ կամ 3-ի բազմապատիկ ստանալու հավանականությունը։
– Զույգ՝ {2,4,6} → 3
– 3-ի բազմապատիկներ՝ {3,6} → 2
– Կտորներ (զույգ և 3-ի բազմապատիկներ): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)

Բ. Լրացում (հակառակ)
Հաճախ ավելի հեշտ է հաշվել «չտեղի ունենալը» և այնուհետև հանել այն 1-ից։

\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]

Օրինակ՝ մետաղադրամը 3 անգամ նետելիս առնվազն մեկ անգամ «գլուխ» հայտնվելու հավանականությունը։
Թիվը 1, 2, 3 անգամ հաշվելու փոխարեն հաշվեք դրա լրացիչը՝
– Լրացում՝ թվեր չկան = բոլոր թվերը (ԳԳԳ)
– \(P(\text{ԳԳԳ}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Այսպիսով՝ \(P(\text{նվազագույնը 1 թիվ}) = 1 – 1/8 = 7/8\)

Այս հնարքը շատ տարածված է «առնվազն մեկ», «առնվազն մեկ», «ամենաքիչը» հարցերի համար։

-

6. Պայմանական գործակիցներ. ուշադրություն դարձրեք լրացուցիչ տեղեկատվությանը

Պայմանական հավանականությունը նշանակում է A-ի տեղի ունենալու հավանականությունը, եթե B-ն արդեն տեղի է ունեցել։

\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]

Այս տեսակի հարցը սովորաբար ի հայտ է գալիս, երբ կա լրացուցիչ տեղեկատվություն, օրինակ՝ «հայտնի է, որ կարմիր գնդակը նկարվել է» կամ «հայտնի է, որ ընտրված ուսանողուհին աղջիկ է եղել»։

Հեշտ ճանապարհը՝
1. Կենտրոնացեք B պայմանի վրա (ենթադրենք, որ նմուշային տարածքը նեղանում է միայն B-ի վրա)
2. B-ին համապատասխանողներից հաշվեք նաև A-ին համապատասխանողները։

-

7. Ամենատարածված սխալները

1. Մոռացել եմ փոխել նմուշային տարածքը, երբ փոխարինում չկար։
2. «Կամ» բառի սխալ մեկնաբանություն (երբեմն նշանակում է երկուսն էլ):
3. «Նվազագույն» / «ամենաշատ» բառերի հետ ճշգրիտ չլինելը. ավելի լավ է օգտագործել լրացումներ։
4. Ենթադրելով, որ իրադարձությունները անկախ են, երբ դրանք այդպիսին չեն (առանց վերադարձի՝ դրանք անկախ չեն):
5. Մի՛ պարզեցրեք և մի՛ ստուգեք տրամաբանությունը (հավանականության արդյունքը չպետք է >1 լինի):

-

8. Կիրառեք խորհուրդներ՝ արագ հմտանալու համար

– Սովորեք գրել՝ \(S\), \(A\), բազմանդամ \(n(S)\), \(n(A)\)։
– Կատարել «երկփուլ» խնդիրների պրակտիկա ծառային դիագրամներով։
– Կատարեք «առնվազն մեկ» հարցի պարապմունք՝ լրացնելով արտահայտությունները։
– Երբ պատասխան ունենաք, ստուգեք՝ արդյո՞ք դա իմաստ ունի։ Եթե որևէ իրադարձության հավանականությունը «հավանական է տեղի ունենալու», դրա արժեքը սովորաբար ավելի մոտ է 1-ին, այլ ոչ թե 0-ին։

-

Penutup

Հավանականության խնդիրների լուծումը իրականում հեշտ է, եթե հետևողականորեն կիրառեք համակարգված քայլեր. սահմանեք նմուշային տարածքը, որոշեք իրադարձությունները, ապա հաշվարկեք հարաբերակցությունը: Ավելի բարդ խնդիրների համար օգտագործեք տեսողական միջոցներ, ինչպիսիք են աղյուսակները կամ ծառաձև դիագրամները, և օգտագործեք գումարման, բազմապատկման և լրացման կանոնները: Բավարար պրակտիկայի և խնդիրների ուշադիր ընթերցման դեպքում հավանականությունն այլևս «խաբեություն» չի թվա, այլ կդառնա մաթեմատիկայի մի մաս, որն իրականում հաճելի է, քանի որ այն մոտ է առօրյա իրադարձություններին:

Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եմ նաև կազմել հավանականության հարցերի 10 օրինակ՝ դրանց բացատրություններով (հեշտից մինչև դժվար), որպեսզի կարողանաք անմիջապես պարապել։