Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են շրջանակները և ակորդները

Օրինակելի հարցեր և քննարկում շրջանակների և ակորդների վերաբերյալ

Շրջանակը մաթեմատիկայում հաճախ ուսումնասիրվող հիմնական երկրաչափական ձևերից մեկն է: Շրջանակների հետ կապված կարևոր հասկացություններից մեկը լարն է, որը շրջանագծի երկու կետերը միացնող գիծ է՝ առանց կենտրոնով անցնելու: Շրջանակների և լարերի հասկացողությունը կարևոր է երկրաչափությունն ուսումնասիրելու համար: Այս հոդվածում կքննարկվեն շրջանագծերի և լարերի հետ կապված մի քանի օրինակելի խնդիրներ և քննարկումներ՝ այս հասկացությունների մեր հասկացողությունը խորացնելու համար:

Հիմնական հասկացողություն

Շրջան
Շրջանակը հարթության բոլոր կետերի ամբողջություն է, որոնք հավասարահեռ են կենտրոն կոչվող տրված կետից։ Եթե շրջանագծի կենտրոնը O կետն է, իսկ շրջանագծի շառավիղը՝ r, ապա շրջանագիծը կարելի է ներկայացնել (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² հավասարմամբ՝ կարտեզյան ձևով։

Աղեղնավոր լար
Շրջանագծի լարը մի գիծ է, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետերը։ Լարի երկարությունը կախված է ոչ միայն շրջանագծի շառավղից, այլև դրան ուղղված կենտրոնական անկյան մեծությունից։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Հարց 1:
Հարց՝ Տրված է 10 սմ շառավղով շրջանագիծ և 16 սմ երկարությամբ AB լար։ Որոշեք շրջանագծի կենտրոնից մինչև լարը ամենակարճ հեռավորությունը։

Քննարկում.
Շրջանագծի կենտրոնից մինչև լարը հեռավորությունը գտնելու համար կարող ենք օգտագործել ուղղանկյուն եռանկյան բանաձևը, որը կազմվում է շառավղի, կենտրոնից մինչև լարը հեռավորության և լարի երկարության կեսի միջև։

Ենթադրենք, որ O կետը շրջանագծի կենտրոնն է, իսկ P կետը՝ AB լարի կենտրոնում գտնվող կետը, որը ուղղահայաց է AB-ին։ Այսպիսով, OP-ն O շրջանագծի կենտրոնից մինչև AB լարը ընկած հեռավորությունն է։

OAP եռանկյան մեջ (P կետում ուղղանկյուն եռանկյուն) կարող ենք կիրառել Պյութագորասի թեորեմը.

OP² + AP² = OA²

Մենք գիտենք, որ՝
– OA (շրջանագծի շառավիղ) = 10 սմ
– AB (աղեղնալարի երկարությունը) = 16 սմ, հետևաբար AP = 16/2 = 8 սմ։

Փոխարինեք հայտնի արժեքները հավասարման մեջ.

OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
ԳՊ = √36
ԳՊ = 6

Այսպիսով, շրջանագծի կենտրոնից մինչև լարը ամենակարճ հեռավորությունը 6 սմ է։

Հարց 2:
Հարց՝ O կենտրոնով շրջանագիծն ունի 8 սմ շառավղ։ AB լարը կազմում է 120° ∠AOB կենտրոնական անկյուն։ Որոշեք AB լարի երկարությունը։

Քննարկում.
Կենտրոնական անկյունը (θ) կազմող լարի երկարությունը հաշվարկելու համար կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևը՝

AB = 2 × r × sin(θ/2)

Որտեղ՝
– r-ը շրջանագծի շառավիղն է (այս հարցում՝ 8 սմ):
– θ-ն շրջանագծի կենտրոնում լարի կազմած անկյունն է (այս խնդրի մեջ՝ 120°):

Փոխարինեք հայտնի արժեքները՝

AB = 2 × 8 սմ × մեղք (120°/2)
AB = 16 սմ × sin(60°)
AB = 16 սմ × (√3 / 2)
AB = 8√3 սմ

Այսպիսով, AB լարի երկարությունը 8√3 սմ է։

Հարց 3:
Հարց՝ 13 սմ շառավղով և AB լարով շրջանագիծը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնից 5 սմ հեռավորության վրա։ Որոշեք AB լարի երկարությունը։

Քննարկում.
Այս դեպքում մենք կարող ենք օգտագործել ձևավորված ուղղանկյուն եռանկյունին՝ լարի երկարությունը գտնելու համար։ Ենթադրենք O կետը շրջանագծի կենտրոնն է, P կետը՝ կենտրոնին ամենամոտ լարի վրա գտնվող կետը, իսկ AB-ն՝ լարը։

Մենք գիտենք՝
– OA (շրջանագծի շառավիղ) = 13 սմ
– OP (կենտրոնական հեռավորությունը աղեղնալարից) = 5 սմ։

OAP եռանկյան մեջ՝

OP² + AP² = OA²

Մենք գտնում ենք AP-ն (ակորդի երկարության կեսը).

5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12

Այսպիսով, AB լարի երկարությունը հավասար է 2 × AP = 2 × 12 = 24 սմ-ի։

Հարց 4:
Հարց՝ Տրված է 10 սմ շառավղով շրջանագիծ։ AB լարը 12 սմ երկարություն ունի։ Որոշեք ∠AOB կենտրոնական անկյան մեծությունը։

Քննարկում.
Այս դեպքում, մենք պետք է օգտագործենք եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հակադարձը՝ ∠AOB կենտրոնական անկյունը որոշելու համար: Հիմնվելով կենտրոնական անկյուն θ-ն ներառող լարի երկարության բանաձևի վրա, կարող ենք վերաշարադրել բանաձևը՝ θ-ն հաշվարկելու համար.

AB = 2 × r × sin(θ/2)

Որտեղ՝
– r-ը շրջանագծի շառավիղն է (10 սմ)
– AB-ն աղեղնալարի երկարությունն է (12 սմ):

Կառուցեք հավասարում՝ sin(θ/2)-ը մեկուսացնելու համար։

12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6

Գտեք θ/2-ի արժեքը։

θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°

Այսպիսով,

θ = 2 × 36.87° = 73.74°

Այսպիսով, ∠AOB կենտրոնական անկյունը 73.74° է։

Եզրակացություն
Շրջանագծերի և լարերի ուսումնասիրությունը պահանջում է երկրաչափության և եռանկյունաչափության հիմունքների ըմբռնում: Վերը նշված օրինակներում մենք տեսանք, թե ինչպես օգտագործել տարբեր բանաձևեր և թեորեմներ, ինչպիսիք են Պյութագորասի թեորեմը, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և շրջանագծերի հիմնական հատկությունները, խնդիրներ լուծելու համար:

Այս գործնական խնդիրների միջոցով հույս կա, որ կարելի է ավելի խորը հասկանալ շառավղի, լարի երկարության և արդյունքում ստացված կենտրոնական անկյան միջև եղած կապը։ Այս հասկացության հասկացումը օգտակար է ոչ միայն դպրոցական մաթեմատիկայում, այլև գիտության և ճարտարագիտության տարբեր ոլորտներում առօրյա կիրառություններում։