Perdület

Perdület

A forgó mozgás nagysága, amely megegyezik a tömeggel (m) az egyenes vonalú mozgásban, a tehetetlenségi nyomaték (I). A forgó mozgás nagysága, amely megegyezik a sebességgel (v) az egyenes vonalú mozgásban, a szögsebesség (ω). Így a forgó tárgy impulzusmomentuma a következő egyenlettel számítható ki:

L = Iω

L = impulzusmomentum (kg m² ^/ s), I = tehetetlenségi nyomaték (kg m² ⁾ , ω = szögsebesség (rad/s)

A perdület mintafeladatai

1. mintafeladat.

Egy 0.5 gramm tömegű részecske állandó, 2 rad/s szögsebességgel mozog egy körben. Határozza meg a részecske impulzusmomentumát, ha a részecske pályasugara 10 cm!

Megoldás:

A részecske tehetetlenségi nyomatéka:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻³ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻³ m² ) = 0.5 x ^10⁻³ kg ^​​m²

A részecske szögsebessége:

ω = 2 rad/s

A részecske impulzusmomentuma:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ^/ s

Az impulzusmomentum-megmaradás törvénye

Az impulzusmomentum-megmaradás törvénye kimondja, hogy ha egy merev testre ható erő eredő nyomatéka forgás közben nulla, akkor a merev test forgás közbeni impulzusmomentuma mindig állandó. Az impulzusmomentum-megmaradás törvénye matematikailag levezethető Newton impulzusmomentum-törvényének egyenletének módosításával. Itt van Newton impulzusmomentum-törvényének egyenlete:

Ha az eredő erőnyomaték nulla, akkor a fenti egyenlet a következőképpen módosul:

I _t = a végső tehetetlenségi nyomaték, I _o = a kezdeti tehetetlenségi nyomaték, ω _t = a végső szögsebesség, ω _o = a kezdeti szögsebesség, L _t = a végső impulzusmomentum, L _o = a kezdeti impulzusmomentum.

A perdületmegmaradás törvényének mintafeladatai

1. mintafeladat.

Egy homogén, szilárd hengerkorong kezdetben 4 rad/s sebességgel forog a tengelye körül. A korong tömege és sugara 1 kg és 0.5 m. Ha a lemez fölé egy 0.2 kg tömegű és 0.1 m sugarú gyűrűt helyezünk, amelynek középpontja...

közvetlenül a korong középpontja felett, akkor a korong és a gyűrű együtt forog a következő szögsebességgel: ...

Megoldás:

Egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

A gyűrű tehetetlenségi nyomatéka: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Kezdeti impulzusmomentum (L1 ₎ = Végső impulzusmomentum ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Fogalmi kérdések és válaszok

1. Mi az a perdület?
   Válasz: A perdület egy tárgy tömegét és alakját figyelembe vevő forgás mértéke. Ez a lineáris perdület forgási megfelelője.
2. Hogyan határozható meg matematikailag a perdület?
   Válasz: Az impulzusmomentumot (L) a következőképpen definiáljuk: $L=r\times p$, Ahol $r$ a forgástengelytől az alkalmazási pontig terjedő pozícióvektor, és $p$ a lineáris lendület.
3. A perdület skaláris vagy vektormennyiség?
   Válasz: Az impulzusmomentum egy vektormennyiség.
4. Mi a perdület mértékegysége az SI-rendszerben?
   Válasz: Az SI-rendszerben az impulzusmomentum mértékegysége a kilogramm-méter négyzete másodpercenként (kg·m²(/s).
5. Hogyan konzerválódik a perdület?
   Válasz: Egy külső nyomatékok nélküli zárt rendszerben a teljes impulzusmomentum állandó marad.
6. Mi a perdületmegmaradás elve?
   Válasz: Az elv kimondja, hogy egy zárt rendszer teljes impulzusmomentuma állandó marad, hacsak külső nyomaték nem hat rá.
7. Hogyan viszonyul egy műkorcsolyázó pörgése a perdülethez?
   Válasz: Amikor egy műkorcsolyázó pörgés közben a teste mellé húzza a karját és a lábát, csökken a tehetetlenségi nyomatéka, aminek következtében gyorsabban pörög. Ez a perdület megmaradásának törvényét mutatja be.
8. Mi a kapcsolat a nyomaték és a perdület között?
   Válasz: Nyomaték ($\tau$) az impulzusmomentum változásának sebessége. Matematikailag τ=dL/másodperc​.
9. Lehet egy tárgynak impulzusmomentuma szögsebesség nélkül?
   Válasz: Nem, ha egy tárgynak van impulzusmomentuma, akkor van szögsebessége is. Az impulzusmomentum nagysága és iránya mind a tehetetlenségi nyomatéktól, mind a szögsebességtől függ.
10. Hogyan befolyásolja a tehetetlenségi nyomaték a perdületet?
    Válasz: Az impulzusmomentum (L) a tehetetlenségi nyomaték (I) és a szögsebesség (ω) szorzata. $L=I\omega$, egy adott szögsebesség mellett a tehetetlenségi nyomaték növekedése növeli a perdületet.
11. Mi a különbség a spin és az orbitális impulzusmomentum között a kvantummechanikában?
    Válasz: A spin-impulzusmomentum a részecskék, például az elektronok belső tulajdonsága, és nem a térben való mozgásból származik. A pálya-impulzusmomentum ezzel szemben egy részecske egy középpont körüli mozgásából származik.
12. Milyen szerepet játszik a perdület a bolygórendszerek kialakulásában?
    Válasz: Ahogy egy molekuláris felhő összeomlik, csillagokat és bolygókat hozva létre, a perdületmegmaradás törvénye miatt az anyag koronggá laposodik az újszülött csillag körül, amelyből bolygók születhetnek.
13. Hogyan tartja meg a giroszkóp a tájékozódását a térben?
    Válasz: Egy forgó giroszkóp impulzusmomentummal rendelkezik. Amikor egy külső nyomaték megpróbálja megváltoztatni az irányát, a giroszkóp precessziót végez, vagyis megváltoztatja a forgástengelyét az alkalmazott nyomatékra merőleges irányban az impulzusmomentum-megmaradás törvénye miatt.
14. Mi okozza a precessziót egy pörgőcsiga belsejében?
    Válasz: A pörgőcsiga precesszióját a gravitáció okozza, amely a tömegközéppontjára hat, amely el van tolva a forgáspontjától. Ez a nyomaték a csiga impulzusmomentumának irányának megváltozását eredményezi, ami precessziót okoz.
15. Miért lapulnak el a csillagok a pólusaikon?
    Válasz: Ahogy a csillagok forognak, centrifugális erő hat rájuk, amely kifelé nyomja az anyagot. Ez a hatás erősebb az Egyenlítőnél, mint a sarkokon, ami ellaposodott, azaz lapos alakot hoz létre.
16. Hogyan kapcsolódik a perdület Kepler második törvényéhez?
    Válasz: Kepler második törvénye kimondja, hogy egy bolygót és a Napot összekötő szakasz egyenlő időközönként azonos területeket súrol. Ez az impulzusmomentum-megmaradás törvényének következménye.
17. Miért esik mindig a talpára a macska, amikor elesik?
    Válasz: A macskák a perdületmegmaradás törvényét használják. Testük csavarásával és a levegőben lévő tehetetlenségi nyomatékuk megváltoztatásával át tudják orientálni magukat, hogy talpra landoljanak anélkül, hogy megsértenék a megmaradás törvényét.
18. Hogyan kapcsolódik az elektronok mágneses momentuma az impulzusmomentumhoz?
    Válasz: Az elektron mágneses momentuma a spinjéből és a pályamomentumából származik. A mágneses momentum arányos az elektron impulzusmomentumával.
19. Mi a perdület polárkoordinátákban kifejezve?
    Válasz: Polárkoordinátákban az impulzusmomentum $L$ egy pontszerű tömegre kifejezhető $L=mrv$, Ahol $m$ a tömeg, $r$ a radiális távolság, és $v$ a tangenciális sebesség.
20. Mi történik egy zárt rendszer impulzusmomentumával, amikor két tárgy ütközik?
    Válasz: Egy zárt rendszerben, ahol két tárgy ütközik, az ütközés előtti teljes impulzusmomentum megegyezik az ütközés utáni teljes impulzusmomentummal, feltételezve, hogy a rendszerre nem hatnak külső nyomatékok.

Problémák és megoldások

1. Feladat: Egy m = 2 kg tömegű pont v = 3 m/s sebességgel mozog egy r = 4 m sugarú körben. Számítsa ki a perdületét a kör középpontja körül!

Megoldás: $L=m\times r\times v$ =2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. Feladat: Egy 3 kg tömegű és 0.5 m sugarú szilárd gömb ω = 2 rad/s szögsebességgel forog az átmérője körül. Mekkora a perdülete?

Megoldás: Tömör gömb esetén I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Feladat: Egy 3 kg tömegű pont 4 m/s sebességgel mozog egyenes vonalban. Mekkora a perdülete egy 5 m-re lévő pont körül a mozgásirányától?

Megoldás:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Feladat: Egy 5 kg tömegű és 3 m sugarú korong 2 rad/s szögsebességgel forog. Számítsa ki a perdületét!

Megoldás: ^Egy korong esetén I = 1/2 m² r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Feladat: Egy 4 m hosszú és 2 kg tömegű rúd 3 rad/s szögsebességgel forog az egyik vége körül. Határozza meg a perdületét!

Megoldás: Egy rúd egyik végénél I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Feladat: Mennyivel változik a perdület, ha egy forgó test megduplázza a szögsebességét?

Megoldás: Az impulzusmomentum (L) és a szögsebesség (ω) közötti összefüggés: $L=I\times \omega$ . Ha ω-t megduplázzuk, az impulzusmomentum is megduplázódik.

7. Probléma: Ha egy mozgó részecske körpályájának sugara megduplázódik, miközben a sebessége állandó marad, akkor hány tényezővel változik a perdület?

Megoldás: Az impulzusmomentum, $L=m\times r\times v$ . Ha r megduplázódik, L is megduplázódik.

8. Feladat: Egy 30 kg tömegű gyermek egy nyugalmi állapotban lévő körhinta szélén áll. A körhinta sugara 2 m. Ha a gyermek a széle mentén 2 m/s sebességgel kezd futni a talajhoz képest, mennyi a gyermek impulzusmomentuma a középponthoz képest?

Megoldás: $L=m\times r\times v$ =30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. Feladat: Egy 6 kg tömegű és 2 m sugarú henger 5 rad/s szögsebességgel forog a középtengelye körül. Számítsa ki a perdületét!

Megoldás: Henger esetén I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg m² ^/ s

10. Feladat: Mekkora lesz egy test új impulzusmomentuma, ha a tehetetlenségi nyomatékát a felére, a szögsebességét pedig a háromszorosára növeljük?

Megoldás: Tekintettel $L=I\times \omega -ra$ , ha $I-t$ felezzük, $\omega -t$ pedig megháromszorozzuk, akkor az új $L$ 1/2 × 3 = 1.5 × az eredeti értéke.

11. Feladat: Egy 2 kg tömegű és 1 m sugarú karika 4 rad/s szögsebességgel forog. Számítsa ki a perdületét!

Megoldás: Karika esetén I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1/ ² ×4=8 kg ^·m² /s

12. Feladat: Egy ventilátor lapátjainak hossza 0.5 m, össztömege 1 kg. Határozza meg a perdületét, ha 10 rad/s szögsebességgel forog.

Megoldás: Feltételezve, hogy a ventilátorlapátok olyanok, mint az egyik végük körül forgó rudak, I =1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg m² ^/ s

13. Feladat: Számítsa ki a Föld saját tengelye körüli forgási momentumát. Adott: A Föld tömege ⁼ 5.972 × ^10²⁴ kg , Sugár $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶rad\text{/s}$.

Megoldás: Feltételezve, hogy a Föld szilárd gömb, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Feladat: Egy gyermek egy forgó platform közepe felé mozog. A perdülete nő, csökken vagy változatlan marad?

Megoldás: Az impulzusmomentum megmarad. Ahogy a gyermek a középpont felé halad, a tehetetlenségi nyomaték csökken. Az impulzusmomentum megőrzése érdekében az szögsebesség növekszik. Így az impulzusmomentum változatlan marad.

15. Feladat: Ha egy forgó test mozgási energiája megduplázódik, hányszorosára változik a perdülete?

Megoldás: Mozgásos energia K = 1/2 I ω ² és impulzusmomentum $L=I\omega$ . Ha a mozgási energia megduplázódik, és $I$ állandó marad, akkor ω ² megduplázódik. Ez azt jelenti, hogy $\omega$ √ 2 -szeresére nő .$Így\; L$ is √ 2 -szeresére nő .

16. Feladat: Egy 0.3 m sugarú kerékpárkerék felnijének tömege 1.5 kg. Határozza meg a perdületét, ha 5 rad/s szögsebességgel forog.

Megoldás: Feltételezve, hogy a perem karikán helyezkedik el, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Probléma: Egy korcsolyázó pörgés közben befelé húzza a karjait. Mi történik a perdületével?

Megoldás: A korcsolyázó impulzusmomentuma megmarad. Karjainak behúzásával csökkenti a tehetetlenségi nyomatékát, így gyorsabban forog (növekvő szögsebességgel), hogy megőrizze az impulzusmomentumát.

18. Feladat: Egy lendkerék tehetetlenségi nyomatéka 0.2 kg.m ² kg.m ² , és 10 rad/s szögsebességgel forog. Határozza meg a perdületét!

Megoldás:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² / s^​

19. Probléma: Egy rendszerre nulla külső nettó nyomaték hat. Mit mondhatsz a perdületéről?

Megoldás: Ha a külső nettó nyomaték nulla, akkor a perdületmegmaradás törvénye szerint a rendszer teljes perdülete állandó marad.

20. Feladat: Egy m = 5 kg tömegű pont v = 3 m/s sebességgel mozog merőlegesen a P ponttal összekötő egyenesre. Ha a P ponttól való távolsága 4 m, mennyi a pont körüli impulzusmomentuma?

Megoldás:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s