Ֆիզիկայի վեկտորի օրինակելի հարցեր

Վեկտորները ֆիզիկայում կարևոր հասկացություն են, որոնք օգտագործվում են մեծություններ ներկայացնելու համար՝ ինչպես մեծությամբ, այնպես էլ ուղղությամբ: Ֆիզիկայում վեկտորները հաճախ օգտագործվում են տարբեր երևույթներ, ինչպիսիք են ուժը, արագությունը, արագացումը և այլն, նկարագրելու համար: Այս հոդվածում կքննարկվեն ֆիզիկայի վեկտորային խնդիրների մի քանի օրինակներ՝ դրանց լուծումներով և բացատրություններով:

1. Վեկտորների գումարում և հանում

Օրինակ՝ հարց 1:
Երկու վեկտորները՝ \(\mathbf{A}\) և \(\mathbf{B}\) տրված են հետևյալ կերպ՝
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]

Հաշվարկել՝
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)

Լուծում.
Երկու վեկտոր գումարելու համար մենք առանձին-առանձին գումարում ենք դրանց բաղադրիչները։

1. \(A + B):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]

2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

Այսպիսով, արդյունքը հետևյալն է.
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

2. Սկալյար բազմապատկում (կետային արտադրյալ)

Օրինակ՝ հարց 2:
Երկու վեկտորները՝ \(\mathbf{C}\) և \(\mathbf{D}\) տրված են հետևյալ կերպ՝
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]

Հաշվարկեք \(\mathbf{C}\) և \(\mathbf{D}\) սկալյար արտադրյալը (կետային արտադրյալը):

Լուծում.
Երկու վեկտորների՝ C և D սկալյար արտադրյալը հետևյալն է՝
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]

Այսպիսով, \(\mathbf{C}\) և \(\mathbf{D}\) սկալյար արտադրյալի արդյունքը 26 է։

3. Խաչաձև արտադրյալ

Օրինակ՝ հարց 3:
Երկու վեկտորները՝ \(\mathbf{E}\) և \(\mathbf{F}\) տրված են հետևյալ կերպ՝
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]

Հաշվարկել \(\mathbf{E}\) և \(\mathbf{F}\) խաչաձև արտադրյալը։

Լուծում.
Երկու \(\mathbf{E}\) և \(\mathbf{F}\) վեկտորների խաչաձև արտադրյալը կարելի է հաշվարկել մատրիցային որոշիչի միջոցով՝
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \սկիզբ{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 և 2 և 3 \\
4 և 5 և 6
\end{vmatrix}
\]

Հաշվարկեք մատրիցի որոշիչը՝
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2 \c անել
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

Այսպիսով, \(\mathbf{E}\) և \(\mathbf{F}\) խաչաձև արտադրյալի արդյունքը հետևյալն է՝
\[
\mathbf{E} \անգամ \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

4. Վեկտորային մեծություն

Օրինակ՝ հարց 4:
Տրված է վեկտորը՝ \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}): Հաշվարկեք վեկտորի \(\mathbf{G}\) մեծությունը (երկարությունը):

Լուծում.
Վեկտորի \(\mathbf{G}\) մեծությունը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]

Այսպիսով, G վեկտորի մեծությունը 5 է։

5. Վեկտորային լուծաչափ

Օրինակ՝ հարց 5:
H վեկտորն ունի 10 միավոր մեծություն և x առանցքի հետ կազմում է 30° անկյուն։ Որոշեք H վեկտորի բաղադրիչները x և y առանցքների վրա։

Լուծում.
x (\(\mathbf{H}_x\)) և y (\(\mathbf{H}_y\)) առանցքների վրա վեկտորի \(\mathbf{H}\) բաղադրիչները կարելի է հաշվարկել եռանկյունաչափության միջոցով՝
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos (\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \ sin (\ theta)
\]

\(|\mathbf{H}| = 10\) և \(\theta = 30°\) դեպքում՝
\[
H_x = 10 cos(30°)
\]
\[
H_y = 10 sin(30°)
\]

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) և \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) ֆունկցիաների արժեքները՝
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
H_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]

Այսպիսով, H վեկտորի բաղադրիչներն են՝
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]

Եզրակացություն

Այս հոդվածում մենք քննարկել ենք ֆիզիկայում վեկտորների հետ կապված մի քանի օրինակելի խնդիրներ՝ վեկտորների գումարումից և հանումից, սկալյար և խաչաձև բազմապատկումից մինչև վեկտորային մեծություն և լուծաչափ։ Վեկտորների հասկացության և դրանց գործողության սկզբունքի ըմբռնումը կարևոր է ֆիզիկայում, քանի որ շատ բնական երևույթներ կարելի է բացատրել վեկտորների միջոցով։ Հուսով ենք, որ այս օրինակելի խնդիրները կօգնեն ձեզ ավելի խորը հասկանալ վեկտորների հասկացությունը։