A munka-mozgási energia tétel kimondja, hogy a testre ható nettó erő által végzett teljes munka, vagy erőfeszítés, egyenlő a test mozgási energiájának változásával. Ha a nettó erő pozitív munkát végez (a nettó erő az elmozdulással ellentétes irányban van), akkor a test mozgási energiája növekszik. Fordítva, ha a nettó erő negatív munkát végez (a nettó erő az elmozdulással ellentétes irányban van), akkor a test mozgási energiája csökken.
W összesen = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Ha csak konzervatív erők hatnak egy tárgyra, mint például egy szabadon eső tárgy esetében , akkor az nettó erő megegyezik a konzervatív erővel. A munka-mozgási energia tétel állítása átszámítható teljes munkává, vagyis a konzervatív erő által végzett munka megegyezik a kinetikus energia változásával. Ha a konzervatív erő pozitív munkát végez (a konzervatív erő az elmozdulással megegyező irányban van), akkor a tárgy kinetikus energiája növekszik. Fordítva, ha a konzervatív erő negatív munkát végez (a konzervatív erő az elmozdulással ellentétes irányban van), akkor a tárgy kinetikus energiája csökken.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Egy konzervatív erő által egy testen végzett munka egyenlő a test helyzeti energiájának negatív változásával. Ha a konzervatív erő pozitív munkát végez, a helyzeti energia csökken. Fordítva, ha a konzervatív erő negatív munkát végez, a helyzeti energia növekszik.
W c = – (EP2 – EP1 ) = – mg (h2 – h1 ) = – mgh2 + mgh1 = mgh1 – mgh2
Az előző áttekintés alapján úgy tűnik, hogy összefüggés van a konzervatív erő által egy tárgyra ható munka és a tárgy mozgási, valamint potenciális energiáinak változása között. Ha a konzervatív erő pozitív munkát végez, a mozgási energia növekszik, míg a potenciális energia csökken. Ha a konzervatív erő negatív munkát végez, a mozgási energia csökken, míg a potenciális energia növekszik.
W c = W c
EK 2 – EK 1 = 1. rész – 2. rész
1. EP + 1. EK = 2. EP + 2. EK
1. EM = 2. EM
Információ:
EM1 = kezdeti mechanikai energia, EM2 = végső mechanikai energia, EP1 = kezdeti potenciális energia, EP2 = végső potenciális energia, EK1 = kezdeti mozgási energia, EK2 = végső mozgási energia
Problémákra példa
1. Egy sima, lejtős sík tetején (A pontban) egy kezdeti sebesség nélküli tömböt elengednek. A tömb a lejtő aljára (E pontban) csúszik.
Ha AB = BC = CD = DE, akkor a C, D és E pontokban lévő kockák sebességének aránya…
Vita
Ismert:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Kérdés: A blokkok sebességének összehasonlítása C, D és E pontokon.
Válasz:
A mechanikai energia megmaradásának törvénye kimondja, hogy a kezdeti mechanikai energia = a végső mechanikai energia.
Kezdeti mechanikai energia = gravitációs potenciális energia
Végső mechanikai energia = kinetikus energia
A tetején a blokk nyugalmi állapotban van, így a mozgási energiája nulla, a gravitációs potenciális energiája pedig a maximális. Ahogy a lejtő tetejétől az alja felé halad, a gravitációs potenciális energiája csökken, és mozgási energiává alakul át. Amikor eléri a lejtő alját, a mozgási energiája a maximális, a gravitációs potenciális energiája pedig nulla.
Gravitációs potenciális energia az A pontban = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Az A pontban a kinetikus energia = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
A B pontban a gravitációs potenciális energia = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Kinetikus energia a B pontban = 1/2 mv²
A C pontban a gravitációs potenciális energia = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Kinetikus energia a C pontban = 1/2 mv²
A gravitációs potenciális energia a D pontban = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Kinetikus energia a D pontban = 1/2 mv²
Gravitációs potenciális energia az E pontban = mgh = mg (0) = 0
Kinetikus energia az E pontban = 1/2 mv²
Mechanikai energia az A pontban = Gravitációs potenciális energia + mozgási energia = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Mechanikai energia a B pontban = Gravitációs potenciális energia + mozgási energia = 3/4 mg + 1/2 mv²
Mechanikai energia a C pontban = Gravitációs potenciális energia + mozgási energia = 2/4 mg + 1/2 mv²
Mechanikai energia a D pontban = Gravitációs potenciális energia + mozgási energia = 1/4 mg + 1/2 mv²
Mechanikai energia az E pontban = Gravitációs potenciális energia + mozgási energia = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
A blokk sebessége C-nél:
Mechanikai energia a C pontban = kezdeti mechanikai energia (állandó mechanikai energia)
2/4 mg + 1/2 mV² = 4/4 mg
1/2 mV 2 = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mV 2 = 2/4 mg
1/2 mV 2 = 1/2 mg
mv2 = mg
v² = g
v = √g
A blokk sebessége D-nél:
Mechanikai energia a D pontban = kezdeti mechanikai energia (állandó mechanikai energia)
1/4 mg + 1/2 mV² = 4/4 mg
1/2 mV² = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mV 2 = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v² = 2 (3/4) g
v² = (6/2) g
v² = (3/2) g
v2 = 1,5 g
v = √1,5 g
A blokk sebessége E-ben:
Mechanikai energia az E pontban = kezdeti mechanikai energia (állandó mechanikai energia)
1/2 mV 2 = mg
1/2 v² = g
v² = 2g
v = √2 g
A blokkok sebességének összehasonlítása C, D és E pontokon:
√g : √1,5g : √2g
√ 1 : √1,5 : √2 (szorozzuk meg 2-vel)
√ 2 : √ 3 : √ 4
√ 2 : √ 3 : 2
2. Nézd meg a következő képet!
Két tárgy ereszkedik le az A pontból kiindulva. Az első tárgy tömege m1 = 5 kg, a másodiké m2 = 15 kg. Ha a nehézségi gyorsulás g = 10 ms⁻² , akkor a mozgási energia Ek1:Ek2 aránya a B pontban …
A. 1:2
B. 1:3
C. 1:9
2. számú eredmény: 1
3. kép: 1
Vita
Köztudott, hogy:
A 1. tárgy tömege (m² ) = 5 kg
A 2. tárgy tömege (m² ) = 15 kg
Nehézségi gyorsulás (g) = 10 m/ s²
Az A és B pontok közötti távolság (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Kérdés: A kinetikus energia összehasonlítása 1. és 2. kísérletben a B pontban
Válasz:
Egy tárgy gravitációs potenciális energiáját az A pontban a B pontból mérjük:
EP1 = m1gh = (5 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 500 joule
EP2 = m2gh = (15 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 1500 joule
A mechanikai energia megmaradásának törvénye kimondja, hogy a kezdeti mechanikai energia = a végső mechanikai energia.
Kezdeti mechanikai energia = gravitációs potenciális energia
Végső mechanikai energia = kinetikus energia
EP 1 = EK 1
500 joule = EK 1
EP 2 = EK 2
1500 joule = EK 2
1. PÉLDA : 2. PÉLDA
500: 1500
5: 15
1: 3
A helyes válasz a B.
3. Nézd meg a képet!
Egy m tömegű üveggolyó kezdeti sebesség nélkül gurul végig egy sima félkör alakú síkon az A pontból. A üveggolyó sebessége a B pontban…
A. 10 ms-1
B. 2 √10 ms -1
C. √ 10 m.s -1
D. 2 √5 ms -1
E. √ 5 m.s -1
Vita
Köztudott, hogy:
Az A és B pontok közötti magasságkülönbség (h) = 4 m – 2 m = 2 méter
Nehézségi gyorsulás (g) = 10 m/ s²
Márvány tömege (m²) = m²
Kérdés: A golyó sebessége a B pontban
Válasz:
Kezdeti mechanikai energia = mechanikai energia az A pontban = gravitációs helyzeti energia = mgh = (m)(10)(2) = 20m
Végső mechanikai energia = mechanikai energia a B pontban = mozgási energia = 1/2 mv²
A mechanikai energia megmaradásának törvénye:
Kezdeti mechanikai energia = végső mechanikai energia
20 m = 1/2 mV²
20 = 1/2 v²
2 (20) = v 2
40 = v 2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
A helyes válasz a B.
4. Egy labda csúszik egy csúszós pályán, ahogy az alábbi képen látható.
Ha a labda sebessége az A pontban 6 ms⁻¹ , a B pontban √ 92 ms⁻¹ , és g = 10 ms⁻² , akkor a B pont magassága a pálya aljától...
A. 0,5 m
B. 0,5 √ 2 m
Kb. 1 m
D. √ 2 m
E. 2,8 m
Vita
Köztudott, hogy:
A labda sebessége az A pontban (v A ) = 6 ms -1
A labda sebessége a B pontban (v B ) = √ 92 ms -1
Nehézségi gyorsulás (g) = 10 ms⁻²
Magasság A (h A ) = 5,6 méter
Magasság B (h B ) = h
Kérdés: A B pont magassága a pálya aljától
Válasz:
A pálya csúszós, így nincs súrlódás. Ezért az egyetlen erő, ami a tárgyra hat, a gravitáció. A gravitáció konzervatív erő. A konzervatív erő által végzett munka nem a pálya alakjától, hanem a helyzetváltozástól függ.
Tehát a B pont magasságát a pálya aljától a mechanikai energia megmaradásának törvénye képletével számíthatjuk ki .
Kezdeti mechanikai energia = Gravitációs potenciális energia
Amikor az A pontban van, a labda még nem mozog, így a sebessége nulla. A labda sebessége nulla, így a mozgási energiája is nulla. Mozgási energia: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
De a labda 5,6 méter magasságban van az aljától, tehát gravitációs potenciális energiája van. Gravitációs potenciális energia: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
Kezdeti mechanikai energia = Gravitációs potenciális energia + Kinetikus energia = 56 m + 0 = 56 m
Végső mechanikai energia = Gravitációs potenciális energia + Kinetikus energia
Amikor a B pontban van, a golyó magassága h. Gravitációs potenciális energia: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
A B pont messze az A pont alatt van, így a labda még mindig egy bizonyos sebességgel mozog. A labda még mindig egy bizonyos sebességgel mozog, tehát van mozgási energiája. Mozgási energia: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m ( √ 92 ) 2 = 1/2 m ( 92 ) = 46 m
Végső mechanikai energia = Gravitációs potenciális energia + Kinetikus energia = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
A mechanikai energia megmaradásának törvénye:
Kezdeti mechanikai energia = Végső mechanikai energia
56 m = m (10 óra + 46)
56 = 10 óra + 46
56 – 46 = 10 óra
10 = 10 óra
h = 10/10 = 1 méter
A helyes válasz a C.
Kérdés forrása:
Országos fizika vizsgakérdések középiskolák/szakközépiskolák számára
