Bernoulli-elv és egyenletanyag
KAmikor elég gyorsan motorozunk, a ruháink hátul felpuffadnak. Ha még nem tudsz motorozni, figyelj a szüleidre vagy a barátaidra, akik motoroznak. Ruháik hátulja általában felpuffad, amikor a motor gyorsan megy. Néha, amikor erősen fúj a szél, a ház ajtaja magától becsukódhat. Annak ellenére, hogy a szél kint fúj a házon belül, miközben az ajtó bent van a házban.
Ez Bernoulli elvével magyarázható. Daniel Bernoulli (1700–1782) felfedezett egy elvet, amely a következők magyarázatára használható: a fentiek közül néhány.
Bernoulli-elv
Bernoulli elve kimondja, hogy ahol nagy a folyadék áramlási sebessége, ott alacsony a folyadéknyomás. Fordítva, ha a folyadék áramlási sebessége alacsony, a nyomás megnő. Amikor egy motorkerékpár gyorsan mozog, a tested előtt és mellett nagy a levegő sebessége. Így a légnyomás alacsony lesz. A tested hátsó részét a tested eleje blokkolja, így a tested mögötti levegő sebessége nem változik meg magasra (közvetlenül a tested mögött). Ennek eredményeként a tested mögötti légnyomás megnő. Mivel légnyomáskülönbség van, ahol közvetlenül a tested mögött nagyobb a légnyomás, a levegő hátranyomja az ingedet, ami miatt úgy tűnik, mintha hátul fel lenne puffadva.
Mi a helyzet egy olyan ajtóval, ami magától bezáródik, ha kint erősen fúj a szél? A kinti levegő gyorsabban mozog, mint a benti. Ennek eredményeként a kinti légnyomás alacsonyabb, mint a benti. E nyomáskülönbség miatt, ahol magasabb a benti légnyomás, az ajtó kifelé tolódik. Más szóval, az ajtó egy magasabb légnyomású helyről egy alacsonyabb légnyomású helyre mozdul el.
Bernoulli-egyenlet
Korábban már tanultunk Bernoulli elvéről. Bernoulli ezt az elvet kvantitatívan is kidolgozta. A Bernoulli-egyenlet levezetéséhez feltételezzük a folyamatos, lamináris folyadékáramlást, az összenyomhatatlanságot és az alacsony viszkozitást, amelyeket figyelmen kívül hagyhatunk.
A folytonossági egyenlet tárgyalása során megtudtuk, hogy a folyadék áramlási sebessége az áramlási cső keresztmetszeti területétől is függhet. A fent ismertetett Bernoulli-elv alapján a folyadék nyomása is változhat a folyadék áramlási sebességétől függően. A folyadék nyomása a folyadék magasságától is függhet. A nyomás, az áramlási sebesség és az áramlási magasság közötti összefüggés a Bernoulli-egyenletből leolvasható.
A Bernoulli-egyenlet nagyon fontos, mivel felhasználható repülőgépek repülésének, vízerőműveknek, csővezeték-rendszereknek stb. elemzésére. Ahhoz, hogy a levezetett Bernoulli-egyenlet általánosan alkalmazható legyen, feltételezzük, hogy a folyadék egy egyenlőtlen keresztmetszetű és különböző magasságú áramlási csövön áramlik keresztül (lásd az alábbi ábrát). A Bernoulli-egyenlet levezetéséhez a munka és energia tételét alkalmazzuk az áramlási cső régiójában lévő folyadékra. Ezután kiszámítjuk a folyadék mennyiségét és a folyadék mozgatásához végzett munkát.
A képen látható áramlási cső átlátszatlan színe folyadékáramlást jelez, míg a fehér szín folyadék hiányát.
Az 1-es keresztmetszeti területen (bal oldalon) lévő folyadék L távolságot tesz meg.1 és a 2. keresztmetszetben (jobb oldal) lévő folyadékot L távolságra kényszeríti elmozdulásra2Mivel a jobb oldalon található 2-es keresztmetszet kisebb, a folyadék áramlási sebessége az áramlási cső jobb oldalán nagyobb (emlékezzünk a folytonossági egyenletre). Ez nyomáskülönbséget okoz a 2-es keresztmetszet (az áramlási cső jobb oldala) és az 1-es keresztmetszet (az áramlási cső bal oldala) között – Emlékezzünk Bernoulli elvére. Az 1-es keresztmetszettől balra lévő folyadék P nyomást fejt ki.1 a jobb oldali folyadékon és a következő munkát végzi:
Ekkor a W egyenlet1 így írható fel:
W1 =p1 A1 L1
A 2. keresztmetszetben (az áramlási cső jobb oldalán) a folyadékon végzett munka:
W2 = − p2 A2 L2
A negatív előjel azt jelzi, hogy az alkalmazott erő ellentétes a mozgásirányral. Így a folyadék a 2. szakasztól jobbra munkát végez. Ezenkívül a gravitációs erő is munkát végez a folyadékon. A fenti esetben egy bizonyos folyadéktömeg L távolsággal elmozdul az 1. szakasztól.1 a 2. szakaszon L-ig kell áthaladni2, ahol a folyadék térfogata az 1-es keresztmetszetben (A1 L1) = a folyadék térfogata a 2. keresztmetszetben (A2 L2). A gravitáció által végzett munka:
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mg/h2 + mgh1)
W3 = mg/h1 - mgh2
A negatív előjel a felfelé, a gravitációs irányral ellentétes irányú folyadékáramlásnak köszönhető. Így a folyadékon végzett teljes munka, ahogy a fenti ábrán látható, a következő:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
A munka-energia tétel kimondja, hogy egy rendszeren végzett teljes munka egyenlő a mozgási energiájának változásával. Így a munkát (W) helyettesíthetjük a mozgási energia változásával (EK).2 ‐EK1).
A fenti egyenletet átírhatjuk a következőképpen:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
L távolságon átfolyó folyadék tömege1 az A keresztmetszeten1 = az L távolságon átfolyó folyadék tömege2 (A keresztmetszet2). Egy bizonyos tömegű folyadék, mondjuk m, térfogata A.1L1 és A2 L2 ahol A1 L1 =A2 L2 (L2 hosszabb, mint L1).
Most helyettesítsük be, vagy cseréljük ki m-et a fenti egyenletben m = ρ AL-lal:
Ez a Bernoulli-egyenlet. A Bernoulli-egyenletet a munka-energia elv alapján vezettük le, tehát az energiamegmaradás törvényének egy formája.
Információ:
P = Nyomás
ρ = A folyadék sűrűsége
v = Folyadékáramlási sebesség
g = Nehézségi gyorsulás
h = Az áramlási cső/cső magassága a talajfelszíntől
A fenti Bernoulli-egyenlet bal és jobb oldala az áramlási cső bármely két pontjára vonatkozhat, így a fenti egyenletet a következőképpen írhatjuk át:
Ez az egyenlet azt állítja, hogy az egyenletben szereplő mennyiségek összege azonos értékű az áramlási csőben.
Most tekintsük át Bernoulli egyenletét néhány esetre.
Bernoulli egyenlete nyugalmi folyadékokra
Bernoulli egyenletének egy speciális esete a nyugalmi állapotban lévő folyadékok (statikus folyadékok). Amikor egy folyadék nyugalmi állapotban van, nincs sebessége. Így v1 = v2 = 0. Mozgásképtelen folyadék esetén a Bernouli-egyenletet a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
Ha h2 - h1 = h, akkor az egyenlet a következőképpen írható fel:
p1 - p2 = ρ g (h2 - h1)
p1 - p2 = ρgh
Bernoulli egyenlete azonos magasságú áramlási csövekre vagy csövekre
Ha az áramlási cső vagy cső magassága azonos, akkor a Bernoulli-egyenlet a következőképpen módosul:
