A lövedék mozgása

Cikk a lövedék mozgásáról és példafeladatok megoldásokkal

Kezdősebesség (v_o) és a kezdeti sebesség komponensei (v_ox és v_oy)

Egy olyan tárgy, amelynek parabolikus mozgásai mindig rendelkeznek kezdeti sebességgel. Mivel a parabolikus mozgás vízszintes és függőleges irányú mozgások kombinációja, a kezdeti sebességnek is vannak vízszintes és függőleges összetevői.

Ha a tárgy parabolikusan mozog, mint az 1. és 3. ábrán, akkor a vízszintes irányú kezdeti sebességet (v _ox ) és a függőleges irányú kezdeti sebességet (v _oy ) a következő egyenlettel számítjuk ki:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ha a tárgy parabolikusan mozog, ahogy a 2. ábra mutatja, akkor v _o = v _ox (v _yoy = 0)

Sebesség (v_x és v_y) és pozíció (x és y)

A vízszintes és függőleges irányú sebességet egy bizonyos időintervallumban a következő egyenlettel számítjuk ki:

v _x = v _ox = állandó ( egyenletes lineáris mozgás )

v _y = v _oy + gt vagy v _y ² = v _oy ² + 2 gh (szabadon eső mozgás)

Az objektumok vízszintes (x) és függőleges (y) irányú helyzetét egy bizonyos időintervallumban a következő egyenlettel számítjuk ki:

x = v _ox t

y = v _y t + 1⁄2 gt ²

A sebesség (v) és a pozíció (h) eredője

Az adott időintervallumban mért eredő sebességet a következő egyenlettel számítjuk ki:

Az objektumok irányát egy bizonyos időintervallumban a következő egyenlettel számítjuk ki:

Megjegyzések:

1. A parabolamozgás vízszintes komponensét egyenletes lineáris mozgásnak tekintjük, tehát a vox = vx mindig állandó.

2. A parabolamozgás függőleges komponensét szabadesésnek tekintjük, tehát ha a tárgy parabolikusan mozog, ahogy az 1. és 3. ábrán látható, akkor a tárgy sebességének függőleges komponense a maximális magasságon nulla (v _y = 0). Ha egy üveggolyót függőlegesen felfelé dobunk a maximális magasságban, a tárgy egy pillanatig nyugalomban van (v _y = 0), mielőtt lefelé fordulna. Ezért a parabolát maximális magasságban mozgató tárgy sebessége = v _x = v _ox

3. Ha a tárgy parabolikusan mozog, ahogy a 2. ábra mutatja, akkor a parabolikus mozgás függőleges komponensét szabadesésnek tekintjük. Ha a tárgy parabolikusan mozog, ahogy az 1. és 3. ábra mutatja, akkor a parabolikus mozgás függőleges komponensét felfelé irányuló függőleges mozgásnak tekintjük.

Mintafeladatok:

1. Egy golyót vízszintes irányban lőnek ki 20 m/s kezdősebességgel. Ha a fegyver 5 méterrel a talaj felett van, határozza meg:

(a) levegőn töltött idő

(b) a maximális magasság

(c) a vízszintes távolság

(d) a golyó sebessége a talajt csapódáskor

Megoldás:

A vízszintes irányú mozgást egyenletes egyenes vonalú mozgásként, míg a függőleges irányú mozgást szabadon eső mozgásként elemezzük.

Ismert:

v _ox = 20 m/s, v _y = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Levegőben töltött idő

A megoldás a szabadesésben eltelt idő (t) meghatározása.

Ismert: v = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m _/ ^s²

Keresett: t

b) A maximális magasság

Maximális magasság = h = 5 méter.

c) Vízszintes távolság (d)

A megoldás olyan, mintha meghatároznánk az egyenletes lineáris mozgás távolságát

Ismert: v _ox = 20 m/s, t = 1 másodperc

Keresett: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Sebesség, amikor a golyó földet ér

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Először kiszámítjuk a függőleges irányú végső sebességet (vty). A megoldás hasonló a szabadesés mozgásának végső sebességének meghatározásához.

Ismert: vₙ = 0, g = 9.8 m/s² _, ^t = 1 s

Keresett: v _ty

vt ₌ v0 ₊ gt —> vo = 0

v _t = gt

vt ₌ (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

A golyó sebessége földet csapódáskor:

Golyó iránya:

Mivel a v _tx a pozitív x tengely irányába (jobbra), a v _ty pedig a negatív y tengely irányába (lefelé) mutat,

A golyó iránya, amikor a talajt éri, -26.1 ^°-kal van a pozitív x tengelyhez képest (lásd az alábbi ábrát).

^{2. Az ágyú a vízszinteshez képest 30 fokos} szögben , 60 m/s sebességgel lőtt ki egy golyót . Határozza meg:

(a) a maximális magasság

(b) a golyó sebessége a maximális magasságban

(c) levegőn töltött idő

(d) a vízszintes távolság

(e) a golyó sebessége, amikor földet ér. Tegyük fel, hogy a talaj sík. 🙂

Megoldás:

A vízszintes irányú mozgást az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz hasonlóan, a függőleges irányú mozgást pedig a felfelé irányuló függőleges mozgáshoz hasonlóan elemezzük.

Ismert: v _o = 60 m/s, théta = 30 ^o.

Az ismert adatok alapján először kiszámítjuk a kezdeti sebesség (v _{o ) függőleges (v oy} ) és vízszintes (v _ox ) komponensét.

a) A maximális magasság (h)

A megoldás olyan, mintha meghatároznánk a felfelé irányuló függőleges mozgás maximális magasságát.

Ismert:

v _ox = v _o cos θ = (60) (cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60) (sin 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

a) Maximális magasság (h)

A megoldás olyan, mintha meghatároznánk a függőleges felfelé irányuló mozgás maximális magasságát.

Ismert:

v _oy = 30 m/s (ez a golyó kezdeti sebessége)

v _ty = 0 m/s (A maximális magasságban a golyó függőleges sebessége = 0 m/s. Ez a végső sebesség.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Keresett: h

vt² = _v0² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) óra

0 = 900 – 19.6 óra

900 = 19.6 óra

h = 900/19.6

h = 45.9 méter

A golyó által elért maximális magasság = 45.9 méter.

b) A sebesség a maximális magasságon

A maximális magasságon a függőleges irányú sebesség = 0 m/s. A maximális magasságon csak vízszintes irányú sebesség van. A maximális magasságon a vízszintes irányú sebesség megegyezik a vízszintes irányú kezdeti sebességgel, ami 52.2 m/s. A vízszintes irányú sebesség iránya mindig állandó, azaz a pozitív x tengely irányába mutat (ha egy tárgy mozgását a fenti ábra leírja).

c) A levegőben töltött idő

A megoldás hasonló ahhoz, mintha a függőleges felfelé mozgás tárgyalásakor meghatároznánk az időintervallumot (t).

Ismert:

v _oy = 30 m/s (ez a golyó kezdeti sebessége függőleges irányban)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (amikor a golyó visszatér a talajra, a golyó függőleges irányú elmozdulása = 0 m)

Keresett: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t2

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 másodperc

Levegőben töltött idő = 6.12 másodperc

d) Vízszintes távolság (d)

A megoldás olyan, mintha az egyenletes egyenes vonalú mozgáson meghatároznánk a távolságot (d).

Ismert:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 másodperc

Keresett: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 másodperc) = 319.5 m

e) Sebesség, amikor a golyó földet ér

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Először kiszámítjuk a függőleges irányú végsebességet (v/ _ty ). A megoldás a függőleges felfelé mozgás végsebességének meghatározása.

Keresett idő: v _OY = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 másodperc

Keresett: v _ty

v _ty = v _yoy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

A negatív előjel azt jelzi, hogy a végsebesség iránya lefelé irányul. Megjegyzendő, hogy a függőleges irányú kezdeti sebesség megegyezik a függőleges irányú végsebességgel.

A golyó sebessége a földet csapódáskor:

A golyó iránya:

Mivel a v _tx a pozitív x tengely irányába (jobbra), a vty pedig a negatív y tengely irányába (lefelé) mutat,

A golyó sebességének iránya, amikor a talajt éri, -30 ^°-kal eltér a pozitív x tengely körül (lásd az alábbi ábrát).

3. Egy 50 méter magas épület széléről 10 m/s kezdősebességgel dobunk el egy labdát. Ha a labdát a vízszinteshez képest 30°-os szögben dobjuk, határozzuk meg:

(a) az az idő, amely alatt a labda földet ér

(b) a labda sebessége, amikor földet ér

(c) a labda által elérhető vízszintes távolságot az épület szélétől mérik.

(d) a labda által elért maximális magasság

Megoldás:

Először kiszámítjuk a kezdeti sebesség (v _{o ) függőleges komponensét (v oy} ) és vízszintes komponensét (v _ox ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _OY = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Az idő, amíg a labda földet ér

A megoldás hasonló ahhoz, mintha meghatároznánk egy függőleges felfelé irányuló mozgás időintervallumát (t). A felfelé irányuló vektor nagyságát pozitívnak, a lefelé irányuló vektor nagyságát negatívnak választjuk. A labda dobási pozícióját választjuk vonatkoztatási pontnak. h negatív, mert a talajfelszín a vonatkoztatási pont alatt van, g negatív, mert a nehézségi gyorsulás iránya lefelé van.

Ismert:

v _y = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Keresett: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Használja a kvadratikus képletet:

A levegőben töltött idő = a labda dobásától a talajig eltelt idő = 1.64 másodperc.

b) A labda sebessége, amikor a talaj felszínére csapódik

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Először kiszámítjuk a függőleges irányú végsebességet (v/ _ty ). A megoldás hasonló a függőleges felfelé mozgás végsebességének meghatározásához.

Ismert: v _OY = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 másodperc

Keresett: v _ty

v _ty = v _yoy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

A negatív előjel azt jelzi, hogy a végső sebesség iránya lefelé mutat.

A golyó sebessége a földet csapódáskor:

A golyó sebességének iránya = a golyó mozgásának iránya, amikor földet ér:

A golyó sebessége a földet csapódáskor:

Mivel a vtx a pozitív x tengely irányában (jobbra), a vty pedig a negatív y tengely irányában (lefelé) van,

A golyó iránya, amikor a talajt éri, -52° a pozitív x tengely körül (lásd az alábbi ábrát).

c) A labda által elérhető vízszintes távolságot az épület szélétől mérik.

A megoldás hasonló ahhoz, mintha az egyenletes egyenes vonalú mozgás során megtett távolságot (d) határoznánk meg.

Ismert: t = 1.64 másodperc, v _x = 8.7 m/s

Keresett: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) A labda által elért maximális magasság

Ismert: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( a sebesség függőleges komponense a maximális magasságnál = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Keresett: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (óra)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 méter

A labda által elért maximális magasság = 1.3 méter az épület teteje felett = 1.3 m + 50 m = 51.3 méter a talaj felszíne felett.