Folytonossági egyenlet anyaga
Próbáld meg lassan kinyitni a vízcsapot, miközben figyeled a csapból kifolyó víz áramlását. Amint a csap abbahagyja a forgást, dugd el részben a kezével. Most hasonlítsd össze, melyik vízáramlás nagyobb. Ha részben el van dugulva, vagy nincs? Ha van egy olyan tömlőd, amelyet általában virágok öntözésére használsz, hagyd, hogy a víz átfolyjon rajta. Dugd el részben a tömlőt a kezével vagy az ujjaddal. Minél nagyobb része van eldugulva a tömlőnek, annál gyorsabban folyik ki a víz. Fordítva, ha a tömlő nincs eldugulva, a víz lassabban folyik ki. Miért van ez így? Ennek megértéséhez tanulmányozd a folytonossági egyenletet.
Áramvonalak és áramlási csövek
Először is, nézzük meg az áramvonalak és az áramlási csövek fogalmát. Ez a koncepció azért fontos, mert segít megérteni a folytonossági egyenletet.
Áramvonal
Nézd meg az alábbi képet, a kék vonal az Áramvonal.
Állandó áramlás esetén az egyes folyadékrészecskék sebessége egy pontban, mondjuk az A pontban, állandó marad. Ahogy áthaladnak a B ponton, a folyadékrészecskék sebessége megváltozhat. A B pontba érve azonban a mögöttük lévő folyadékrészecskék továbbra is ugyanolyan sebességgel áramlanak, mint az őket megelőző folyadékrészecskék. Ugyanez vonatkozik a C pontba érve is, és így tovább. Az áramvonal az A, B és C pontokat összekötő görbe.
Áramlási cső
Lényegében minden áramvonalat áthúzhatunk a folyadékáramlás minden pontján. Ha állandó folyadékáramlást veszünk figyelembe, akkor egy képzeletbeli felületen (képzeletbeli felület) egy bizonyos szögben áthaladó áramvonalak egy áramlási csövet alkotnak. Egyetlen folyadékrészecske sem metszi egymást, hanem mindig párhuzamosak, és az áramlási cső egy csőre hasonlít, amelynek mindig ugyanolyan alakja van. A cső egyik végén belépő folyadék a másik végén távozik a csőből.
tartozás
A kiáramlás egy adott keresztmetszeten átáramló folyadék térfogatát jelzi egy adott időintervallumban. Matematikailag a következőképpen fejezhető ki:
A jobb megértés érdekében vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy folyadék áramlik egy csövön keresztül. A csövek általában hengeresek és meghatározott keresztmetszetűek. A csőnek van egy hossza is.
Amikor a folyadék a csőben L-ig áramlik, akkor a csőben lévő folyadék térfogata V = AL (V = folyadéktérfogat, A = keresztmetszeti terület és L = csőhossz). Mivel az L hosszan történő áramlás során a folyadék egy bizonyos időintervallumot tesz meg, ezért a folyadékkiáramlás nagysága:
Mivel v = s/t = L/t —> L = vt, a fenti egyenlet a következőképpen módosul:
Így, amikor a folyadék egy bizonyos keresztmetszeti területű és hosszúságú csövön áramlik át egy bizonyos időtartamon keresztül, a folyadékkisülés nagysága (Q) megegyezik a keresztmetszeti felület (A) és a folyadék áramlási sebességének (v) szorzatával.
Folytonossági egyenlet
Tekintsük a folyadék áramlását egy különböző átmérőjű csőben, ahogy az az alábbi ábrán látható.
Ez a kép a folyadék áramlását mutatja balról jobbra (a folyadék egy nagy átmérőjű csőből egy kis átmérőjű csőbe áramlik). A szaggatott vonalak áramvonalakat jelölnek.
Képfelirat: A1 = a nagy átmérőjű csőszakasz keresztmetszeti területe, A2 = a kis átmérőjű csőszakasz keresztmetszeti területe, v1 = a folyadék áramlási sebessége a nagy átmérőjű csőszakaszban, v2 = a folyadék áramlási sebessége a kis átmérőjű csőszakaszban, L = a folyadék által megtett távolság.
A folyadékdinamika bevezetőjében kifejtettük, hogy a folyadékdinamikában az összenyomhatatlan, viszkózus, nem turbulens és állandó folyadékáramlást tárgyaljuk. Állandó áramlás esetén a folyadékrészecskék sebessége egy pontban megegyezik az adott ponton áthaladó többi folyadékrészecske sebességével. A folyadékáramok nem metszik egymást (az áramvonalak párhuzamosak). Ezért a cső egyik végébe belépő folyadék tömegének meg kell egyeznie a másik végén kilépő folyadék tömegével. Ha egy bizonyos tömegű folyadék belép egy nagy átmérőjű csőbe, akkor a folyadék állandó tömeggel fog kilépni a kis átmérőjű csőből.
Most nézd meg a fenti cső képét. Nézd meg a cső nagy átmérőjű és kis átmérőjű részét.
Egy bizonyos időintervallum alatt bizonyos mennyiségű folyadék áramlik át egy nagy átmérőjű (A) csőszakaszon.1) egészen L-ig1 (L1 = v1 t). Az áramló folyadék térfogata V.1 =A1 L1 =A1 v1 t. Ugyanezen időintervallum alatt egy másik mennyiségű folyadék áramlik át egy kisebb átmérőjű (A) csőszakaszon.2) egészen L-ig2 (L2 = v2 t). Az áramló folyadék térfogata V.2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Összenyomhatatlan folyadékok folytonossági egyenlete (össze nem nyomható)
Először is, vizsgáljuk meg egy összenyomhatatlan folyadék esetét. Egy összenyomhatatlan folyadékban a folyadék sűrűsége, vagyis tömege, mindig azonos minden pontban, amelyen áthalad. Az A1 keresztmetszetű csőben ( a cső nagyobb átmérője) áramló folyadék tömege egy bizonyos időintervallum alatt:
Hasonlóképpen, egy A 2 keresztmetszetű (kis csőátmérőjű) csőben áramló folyadék tömege egy bizonyos időintervallum alatt:
Figyelembe véve, hogy állandó áramlás esetén a belépő folyadék tömege megegyezik a kilépő folyadék tömegével, akkor:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (a folyadék sűrűsége és az időintervallum megegyezik, tehát kioltják egymást)
A1 vs. 1 = A2 vs. 2
Tehát összenyomhatatlan folyadékokban a folytonossági egyenlet érvényesül:
A1 v1 = A2v2 — 1. egyenlet
Információ:
A1 = 1 - es keresztmetszeti terület, A2 = 2 -es keresztmetszeti terület, v1 = folyadékáramlási sebesség az 1-es keresztmetszetben, v2 = folyadékáramlási sebesség a 2-es keresztmetszetben, Av = térfogatáram V/t, azaz kiáramlás
Az 1. egyenlet azt mutatja, hogy a térfogatáram, más néven kiáramlás, a cső vagy áramlási cső minden pontján mindig azonos. A cső keresztmetszetének csökkenésével a folyadék áramlási sebessége növekszik; fordítva, a cső keresztmetszetének növekedésével a folyadék áramlási sebessége csökken.
Amikor részben eldugaszoljuk a csapot, a víz áramlása gyorsabb lesz, mint amikor a csap részben el van zárva. Ez azért van, mert a csap keresztmetszete csökken, amikor a csap részben el van zárva, ami növeli a víz áramlási sebességét (a folyadék gyorsabban áramlik). Ugyanez igaz a tömlőkre is. Fontos azonban megjegyezni, hogy a kifolyó vagy térfogatáram a víz áramlásának minden pontján változatlan marad, függetlenül attól, hogy a csap részben el van-e zárva vagy sem. Tehát ami változik, az a folyadék áramlási sebessége.
Mi a helyzet a víz áramlásával egy folyóban? A folyó mélyebb szakaszai nagyobb keresztmetszettel rendelkeznek, mint a sekélyebbek, így a víz áramlási sebessége a mélyebb szakaszokban alacsonyabb, mint a sekélyebbekben. Ha nagyon nyugodt folyófolyást látunk, az azt jelenti, hogy a folyó mély. De ha a folyó hirtelen gyors folyásúvá válik, az a szakasz mindenképpen sekély. A víz áramlási sebessége azonban mindig azonos, akár a folyó mély, akár nyugodt szakaszairól van szó.
Összenyomható folyadékok folytonossági egyenlete (összenyomható)
Összenyomható folyadékok esetén a folyadék sűrűsége nem mindig azonos. Más szóval , a folyadék sűrűsége összenyomódáskor megváltozik. Míg az összenyomhatatlan folyadékok esetében a folyadék sűrűsége kiesik az egyenletből, ebben az esetben a folyadék sűrűsége továbbra is benne van. A korábban levezetett egyenletre hivatkozva vezessük le az összenyomható folyadékok egyenletét.
Figyelembe véve, hogy állandó áramlás esetén a belépő folyadék tömege megegyezik a kilépő folyadék tömegével, akkor:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
A folyadékáramlás időintervalluma azonos, így kiküszöbölhető. Az egyenlet a következőre változik:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 2. egyenlet
Ez egy összenyomható folyadék egyenlete. Az egyetlen különbség a folyadék sűrűségében rejlik. Amikor egy folyadékot összenyomnak, a sűrűsége megváltozik. Fordítva, amikor egy folyadék összenyomhatatlan, a sűrűsége állandó marad, és kioltódhat.
1. példakérdés:
A víz egy 10 cm átmérőjű csövön 2 m/s sebességgel folyik át. Mekkora a vízhozam?
Vita
Köztudott, hogy:
Csőátmérő = 10 cm (ez a cső belső átmérője)
A cső sugara (r) = 5 cm = 0,05 m
v víz = 2 m/s
Kérdezett: Bankkártya
Válasz:
Q = A v
Q = (πr2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
2. példakérdés:
Egy 20 cm átmérőjű vízcsövet egy 10 cm átmérőjű csőhöz csatlakoztatunk. Ha a 20 cm átmérőjű csőben a víz áramlási sebessége = 4 m/s, akkor mekkora a 10 cm átmérőjű csőben a víz áramlási sebessége?
Vita
Köztudott, hogy:
Átmérő 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/s
Átmérő 2 = 10 cm ( r2 = 5 cm = 0,05 m)
Kérdezett: 1. verzió
Válasz:
1. kérdés = 2. kérdés
A1 vs. 1 = A2 vs. 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
